Осьтің бұрыштық көрінісі - Axis–angle representation

Бұрыш

θ

және ось бірлігі векторы

e

айналу векторымен қысқаша ұсынылған айналуды анықтаңыз

θ e

.

Жылы математика, осьті - бұрышты бейнелеу айналу параметрі a айналу ішінде үш өлшемді Евклид кеңістігі екі шама бойынша: а бірлік векторы $e$ айналу осінің бағытын көрсете отырып, және бұрыш $θ$ осьтің айналу шамасын сипаттайтын. Бірлік векторының бағытын анықтау үшін үш емес, тек екі сан қажет $e$ шамасына байланысты шыққан $e$ шектелген. Мысалы, -ның биіктік және азимуттық бұрыштары $e$ оны кез-келген нақты декарттық координаталық кадрға орналастыру жеткілікті.

Авторы Родригестің айналу формуласы, бұрыш пен ось үш өлшемді векторларды айналдыратын түрлендіруді анықтайды. Айналдыру мағынасы бойынша жүреді оң жақ ереже. Айналу осі кейде деп аталады Эйлер осі.

Бұл көптің бірі үш өлшемдегі айналу формализмдері. Осьтің және бұрыштың көрінісі алдын-ала берілген Эйлердің айналу теоремасы, бұл үш өлшемді кеңістіктегі қатты дененің кез-келген айналуы немесе айналу реттілігі бір қозғалмайтын осьтің айналасындағы таза айналуға тең болатындығын көрсетеді.

Айналу векторы

Осьтік-бұрышты бейнелеу неғұрлым қысқартуға тең айналу векторы, деп те аталады Эйлер векторы. Бұл жағдайда айналу осі де, бұрышы да ұзындығы айналу бұрышы болатын айналу осімен бірге кодиректорлы вектормен ұсынылады. $θ$ ,

{displaystyle {oldsymbol {heta}} = heta mathbf {e},.}

Ол үшін қолданылады экспоненциалды және логарифм осы көріністі қамтитын карталар.

Көптеген айналу векторлары бірдей айналуға сәйкес келеді. Атап айтқанда, ұзындықтың векторы $θ + 2π М$ , кез келген бүтін сан үшін $М$ , ұзындықтың векторымен дәл бірдей айналуды кодтайды $θ$ . Сонымен, кез-келген айналуға сәйкес келетін векторлардың, ең болмағанда, есептелетін шексіздігі бар. Сонымен қатар, барлық айналымдар $2π М$ айналу мүлдем болмайтындығымен бірдей, сондықтан берілген бүтін сан үшін $М$ , ұзындықтың барлық векторлары $2π М$ , барлық бағыттарда нөлдік вектормен бірдей айналуды кодтайтын екі параметрлі айналу векторларының шексіздігін құрайды. Бұл фактілерді экспоненциалды картаны инверсиялау кезінде, яғни берілген айналу матрицасына сәйкес келетін айналу векторын табуда ескеру қажет. Экспоненциалды карта үстінде бірақ жоқ бір-біріне.

Мысал

Сіз жерде тұрғаныңызды айтыңыз және сіз ауырлық күшінің бағытын теріс деп таңдайсыз $з$ бағыт. Сонда сіз солға бұрылсаңыз, айналасыз $π / 2$ радиан (немесе 90° ) туралы $з$ ось. Осьтік-бұрыштық көріністі ан түрінде қарау тапсырыс берілген жұп, бұл болар еді

{displaystyle (mathrm {axis}, mathrm {angle}) = сол жақ ({egin {bmatrix} e_ {x} e_ {y} e_ {z} end {bmatrix}}, heta ight) = сол жақ ({egin {bmatrix} 0 0 1end {bmatrix}}, {frac {pi} {2}} ight).}

Жоғарыда келтірілген мысалды шамасы бойынша айналу векторы ретінде ұсынуға болады $π / 2$ нұсқау $з$ бағыт,

{displaystyle {egin {bmatrix} 0 0 {frac {pi} {2}} end {bmatrix}}.}

Қолданады

Осьті-бұрышты көрсету ыңғайлы дененің қатты динамикасы. Екі сипаттамаға да пайдалы айналу, сондай-ақ қатты дененің әртүрлі бейнелері арасында түрлендіруге арналған қозғалыс, мысалы, біртектес түрлендірулер^{[түсіндіру қажет ]} және бұрылыстар.

