Инфрақұрылым (сандар теориясы) - Википедия - Infrastructure (number theory)

Жылы математика, an инфрақұрылым Бұл топ -де пайда болатын құрылым сияқты ғаламдық өрістер.

Тарихи даму

1972 жылы, Д.Шенкс алдымен а инфрақұрылымын ашты нақты квадраттық сан өрісі және оны қолданды сәби қадамы алып қадам есептеу алгоритмі реттеуші осындай өрістің ${ displaystyle { mathcal {O}} (D ^ {1/4 + varepsilon})}$ екілік операциялар (әрқайсысы үшін ${ displaystyle varepsilon> 0}$), қайда ${ displaystyle D}$ болып табылады дискриминантты квадрат өрістің; алдыңғы әдістер қажет ${ displaystyle { mathcal {O}} (D ^ {1/2 + varepsilon})}$ екілік амалдар.^[1] Он жылдан кейін, Лента Х. жарияланған^[2] нақты дөңгелек сандар өрісінің инфрақұрылымын «дөңгелек топтар» тұрғысынан сипаттайтын математикалық шеңбер. Оны сонымен қатар Р.Шоф сипаттаған^[3] және Уильямс,^[4] және кейінірек Х. Уильямс, Дж. В. Дюк және Б. К. Шмид кеңейтілген текше өрістер туралы бірлік дәрежесі бір^[5][6] және Дж.Бухманн мен Х.Вильямс бірліктің барлық сандық өрістеріне бірінші дәрежелі.^[7] Оның хабилитация тезисі, Дж.Бухманн өрістің реттегішін есептеудің қадамдық алгоритмінің қадамын ұсынды ерікті бірлік дәрежесі.^[8] Ерікті бірлік дәрежесінің сандық өрістеріндегі инфрақұрылымдардың алғашқы сипаттамасын Р.Шоф қолданып келтірді Аракелов бөлгіштер 2008 жылы.^[9]

Инфрақұрылым басқаларына да сипатталды ғаламдық өрістер, дәлірек айтсақ алгебралық функция өрістері аяқталды ақырлы өрістер. Мұны алдымен А.Стайн мен Х.Г.Циммер нақты жағдайда жасады гипереллиптикалық функция өрістері.^[10] Ол Р.Шайдлер мен А.Штейннің бірінші дәрежелі белгілі кубтық өрістеріне дейін кеңейтілген.^[11][12] 1999 жылы С.Паулюс пен Х.Г. Рюк нақты квадраттық функция өрісінің инфрақұрылымын бөлгіштер тобына жатқызды.^[13] Бұл байланысты ерікті функционалдық өрістерге және Р.Шофтың нәтижелерімен біріктіре отырып, барлық жаһандық өрістерге жалпылауға болады.^[14]

Бір өлшемді жағдай

Реферат анықтамасы

A бір өлшемді (дерексіз) инфрақұрылым ${ displaystyle (X, d)}$ тұрады нақты нөмір ${ displaystyle R> 0}$, а ақырлы жиынтық ${ displaystyle X neq emptyset}$ бірге инъекциялық карта ${ displaystyle d: X to mathbb {R} / R mathbb {Z}}$.^[15] Карта ${ displaystyle d}$ жиі деп аталады арақашықтық картасы.

Түсіндіру арқылы ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ сияқты шеңбер туралы айналдыра ${ displaystyle R}$ және анықтау арқылы ${ displaystyle X}$ бірге ${ displaystyle d (X)}$, бір өлшемді инфрақұрылымды оған нүктелер жиынтығы бар шеңбер ретінде көруге болады.

Сәби қадамдары

A сәби қадамы Бұл бірыңғай операция ${ displaystyle bs: X to X}$ бір өлшемді инфрақұрылым бойынша ${ displaystyle (X, d)}$. Инфрақұрылымды шеңбер ретінде елестете отырып, сәби қадамы әр нүктені тағайындайды ${ displaystyle d (X)}$ келесі. Формальды түрде оны тағайындау арқылы анықтауға болады ${ displaystyle x in X}$ нақты сан ${ displaystyle f_ {x}: = inf {f '> 0 d (x) + f' in d (X) }}$; содан кейін анықтауға болады ${ displaystyle bs (x): = d ^ {- 1} (d (x) + f_ {x})}$.

