Ықшам объект (математика) - Compact object (mathematics)

Математикада, ықшам нысандар, деп те аталады шектеулі түрде ұсынылған нысандар, немесе ақырғы презентация объектілері, а. объектілері санат белгілі бір ақыреттік шартты қанағаттандыру.

Анықтама

Нысан X санатта C бәрін мойындайды сүзілген колимиттер (сонымен бірге тікелей шектер ) аталады ықшам егер функция

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} (X, cdot): C to mathrm {Sets}, Y mapsto operatorname {Hom} _ {C} (X, Y)}

фильтрленген колимиттермен жүреді, яғни, егер табиғи карта болса

{ displaystyle operatorname {colim} operatorname {Hom} _ {C} (X, Y_ {i}) to operatorname {Hom} _ {C} (X, operatorname {colim} _ {i} Y_ {) мен})}

- бұл объектілердің кез-келген сүзгіленген жүйесі үшін биекция ${ displaystyle Y_ {i}}$ жылы C.^[1] Сол жақтағы сүзілген колимиттегі элементтер карталармен ұсынылғандықтан ${ displaystyle X - Y_ {i}}$ , кейбіреулер үшін мен, жоғарыдағы картаның сурьективтілігі бұл картаны талап етеді ${ displaystyle X to operatorname {colim} _ {i} Y_ {i}}$ факторларға байланысты ${ displaystyle Y_ {i}}$ .

Терминология төменде келтірілген топологиядан туындайтын мысалға негізделген. Бірнеше автор сонымен қатар алгебралық категориялармен тығыз байланысты терминологияны қолданады: Adámek & Rosický (1994) терминологияны қолданыңыз шектеулі түрде ұсынылған объект ықшам нысанның орнына. Кашивара және Шапира (2006) бұларды ақырғы презентация объектілері.

∞-санаттардағы ықшамдылық

Сол анықтама, егер де қолданылады C болып табылады ∞-санаты, егер жоғарыда келтірілген морфизмдер жиынтығы картадағы кеңістікке ауыстырылса C (және сүзілген колимиттер ∞-категориялық мағынада түсініледі, кейде оларды фильтрленген гомотопиялық колимиттер деп те атайды).

Үшбұрышталған санаттардағы ықшамдылық

Үшін үшбұрышталған санат C бәрін мойындайды қосымшалар, Ниман (2001) егер объект ықшам болуын анықтайды

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} (X, cdot): C to mathrm {Ab}, Y mapsto operatorname {Hom} _ {C} (X, Y)}

қосалқы өнімдермен жүреді. Осы ұғым мен жоғарыдағылардың арақатынасы келесідей: делік C ретінде пайда болады гомотопия санаты а тұрақты ∞-санат барлық сүзілген колименттерді қабылдау. (Бұл шарт кеңінен қанағаттандырылады, бірақ автоматты емес.) Содан кейін объект C eman-категориялық мағынада жинақы болса ғана, Неманның мағынасында ықшам. Себебі тұрақты ∞ санатында, ${ displaystyle Hom_ {C} (X, -)}$ әрқашан ақырлы колиммен жүреді, өйткені бұл шектеулер. Содан кейін, сүзгіден өткен колимиттердің презентациясын шексіз қосымшаның коэвализаторы ретінде пайдаланады (ол шектеулі колимит).

Мысалдар

Ішіндегі ықшам нысандар жиынтықтар санаты дәл шектеулі жиындар.

Сақина үшін Rішіндегі ықшам нысандар санаты R-модульдер дәл түпкілікті ұсынылған R-модульдер. Атап айтқанда, егер R өріс болып табылады, содан кейін ықшам нысандар ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктер болып табылады.

Ұқсас нәтижелер теңдеулер заңдарына бағынатын жиынтықтағы амалдармен берілетін алгебралық құрылымдардың кез-келген санатына қатысты болады. Мұндай санаттар деп аталады сорттары, пайдалана отырып жүйелі түрде зерттеуге болады Заңды теориялар. Кез-келген Ловере теориясы үшін Т, Mod санаты бар (Т) модельдері Тжәне Mod ішіндегі ықшам нысандар (Т) дәл ұсынылған модельдер. Мысалы: делік Т топтар теориясы болып табылады. Содан кейін Mod (Т) - бұл топтардың санаты және Mod ішіндегі ықшам нысандар (Т) ақырғы ұсынылған топтар.

Ішіндегі ықшам нысандар туынды категория ${ displaystyle D (R - { text {Mod}})}$ R-модульдер дәл тамаша кешендер.

