Алгебра категориясы - Category algebra

Жылы категория теориясы, өрісі математика, а алгебра категориясы болып табылады ассоциативті алгебра, кез-келген жергілікті ақырлы үшін анықталған санат және бірлігі бар коммутативті сақина. Санат алгебралары ұғымдарды жалпылайды алгебралар және алгебралар, дәл сол сияқты санаттар туралы түсініктерін жалпылау топтар және жартылай тапсырыс берілген жиынтықтар.

Анықтама

Егер берілген санат шектеулі болса (оның саны көп болса) нысандар және морфизмдер ), алгебра категориясының келесі екі анықтамасы сәйкес келеді.

Алгебра стиліндегі топтық анықтама

Берілген топ G және а ауыстырғыш сақина R, біреуін салуға болады RG, ретінде белгілі топтық алгебра; бұл R-модуль көбейтуімен жабдықталған. Топ - бұл барлық морфизмдер болатын жалғыз объектісі бар категориямен бірдей изоморфизмдер (мұнда топ элементтері санаттағы морфизмдерге сәйкес келеді), сондықтан келесі конструкция топ алгебрасының топтардан ерікті категорияларға дейінгі анықтамасын жалпылайды.

Келіңіздер C санат болу және R бірлігі бар коммутативті сақина болыңыз. Анықтаңыз RC (немесе R[C]) болу Тегін R-модуль карталарынан тұратын негізде C. Басқа сөздермен айтқанда, RC формальдыдан тұрады сызықтық комбинациялар (олар шекті қосындылар болып табылады) , қайда fмен карталары болып табылады C, және амен сақинаның элементтері болып табылады R. Бойынша көбейту операциясын анықтаңыз RC санаттағы композиция операциясын қолдану арқылы келесідей:

қайда егер олардың құрамы анықталмаса. Бұл екілік операцияны анықтайды RC, сонымен қатар жасайды RC сақина үстіндегі ассоциативті алгебраға R. Бұл алгебра деп аталады алгебра категориясы туралы C.

Еркін модуль элементтері басқа тұрғыдан алғанда RC карталарындағы функциялар ретінде қарастырылуы мүмкін C дейін R қайсысы түпкілікті қолдау көрсетіледі. Сонда көбейту а арқылы сипатталады конволюция: егер (карталардағы функционалды деп ойладым C), содан кейін олардың өнімі келесідей анықталады:

Соңғы қосынды шектеулі, өйткені функцияларға ақырғы қолдау көрсетіледі, демек .

Алгебра стилінің анықталуы

Алгебралар үшін қолданылатын анықтама категория деп санайды C жергілікті шектеулі (төменде қараңыз), болып табылады қосарланған жоғарыда көрсетілген анықтамаға сәйкес және а әр түрлі объект. Бұл топтар үшін пайдалы болжам емес, өйткені категория ретінде жергілікті шектеулі топ ақырлы болады.

A жергілікті шектеулі санат бұл әрбір картаны тек көптеген тәсілдермен жазуға болатын карта, өйткені екі жеке картаның құрамы («бар» дегенмен шатастыруға болмайды) Үй жиынтықтары «алгебра» категориясы (осы мағынада) жоғарыда анықталған, бірақ барлық коэффициенттер нөлге тең болмауға мүмкіндік береді.

Формальды қосындыларға келетін болсақ, элементтердің барлығы формальды қосындылар болып табылады

шектеулер жоқ жерде (олардың барлығы нөлге тең емес болуы мүмкін).

Функциялар тұрғысынан элементтер - бұл кез-келген функциялар C дейін R, және көбейту конволюция ретінде анықталады. Конволюциядағы қосынды әрдайым ақырлы болады, себебі жергілікті ақырлық болжамға байланысты.

Қосарланған

Алгебраның модуль қос моделі (анықтаманың топтық алгебра мағынасында) - бұл барлық карталардың кеңістігі. C дейін R, деп белгіленді F(C) және табиғиға ие көміргебра құрылым. Осылайша, жергілікті шектеулі санат үшін алгебраның қосарланған категориясы (алгебраның топтық мағынасында) категория алгебрасы болып табылады (алгебраның түсу мағынасында), әрі алгебра, әрі колгебебра құрылымына ие.

Мысалдар

Әдебиеттер тізімі

  • Хэй, Джон. Мебиус алгебрасы және ақырғы санаттағы Гротендик сақинасы туралы Лондон математикасы. Soc (2), 21 (1980) 81–92.

Әрі қарай оқу