Алып қадамдар және қысқарту карталары

Мұны байқау ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ табиғи түрде абель тобы, қосындысын қарастыруға болады ${ displaystyle d (x) + d (y) in mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ үшін ${ displaystyle x, y in X}$. Жалпы бұл элемент емес ${ displaystyle d (X)}$. Бірақ оның орнына элементін алуға болады ${ displaystyle d (X)}$ бұл өтірік Жақын. Бұл тұжырымдаманы рәсімдеу үшін карта бар деп ойлаңыз ${ displaystyle red: mathbb {R} / R mathbb {Z} to X}$; содан кейін анықтауға болады ${ displaystyle gs (x, y): = қызыл (d (x) + d (y))}$ алу үшін екілік операция ${ displaystyle gs: X times X to X}$, деп аталады алып қадам жұмыс. Бұл операцияның жалпы екенін ескеріңіз емес ассоциативті.

Негізгі қиындық - картаны қалай таңдау керек ${ displaystyle red}$. Біреу шартты алғысы келеді деп есептесек ${ displaystyle red circ d = mathrm {id} _ {X}}$, бірқатар мүмкіндіктер қалады. Бір мүмкін таңдау^[15] келесі түрде беріледі: үшін ${ displaystyle v in mathbb {R} / R mathbb {Z}}$, анықтаңыз ${ displaystyle f_ {v}: = inf {f geq 0 v-f d (X) }}$; содан кейін біреуін анықтауға болады ${ displaystyle red (v): = d ^ {- 1} (v-f_ {v})}$. Бұл таңдау ерікті болып көрінетін сияқты, ғаламдық өрістерден инфрақұрылым алуға тырысқанда табиғи түрде пайда болады.^[14] Сондай-ақ, басқа таңдау жасауға болады, мысалы, элементті таңдау ${ displaystyle x in d (X)}$ осындай ${ displaystyle | d (x) -v |}$ минималды (мұнда, ${ displaystyle | d (x) -v |}$ деген мағынаны білдіреді ${ displaystyle inf {| f-v | f $ ортасы d (x) }}$, сияқты ${ displaystyle d (x)}$ формада болады ${ displaystyle v + R mathbb {Z}}$); нақты квадраттық гипереллиптикалық өріс жағдайында мүмкін болатын бір құрылысты С.Д.Гэлбрейт, М.Харрисон және Д.Ж.Мирелес Моралес келтірген.^[16]

Нақты квадрат өрістермен байланыс

Д.Шенкс қысқартылған циклдарды қарастырғанда инфрақұрылымды нақты квадраттық сандар өрістерінде байқады екілік квадраттық формалар. Екілік квадраттық формаларды қысқарту арасында тығыз байланыс бар екенін ескеріңіз жалғасқан бөлшек кеңейту; бөлшектің жалғасқан кеңеюіндегі бір қадам квадраттық иррационалдылық береді бірыңғай операция бір эквиваленттілік класындағы барлық қысқартылған формалар арқылы өтетін циклдің қысқартылған формалары туралы. Осы қысқартылған формалардың барлығын циклде орналастыра отырып, Шенкс шеңбердің басынан алшақтатылған формаларға тез секіруге болатындығын байқады. құрастыру осындай екі форма және нәтижені төмендету. Ол мұны атады екілік операция қысқартылған формалар жиынтығында а алып қадам, және а циклында келесі қысқартылған түрге өту операциясы сәби қадамы.

Қатысты ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$

Жинақ ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ табиғи топтық операцияға ие және алып қадам операциясы оған сәйкес анықталған. Демек, инфрақұрылымдағы арифметиканы in арифметикасымен салыстырудың мәні бар ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$. Топтық операция ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ элементтерін бейнелеу арқылы алып қадамдар мен нәресте қадамдары арқылы сипаттауға болады ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ элементтері бойынша ${ displaystyle X}$ салыстырмалы түрде аз нақты санмен бірге; Мұны алдымен Д.Хюнлейн мен С.Паулюс сипаттаған^[17] және Дж. Джейкобсон, кіші, Р. Шайдлер және Х. Уильямс^[18] нақты квадраттық сан өрістерінен алынған инфрақұрылым жағдайында. Олар нақты сандарды бейнелеу үшін өзгермелі нүктелік сандарды қолданды және бұл ұсыныстарды CRIAD-репрезенциялар деп атады. ${ displaystyle (f, p)}$-презентациялар. Жалпы, бір өлшемді инфрақұрылым үшін ұқсас тұжырымдаманы анықтауға болады; бұлар кейде аталады ${ displaystyle f}$-презентациялар.^[15]