Қашан қатты дене айналдырады бекітілген осьтің айналасында, оның осьтік-бұрыштық деректері а тұрақты айналу осі және айналу бұрышы үздіксіз тәуелді қосулы уақыт.

Үш жеке мәнді қосу 1 және $e \pm мен$ және оларға декарттық көріністегі үш ортогональ ось Мерсер теоремасы бұл үш өлшемдегі айналу матрицасының декарттық көрінісінің ыңғайлы құрылысы.

Векторды айналдыру

Родригестің айналу формуласы, атындағы Олинде Родригес, - бұл айналу осі мен айналу бұрышы берілген, евклидтік векторды айналдырудың тиімді алгоритмі. Басқаша айтқанда, Родригестің формуласы экспоненциалды картаны есептеу алгоритмін ұсынады ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ дейін $Ж (3)$ толық матрицалық экспоненциалды есептемей.

Егер $v$ вектор болып табылады $ℝ 3$ және $e$ Бұл бірлік векторы айналу осін сипаттайтын бастаудан тамырланған $v$ бұрышы бойынша бұрылады $θ$ , Родригестің векторын алу үшін айналу формуласы болып табылады

{displaystyle mathbf {v} _ {mathrm {rot}} = (cos heta) mathbf {v} + (sin heta) (mathbf {e} imes mathbf {v}) + (1-cos heta) (mathbf {e} cdot mathbf {v}) mathbf {e},.}

Бір вектордың айналуы үшін түрлендіруге қарағанда тиімдірек болуы мүмкін $e$ және $θ$ векторын айналдыру үшін айналу матрицасына.

Басқа өкілдіктермен байланыс

Айналуды ұсынудың бірнеше әдісі бар. Әр түрлі өкілдіктердің бір-бірімен қаншалықты қатысы бар екенін және олардың арасындағы түрлендіруді түсіну пайдалы. Мұнда бірлік векторы белгіленеді $ω$ орнына $e$ .

Бастап экспоненциалды карта ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ (3) бастап SO (3)

The экспоненциалды карта айналуының осьтік-бұрыштық көрінісінен түрлендіруге әсер етеді айналу матрицалары,

{displaystyle exp colon {mathfrak {so}} (3) o mathrm {SO} (3) ,.}

Негізінен, а Тейлордың кеңеюі бірі осы екі көріністің арасындағы тұйықталған қатынасты шығарады. Бірлік векторы берілген ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ бірліктің айналу осі мен бұрышын бейнелейтін, $θ \in ℝ$ , эквивалентті айналу матрицасы $R$ келесідей беріледі, қайда $Қ$ болып табылады көлденең өнім матрицасы туралы $ω$ , Бұл, $Кв = ω \times v$ барлық векторлар үшін $v \in ℝ 3$ ,

{displaystyle R = exp (heta mathbf {K}) = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(heta mathbf {K}) ^ {k}} {k!}} = I + heta mathbf {K } + {frac {1} {2!}} (heta mathbf {K}) ^ {2} + {frac {1} {3!}} (heta mathbf {K}) ^ {3} + cdots}

Себебі $Қ$ қисық-симметриялы, ал оның жоғары диагональды жазбаларының квадраттарының қосындысы 1-ге тең тән көпмүшелік $P (т)$ туралы $Қ$ болып табылады $P (т) = det (Қ - т Мен) = -(т 3 + т)$ . Бастап, бастап Кэйли-Гамильтон теоремасы, $P (Қ)$ = 0, бұл мұны білдіреді

{displaystyle mathbf {K} ^ {3} = - mathbf {K},.}

Болғандықтан, $Қ 4 = - Қ 2$ , $Қ 5 = Қ$ , $Қ 6 = Қ 2$ , $Қ 7 = - Қ$ .

Бұл циклдік заңдылық шексіз жалғасады, сондықтан барлық жоғары күштер $Қ$ арқылы білдіруге болады $Қ$ және $Қ 2$ . Сонымен, жоғарыдағы теңдеуден мыналар шығады

{displaystyle R = I + сол жаққа (heta - {frac {heta ^ {3}} {3!}} + {frac {heta ^ {5}} {5!}} - cdots ight) mathbf {K} + сол жақ ({frac {heta ^ {2}} {2!}} - {frac {heta ^ {4}} {4!}} + {frac {heta ^ {6}} {6 !}} - cdots ight) mathbf {K} ^ {2} ,,}

Бұл,

{displaystyle R = I + (sin heta) mathbf {K} + (1-cos heta) mathbf {K} ^ {2},}

бойынша Тригонометриялық функциялардың Тейлор сериясының формуласы.

Бұл мақаладағы геометриялықтан айырмашылығы, Ли-алгебралық туынды Родригестің айналу формуласы.^[1]

Жоғарыда аталған экспоненциалды картаның болуына байланысты бірлік векторы $ω$ айналу осін және бұрышты бейнелейді $θ$ кейде деп аталады экспоненциалды координаттар айналу матрицасының $R$ .

Журнал картасы SO (3) - ден ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ (3)

Келіңіздер $Қ$ көлденең көбейтіндіні айналу осіне әсер ететін 3 × 3 матрицасын белгілеуді жалғастырыңыз $ω$ : $Қ (v) = ω \times v$ барлық векторлар үшін $v$ бұдан кейін.

А осінің бұрыштық көрінісін алу үшін айналу матрицасы, бастап бұрылу бұрышын есептеңіз айналу матрицасының ізі

{displaystyle heta = arccos қалды ({frac {operatorname {Tr} (R) -1} {2}} ight)}

содан кейін оны қалыпқа келтірілген білікті табу үшін қолданыңыз,

{displaystyle {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2sin heta}} {egin {bmatrix} R_ {32} -R_ {23} R_ {13} -R_ {31} R_ {21} -R_ {12} соңы {bmatrix}} ~,}

қайда ${displaystyle R_ {ij}}$ айналу матрицасының құрамдас бөлігі болып табылады, ${displaystyle R}$ , ішінде ${displaystyle i}$ -ші қатар және ${displaystyle j}$ - баған.

Осінің бұрыштық көрінісі бұрылғаннан бері ерекше емес екенін ескеріңіз ${displaystyle - heta}$ туралы ${displaystyle - {oldsymbol {omega}}}$ -ның айналуымен бірдей ${displaystyle heta}$ туралы ${displaystyle {oldsymbol {omega}}}$ .

The Матрицалық логарифм айналу матрицасының $R$ болып табылады

{displaystyle log R = {egin {case} 0 & {ext {if}} heta = 0 {dfrac {heta} {2sin heta}} left (R-R ^ {mathsf {T}} ight) & {ext {if}} heta eq 0 {ext {and}} heta in (-pi, pi) end {case}}}

Ерекше жағдай болған кезде орын алады $R$ бар меншікті мәндер тең −1. Бұл жағдайда журнал бірегей емес. Алайда, тіпті қайда θ = $π$ The Фробениус нормасы журналдың

{displaystyle | log (R) | _ {mathrm {F}} = {sqrt {2}} | хета |.}

Берілген айналу матрицалары $A$ және $B$ ,

{displaystyle d_ {g} (A, B): = left | log left (A ^ {mathsf {T}} B ight) ight | _ {mathrm {F}}}

бұл айналу матрицаларының 3D коллекторындағы геодезиялық арақашықтық.

Шағын айналымдар үшін жоғарыдағы есептеу $θ$ болуы мүмкін, бұл сан жағынан дәл емес болуы мүмкін, өйткені arccos туындысы шексіздікке дейін барады $θ \to 0$ . Бұл жағдайда осьтен тыс терминдер шынымен жақсы ақпарат береді $θ$ өйткені, кішкентай бұрыштар үшін, $R \approx Мен + θ Қ$ . (Себебі, бұл Тейлор сериясының алғашқы екі мүшесі $exp (θ Қ)$ .)

Бұл тұжырымдаманың сандық проблемалары бар $θ = π$ , осьтен тыс терминдер айналу осі туралы ақпарат бермейді (ол белгі белгісіздігіне дейін анықталады). Бұл жағдайда біз жоғарыдағы формуланы қайта қарауымыз керек.

{displaystyle R = I + mathbf {K} sin heta + mathbf {K} ^ {2} (1-cos heta)}

At $θ = π$ , Бізде бар

{displaystyle R = I + 2mathbf {K} ^ {2} = I + 2 ({oldsymbol {omega}} otimes {oldsymbol {omega}} - I) = 2 {oldsymbol {omega}} otimes {oldsymbol {omega}} Мен}

және солай болсын

{displaystyle B: = {oldsymbol {omega}} otimes {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2}} (R + I) ,,}

сондықтан диагональды шарттары $B$ элементтерінің квадраттары болып табылады $ω$ және белгілерді (белгісіздікке дейін) осьтен тыс мүшелерінің белгілерінен анықтауға болады $B$ .

Кватерниондар

келесі өрнек ось-бұрыштық координаталарды түрлендіреді билер (бірлік кватерниондар ):

{displaystyle Q = сол жақ (cos {frac {heta} {2}}, {oldsymbol {omega}} sin {frac {heta} {2}} ight)}

Версор берілген $q = с + х$ онымен ұсынылған скаляр $с$ және векторлық $х$ , ось-бұрыштық координаталарды келесі көмегімен алуға болады:

{displaystyle {egin {aligned} heta & = 2arccos s [8px] {oldsymbol {omega}} & = {egin {case} {dfrac {mathbf {x}} {sin {frac {heta} {2}}}} , & {ext {if}} heta eq 0 0, & {ext {әйтпесе}}. end {case}} end {aligned}}}

Айналу бұрышының сандық тұрақты өрнегі atan2 функциясы:

{displaystyle heta = 2operatorname {atan2} (| mathbf {x} |, s) ,,}

қайда $| х |$ болып табылады Евклидтік норма 3 векторлы $х$ .

Сондай-ақ қараңыз

Біртекті координаттар
Бұрандалар теориясы, бұрылыстар, бұрандалар мен кілттер ұғымдарын қолдана отырып, дененің қатты қозғалысы мен жылдамдығын ұсыну
Жалған вектор

Әдебиеттер тізімі

^ Бұл айналу тобының үштік көрінісі үшін қажет, яғни айналдыру 1. Жоғары өлшемді көріністер / спиндер үшін қараңыз Кертрайт, Т.Л.; Фэрли, Д.Б.; Закос, К. (2014). «Айналудың ықшам формуласы, спин-матрицалық көпмүшеліктер ретінде». SIGMA. 10: 084. arXiv:1402.3541. дои:10.3842 / SIGMA.2014.084.

[1] Бұл айналу тобының үштік көрінісі үшін қажет, яғни айналдыру 1. Жоғары өлшемді көріністер / спиндер үшін қараңыз Кертрайт, Т.Л.; Фэрли, Д.Б.; Закос, К. (2014). «Айналудың ықшам формуласы, спин-матрицалық көпмүшеліктер ретінде». SIGMA. 10: 084. arXiv:1402.3541. дои:10.3842 / SIGMA.2014.084.

[1]