Шағын топологиялық кеңістіктер болып табылады емес ішіндегі ықшам нысандар топологиялық кеңістіктер категориясы. Оның орнына бұл дәл берілген жиынтықтары дискретті топология.^[2] Топологиядағы ықшамдық пен жоғарыда аталған ықшамдылықтың категориялық ұғымы арасындағы байланыс келесідей: бекітілген топологиялық кеңістік үшін ${ displaystyle X}$ , категория бар ${ displaystyle { text {Open}} (X)}$ объектілері ашық ішкі жиындар болып табылады ${ displaystyle X}$ (және морфизм ретінде қосындылар). Содан кейін, ${ displaystyle X}$ егер бұл қажет болса, бұл ықшам топологиялық кеңістік ${ displaystyle X}$ объект ретінде ықшам ${ displaystyle { text {Open}} (X)}$ .

Егер ${ displaystyle C}$ дегеніміз кез келген категория, сақиналар ${ displaystyle { text {PreShv}} (C)}$ (яғни, бастап функционерлер санаты ${ displaystyle C ^ {op}}$ дейін) барлық колимиттері бар. Бастапқы санат ${ displaystyle C}$ байланысты ${ displaystyle { text {PreShv}} (C)}$ бойынша Yoneda ендіру ${ displaystyle h _ {(-)}: C to { text {PreShv}} (C), X mapsto h_ {X}: = operatorname {Hom} (-, X)})$ . Үшін кез келген объект ${ displaystyle X}$ туралы ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle h_ {X}}$ ықшам объект болып табылады ${ displaystyle { text {PreShv}} (C)}$ ).

Ұқсас бағытта кез-келген категория ${ displaystyle C}$ категорияның толық ішкі санаты ретінде қарастыруға болады ${ displaystyle { text {Ind}} (C)}$ туралы нысандар жылы ${ displaystyle C}$ . Осы үлкен санаттағы объект ретінде қарастырылады, кез келген объектісі ${ displaystyle C}$ ықшам. Шын мәнінде ${ displaystyle { text {Ind}} (C)}$ дәл объектілері болып табылады ${ displaystyle C}$ (немесе, дәлірек айтқанда, олардың суреттері ${ displaystyle { text {Ind}} (C)}$ ).

Мысал емес

Абель топтарының қабықшаларының категориясы, компактты емес X

Шектеусіз туынды категория Абел топтарының шоқтары ${ displaystyle D ({ text {Sh}} (X; { text {Ab}}))}$ ықшам емес топологиялық кеңістік үшін ${ displaystyle X}$ , бұл, әдетте, жинақталған санат емес. Мұны қарастырудың кейбір дәлелдерін табуға болады ашық қақпақ ${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {i in I}}$ (оны ешқашан ықшамдығын пайдаланып ақырғы ішкі мұқабада жақсартуға болмайды ${ displaystyle X}$ ) және картаны алу

${ displaystyle phi in { text {Hom}} ({ mathcal {F}} ^ { bullet}, { underset {i in I} { text {colim}}}} mathbb {Z} _ {U_ {i}})}$

кейбіреулер үшін ${ displaystyle { mathcal {F}} ^ { bullet} in { text {Ob}} (D ({ text {Sh}} (X; { text {Ab}})))}$ . Содан кейін, бұл карта үшін ${ displaystyle phi}$ элементке көтеру

${ displaystyle psi in { underset {i in I} { text {colim}}} { text {Hom}} ({ mathcal {F}} ^ { bullet}, mathbb {Z} _ {U_ {i}})}$

бұл кейбіреулерге әсер етуі керек еді ${ displaystyle mathbb {Z} _ {U_ {i}}}$ кепілдік берілмейді. Мұны дәлелдеу үшін кез-келген ықшам объектінің кейбір ықшам ішкі жиынтықта қолдау болатындығын көрсету қажет ${ displaystyle X}$ , содан кейін бұл ішкі жиынды көрсету бос болуы керек.^[3]

Artin стекіндегі квази-когерентті қабықшалардың алынған санаты

Үшін алгебралық стектер ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ оң сипаттамадан, шектеусіз алынған категориядан ${ displaystyle D_ {qc} ({ mathfrak {X}})}$ туралы квазиогерентті шоқтар тұтастай алғанда ықшам түрде жасалмайды ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ болып табылады квази-ықшам және квази бөлінген.^[4] Шындығында, алгебралық стек үшін ${ displaystyle B mathbb {G} _ {a}}$ , нөлдік объекттен басқа ықшам нысандар жоқ. Бұл бақылауды келесі теоремаға жалпылауға болады: егер стек ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ тұрақтандырғыш тобы бар ${ displaystyle G}$ осындай

${ displaystyle G}$ өріс бойынша анықталады ${ displaystyle k}$ оң сипаттамалық
${ displaystyle { overline {G}} = G otimes _ {k} { overline {k}}}$ изоморфты кіші тобы бар ${ displaystyle mathbb {G} _ {a}}$

онда жалғыз ықшам нысан ${ displaystyle D_ {qc} ({ mathfrak {X}})}$ нөлдік объект. Атап айтқанда, санат ықшам түрде жасалмайды.

