Хеллис таңдау теоремасы - Википедия - Hellys selection theorem

Жылы математика, Хеллидің таңдау теоремасы а жүйелі жергілікті функциялар шектелген жалпы вариация және біркелкі шектелген нүктесінде a бар конвергентті кейінгі. Басқаша айтқанда, бұл BV кеңістігі үшін ықшамдық теоремасы_лок. Ол үшін аталған Австриялық математик Эдуард Хелли.

Теореманың қолданбалары бар математикалық талдау. Жылы ықтималдықтар теориясы, нәтиже а-ның ықшамдылығын білдіреді қатаң шаралар тобы.

Теореманың тұжырымы

Келіңіздер U болуы ішкі жиын туралы нақты сызық және рұқсат етіңіз f_n : U → R, n ∈ N, функциялар тізбегі болыңыз. Айталық

• (f_n) біркелкі бар шектелген жалпы вариация кез келген W Бұл ықшам салынған жылы U. Яғни, барлық жиынтықтар үшін W ⊆ U бірге ықшам жабу W̄ ⊆ U,

${ displaystyle sup _ {n in mathbb {N}} left ( left | f_ {n} right | _ {L ^ {1} (W)} + left | { frac { mathrm {d} f_ {n}} { mathrm {d} t}} right | _ {L ^ {1} (W)} right) <+ infty,}$

мұндағы туынды мағынасында алынады шыңдалған үлестірулер;

• және (f_n) нүктеде біркелкі шектелген. Яғни, кейбіреулер үшін т ∈ U, { f_n(т) | n ∈ N } ⊆ R Бұл шектелген жиынтық.

Сонда а бар кейінгі f_nк, к ∈ N, of f_n және функция f : U → R, жергілікті шектелген вариация, осылай

• f_nк жақындайды f бағытта;
• және f_nк жақындайды f жергілікті L¹ (қараңыз жергілікті интеграцияланатын функция ), яғни барлығы үшін W ықшам салынған U,

${ displaystyle lim _ {k to infty} int _ {W} { big |} f_ {n_ {k}} (x) -f (x) { big |} , mathrm {d } x = 0;}$

• және, үшін W ықшам салынған U,

${ displaystyle left | { frac { mathrm {d} f} { mathrm {d} t}} right | _ {L ^ {1} (W)} leq liminf _ {k to infty} left | { frac { mathrm {d} f_ {n_ {k}}} { mathrm {d} t}} right | _ {L ^ {1} (W)}. }$

Жалпылау

Хелли теоремасының көптеген жалпыламалары мен нақтылаулары бар. Келесі теорема, мәні қабылдайтын BV функциялары үшін Банах кеңістігі, Барбу мен Прекупануға байланысты:

Келіңіздер X болуы а рефлексивті, бөлінетін Гильберт кеңістігі және рұқсат етіңіз E жабық бол, дөңес ішкі жиыны X. Δ рұқсат етіңіз:X → [0, + ∞) болуы керек позитивті-анықталған және бір дәрежелі біртекті. Айталық з_n - BV-де біркелкі шектелген тізбек ([0,Т]; X) бірге з_n(т) ∈ E барлығына n ∈ N және т ∈ [0, Т]. Одан кейін, оның арты бар з_nк және функциялары δ, з V BV ([0,Т]; X) солай

• барлығына т ∈ [0, Т],

${ displaystyle int _ {[0, t)} Delta ( mathrm {d} z_ {n_ {k}}) to delta (t);}$

• және, бәріне т ∈ [0, Т],

${ displaystyle z_ {n_ {k}} (t) rightharpoonup z (t) in E;}$

• және барлығы 0 ≤с < т ≤ Т,

${ displaystyle int _ {[s, t)} Delta ( mathrm {d} z) leq delta (t) - delta (s).}$

Сондай-ақ қараңыз

• Шектелген вариация
• Фрейков-Хелли таңдау теоремасы
• Жалпы вариация

Әдебиеттер тізімі

• Барбу, V .; Прекупану, Th. (1986). Банах кеңістігіндегі дөңес және оңтайландыру. Математика және оның қолданылуы (Шығыс Еуропа сериясы). 10 (Екінші румындық басылым). Dordrecht: D. Reidel Publishing Co. xviii + 397. ISBN  90-277-1761-3. МЫРЗА860772