A жиынтығы ${ displaystyle f}$-презентациялар ішкі жиын болып табылады ${ displaystyle fRep}$ туралы ${ displaystyle X times mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ карта деген сияқты ${ displaystyle Psi _ {fRep}: fRep to mathbb {R} / R mathbb {Z}, ; (x, f) mapsto d (x) + f}$ бұл биекция және сол ${ displaystyle (x, 0) in fRep}$ әрқайсысы үшін ${ displaystyle x in X}$. Егер ${ displaystyle red: mathbb {R} / R mathbb {Z} to X}$ қысқарту картасы, ${ displaystyle fRep_ {red}: = {(x, f) in X times mathbb {R} / R mathbb {Z} mid red (d (x) + f) = x }}$ жиынтығы ${ displaystyle f}$-презентациялар; керісінше, егер ${ displaystyle fRep}$ жиынтығы ${ displaystyle f}$-презентациялар арқылы қысқарту картасын орнату арқылы алуға болады ${ displaystyle red (f) = pi _ {1} ( Psi _ {fRep} ^ {- 1} (f))}$, қайда ${ displaystyle pi _ {1}: X times mathbb {R} / R mathbb {Z} to X, ; (x, f) mapsto x}$ $ X $ проекциясы. Демек, жиынтықтар ${ displaystyle f}$-презентациялар мен қысқарту карталары а жеке-жеке хат алмасу.

Биекцияны қолдану ${ displaystyle Psi _ {fRep}: fRep to mathbb {R} / R mathbb {Z}}$, топтық операцияны тоқтатуға болады ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ дейін ${ displaystyle fRep}$, демек, бұрылыс ${ displaystyle fRep}$ абель тобына ${ displaystyle (fRep, +)}$ арқылы ${ displaystyle x + y: = Psi _ {fRep} ^ {- 1} ( Psi _ {fRep} (x) + Psi _ {fRep} (y))}$, ${ displaystyle x, y in fRep}$. Белгілі бір жағдайларда бұл топтық операцияны қолданбай анық сипаттауға болады ${ displaystyle Psi _ {fRep}}$ және ${ displaystyle d}$.

Біреу қысқарту картасын қолданған жағдайда ${ displaystyle red: mathbb {R} / R mathbb {Z} to X, ; v mapsto d ^ {- 1} (v- inf {f geq 0 mid vf in d ( Х) })}$, біреуін алады ${ displaystyle fRep_ {red} = {(x, f) mid f geq 0, ; forall f ' in [0, f): d (x) + f' not in d (X) }}$. Берілген ${ displaystyle (x, f), (x ', f') in fRep_ {red}}$, қарастыруға болады ${ displaystyle (x '', f '')}$ бірге ${ displaystyle x '' = gs (x, x ')}$ және ${ displaystyle f '' = f + f '+ (d (x) + d (x') - d (gs (x, x '))) geq 0}$; бұл жалпы жағдайда ${ displaystyle fRep_ {red}}$, бірақ оны келесідей азайтуға болады: біреу есептейді ${ displaystyle bs ^ {- 1} (x '')}$ және ${ displaystyle f '' - (d (x '') - d (bs ^ {- 1} (x '')))}$; егер соңғысы теріс болмаса, біреуін ауыстырады ${ displaystyle (x '', f '')}$ бірге ${ displaystyle (bs ^ {- 1} (x ''), f '' - (d (x '') - d (bs ^ {- 1} (x ''))))}}$ және жалғастыруда. Егер мән теріс болса, біреуінде бар ${ displaystyle (x '', f '') in fRep_ {red}}$ және сол ${ displaystyle Psi _ {fRep_ {red}} (x, f) + Psi _ {fRep_ {red}} (x ', f') = Psi _ {fRep_ {red}} (x '', f '')}$, яғни ${ displaystyle (x, f) + (x ', f') = (x '', f '')}$.

Әдебиеттер тізімі