Сәйкестік теоремасы (топтық теория) - Correspondence theorem (group theory)

Аймағында математика ретінде белгілі топтық теория, сәйкестік теоремасы,^{[1][2][3][4][5][6][7][8]} кейде деп аталады төртінші изоморфизм теоремасы^{[6][9][1 ескерту][2 ескерту]} немесе торлы теорема,^[10] егер болса ${ displaystyle N}$ Бұл қалыпты топша а топ ${ displaystyle G}$, онда бар а биекция барлығы жиынтығынан кіші топтар ${ displaystyle A}$ туралы ${ displaystyle G}$ құрамында ${ displaystyle N}$, барлық кіші топтарының жиынтығына квоталық топ ${ displaystyle G / N}$. Кіші топтарының құрылымы ${ displaystyle G / N}$ топшаларының құрылымымен бірдей ${ displaystyle G}$ құрамында ${ displaystyle N}$, бірге ${ displaystyle N}$ дейін құлап түсті сәйкестендіру элементі.

Нақтырақ айтқанда, егер

G топ,

N Бұл қалыпты топша туралы G,

${ displaystyle { mathcal {G}}}$ барлық кіші топтардың жиынтығы болып табылады A туралы G осындай ${ displaystyle N subseteq A subseteq G}$, және

${ displaystyle { mathcal {N}}}$ барлық кіші топтарының жиынтығы болып табылады G / N,

онда биективті карта бар ${ displaystyle phi: { mathcal {G}} to { mathcal {N}}}$ осындай

${ displaystyle phi (A) = A / N}$ барлығына ${ displaystyle A in { mathcal {G}}.}$

Одан әрі, егер бұл болса A және B бар ${ displaystyle { mathcal {G}}}$, және A '= A / N және B '= B / N, содан кейін

• ${ displaystyle A subseteq B}$ егер және егер болса ${ displaystyle A ' subseteq B'}$;
• егер ${ displaystyle A subseteq B}$ содан кейін ${ displaystyle | B: A | = | B ': A' |}$, қайда ${ displaystyle | B: A |}$ болып табылады индекс туралы A жылы B (саны ғарыш bA туралы A жылы B);
• ${ displaystyle langle A, B rangle / N = langle A ', B' rangle,}$ қайда ${ displaystyle langle A, B rangle}$ кіші тобы болып табылады ${ displaystyle G}$ құрылған арқылы ${ displaystyle A cup B;}$
• ${ displaystyle (A cap B) / N = A ' cap B'}$, және
• ${ displaystyle A}$ -ның қалыпты топшасы болып табылады ${ displaystyle G}$ егер және егер болса ${ displaystyle A '}$ -ның қалыпты топшасы болып табылады ${ displaystyle G / N}$.

Бұл тізім толық емес. Шын мәнінде, кіші топтардың көптеген қасиеттері олардың кескіндерінде квитенттік топтың кіші топтарына қосылу кезінде сақталады.

Жалпы, а монотонды Галуа байланысы ${ displaystyle (f ^ {*}, f _ {*})}$ арасында кіші топтардың торы туралы ${ displaystyle G}$ (міндетті түрде қамтымауы керек ${ displaystyle N}$) топшаларының торы ${ displaystyle G / N}$: кіші топтың төменгі байланысы ${ displaystyle H}$ туралы ${ displaystyle G}$ арқылы беріледі ${ displaystyle f ^ {*} (H) = HN / N}$ және кіші топтың жоғарғы адъюнктісі ${ displaystyle K / N}$ туралы ${ displaystyle G / N}$ арқылы беріледі ${ displaystyle f _ {*} (K / N) = K}$. Байланысты жабу операторы топшаларында ${ displaystyle G}$ болып табылады ${ displaystyle { bar {H}} = HN}$; байланысты ядро операторы топшаларында ${ displaystyle G / N}$ сәйкестілік.

Осындай нәтижелер де сақталады сақиналар, модульдер, векторлық кеңістіктер, және алгебралар.

Сондай-ақ қараңыз

• Модульдік тор

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі