Дөңгелек заң - Circular law

Жылы ықтималдықтар теориясы, нақтырақ зерттеу кездейсоқ матрицалар, дөңгелек заң таралуына қатысты меншікті мәндер туралы n × n кездейсоқ матрица бірге тәуелсіз және бірдей бөлінген жазбалар шегіндеn → ∞.

Бұл кез келген дәйектілік үшін деп бекітеді кездейсоқ n × n матрицалар жазбалары кім тәуелсіз және бірдей үлестірілген кездейсоқ шамалар, барлығы білдіреді нөл және дисперсия тең 1/n, шекті спектрлік үлестіру болып табылады біркелкі үлестіру дискінің үстінен

Тәуелсіз, стандартты қалыпты жазбалармен 1000x1000 матрицасының меншікті мәндерінің нақты және ойдан шығарылған бөліктерінің (масштабы (sqrt (1000))).

Дәл мәлімдеме

Келіңіздер тізбегі болуы керек n × n жазбалары бар матрицалық ансамбльдер i.i.d. күрделі кездейсоқ шаманың көшірмелері х бірге білдіреді 0 және дисперсия 1. Келіңіздер белгілеу меншікті мәндер туралы . Эмпирикалық спектрлік өлшемін анықтаңыз сияқты

Осы анықтамаларды ескере отырып, дөңгелек заң бұл туралы айтады сөзсіз (яғни бір ықтималдықпен), шаралар реттілігі үлестіру кезінде жинақталады бірлік дискідегі біркелкі өлшемге дейін.

Тарих

Жазбалардың Гаусс таралуы бар кездейсоқ матрицалар үшін ( Ginibre ансамбльдері), циркулярлы заң 1960 жж. құрылған Жан Джини.[1] 1980 жылдары Вячеслав Гирко енгізді[2] жалпы тарату үшін шеңбер заңын құруға мүмкіндік беретін тәсіл. Әрі қарай алға жылжу болды[3] тарату бойынша белгілі бір тегістік болжамдары бойынша шеңбер заңын құрған Чжидун Бай.

Болжамдар жұмыстарында одан әрі жеңілдеді Теренс Дао және Ван Х. Ву,[4] Гуанмин Пан және Ван Чжоу,[5] және Фридрих Гётце мен Александр Тихомиров.[6] Соңында, 2010 жылы Тао мен Ву дәлелдеді[7] жоғарыда көрсетілген минималды болжамдар бойынша шеңбер заңы.

Дөңгелек заңның нәтижесі 1988 жылы «Коммерстер», Кризанти, Сомполинский және Стейнмен ерікті корреляцияға ие матрицалар ансамбльдері үшін эллипстік заңға дейін кеңейтілді.[8] Эллиптикалық және дөңгелек заңдарды Асцитуно, Роджерс және Шомерус одан әрі жоғары деңгейдегі корреляцияларды қамтитын гипотрохоидтық заңға одан әрі жалпылаған.[9]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Джини, Жан (1965). «Күрделі, кватериондық және нақты матрицалардың статистикалық ансамбльдері». Дж. Математика. Физ. 6: 440–449. Бибкод:1965JMP ..... 6..440G. дои:10.1063/1.1704292. МЫРЗА  0173726.
  2. ^ Джирко, В.Л. (1984). «Дөңгелек заң». Teoriya Veroyatnostei мен ee Primeneniya. 29 (4): 669–679.
  3. ^ Бай, З.Д. (1997). «Дөңгелек заң». Ықтималдық шежіресі. 25 (1): 494–529. дои:10.1214 / aop / 1024404298. МЫРЗА  1428519.
  4. ^ Дао, Т .; Vu, V.H. (2008). «Кездейсоқ матрицалар: дөңгелек заң». Коммун. Contemp. Математика. 10 (2): 261–307. arXiv:0708.2895. дои:10.1142 / s0219199708002788. МЫРЗА  2409368.
  5. ^ Пан, Г .; Чжоу, В. (2010). «Дөңгелек заң, экстремалды сингулярлық құндылықтар және потенциалдар теориясы». J. Көп айнымалы анал. 101 (3): 645–656. arXiv:0705.3773. дои:10.1016 / j.jmva.2009.08.005.
  6. ^ Гётце, Ф .; Тихомиров, А. (2010). «Кездейсоқ матрицаларға арналған дөңгелек заң». Ықтималдық шежіресі. 38 (4): 1444–1491. arXiv:0709.3995. дои:10.1214 / 09-аоп522. МЫРЗА  2663633.
  7. ^ Дао, Теренс; Ву, Ван (2010). қосымша Манжунат Кришнапур. «Кездейсоқ матрицалар: ESD әмбебаптығы және шеңбер заңы». Ықтималдық шежіресі. 38 (5): 2023–2065. arXiv:0807.4898. дои:10.1214 / 10-AOP534. МЫРЗА  2722794.
  8. ^ Соммерс, Х.Ж .; Крисанти, А .; Сомполинский, Х .; Stein, Y. (1988). «Үлкен асимметриялық матрицалар спектрі». Физикалық шолу хаттары. 60 (19): 1895–1898.
  9. ^ Ассейтуно, П.В .; Роджерс, Т .; Schomerus, H. (2019). «Циклдік корреляциясы бар кездейсоқ матрицалар үшін әмбебап гипотрохоидтық заң». Физикалық шолу E. 100 (1): 010302.