Бұл теорема, мысалы, қатысты ${ displaystyle G = GL_ {n}}$ ендіру арқылы ${ displaystyle mathbb {G} _ {a} - GL_ {n}}$ нүкте жіберу ${ displaystyle x in mathbb {G} _ {a} (S)}$ сәйкестік матрицасына плюс ${ displaystyle x}$ кезінде ${ displaystyle n}$ бірінші қатардағы-баған.

Жинақталған категориялар

Көптеген санаттарда ықшамды болу шарты өте күшті, сондықтан объектілердің көпшілігі ықшам болмайды. Санат ${ displaystyle C}$ болып табылады ықшам түрде жасалған егер кез-келген нысанды ішіндегі ықшам нысандардың сүзгіленген колими ретінде көрсетуге болады ${ displaystyle C}$ . Мысалы, кез-келген векторлық кеңістік V бұл оның ақырлы өлшемді (яғни ықшам) ішкі кеңістіктерінің сүзгіленген колимиті. Демек, векторлық кеңістіктің санаты (тұрақты өріс үстінде) ықшам түрде жасалады.

Ықшам түрде жасалынған және барлық колимдарды мойындайтын категориялар деп аталады қол жетімді санаттар.

Екіге бөлінетін нысандармен байланыс

Санаттар үшін C жақсы өңделген тензор өнімімен (формальды түрде, C болуы керек моноидты категория ), қандай да бір түпкілікті жүктейтін тағы бір шарт бар, яғни объект болып табылатын шарт қосарланған. Егер моноидты бірлік in C ықшам, сондықтан кез-келген қосарланған нысан да ықшам болады. Мысалға, R сияқты ықшам R-модуль, сондықтан бұл бақылауды қолдануға болады. Шынында да, санатында R-модульдер екіге бөлінетін нысандар шектеулі түрде ұсынылған проективті модульдер, атап айтқанда ықшам. ∞-санаттар контекстінде қосарланған және ықшам нысандар бір-бірімен тығыз байланысты болады, мысалы, ∞-санаттағы кешендер R-модульдер, ықшам және қосарланған нысандар келіседі. Дуализацияланатын және ықшам нысандар келісетін осы және жалпы мысал Бен-Зви, Фрэнсис және Надлер (2010).

Әдебиеттер тізімі

^ Лури (2009), §5.3.4)
^ Adámek & Rosický (1994 ж.), Тарау 1.A)
^ Ниман, Амнон. «Коллектордағы қабықшалардың алынған санаты туралы». Mathematica Documenta. 6: 483–488.
^ Холл, Джек; Ниман, Амнон; Рид, Дэвид (2015-12-03). «Алгебралық стектердің алынған категориялары үшін бір оң және екі теріс нәтижелер». arXiv:1405.1888 [math.AG ].

Адамек, Джизи; Rosický, Jiří (1994), Жергілікті жерде қол жетімді және қол жетімді санаттар, Кембридж университетінің баспасы, дои:10.1017 / CBO9780511600579, ISBN 0-521-42261-2, МЫРЗА 1294136
Бен-Зви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Алгебралық геометриядағы интегралдық түрлендірулер және Дринфельд орталықтары», Америка математикалық қоғамының журналы, 23 (4): 909–966, arXiv:0805.0157, дои:10.1090 / S0894-0347-10-00669-7, МЫРЗА 2669705, S2CID 2202294

Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006), Санаттар мен шоқтар, Springer Verlag, дои:10.1007/3-540-27950-4, ISBN 978-3-540-27949-5, МЫРЗА 2182076
Лури, Джейкоб (2009), Жоғары топос теориясы, Математика зерттеулерінің жылнамалары, 170, Принстон университетінің баспасы, arXiv:math.CT / 0608040, ISBN 978-0-691-14049-0, МЫРЗА 2522659

[1] Лури (2009), §5.3.4)

[2] Adámek & Rosický (1994 ж.), Тарау 1.A)

[3] Ниман, Амнон. «Коллектордағы қабықшалардың алынған санаты туралы». Mathematica Documenta. 6: 483–488.

[4] Холл, Джек; Ниман, Амнон; Рид, Дэвид (2015-12-03). «Алгебралық стектердің алынған категориялары үшін бір оң және екі теріс нәтижелер». arXiv:1405.1888 [math.AG ].

[1]

[2]

[3]

[4]