Van der Corput lemma (гармоникалық талдау) - Википедия - Van der Corput lemma (harmonic analysis)

Жылы математика өрісінде гармоникалық талдау, ван дер Корпут леммасы үшін бағалау болып табылады тербелмелі интегралдар атындағы Голланд математик J. G. van der Corput.

Келесі нәтиже мәлімдеді Э.Штайн:^[1]

Айталық, нақты бағаланған функция ${ displaystyle phi (x)}$ ашық аралықта тегіс ${ displaystyle (a, b)}$және сол ${ displaystyle | phi ^ {(k)} (x) | geq 1}$ барлығына ${ displaystyle x in (a, b)}$.Оны да ойлаңыз ${ displaystyle k geq 2}$, немесе сол${ displaystyle k = 1}$ және ${ displaystyle phi '(x)}$ монотонды болып табылады ${ displaystyle x in mathbb {R}}$.Тұрақты болады ${ displaystyle c_ {k}}$, бұл тәуелді емес ${ displaystyle phi}$, осылай

${ displaystyle { Big |} int _ {a} ^ {b} e ^ {i lambda phi (x)} { Big |} leq c_ {k} lambda ^ {- 1 / k} ,}$

кез келген үшін ${ displaystyle lambda in mathbb {R}}$.

Sublevel бағаларын қойды

Ван-дер-Корпут леммасы -мен тығыз байланысты жиынтық деңгей бағалау (мысалы, қараңыз)^[2]), олар жоғарғы шекараны береді өлшеу Функция мәні үлкен емес мәндерді қабылдайды ${ displaystyle epsilon}$.

Айталық, нақты бағаланған функция ${ displaystyle phi (x)}$ Смотон - ақырлы немесе шексіз аралық ${ displaystyle I subset mathbb {R}}$және сол ${ displaystyle | phi ^ {(k)} (x) | geq 1}$ барлығына ${ displaystyle x in I}$.Тұрақты болады ${ displaystyle c_ {k}}$, бұл тәуелді емес ${ displaystyle phi}$, кез келген үшін ${ displaystyle epsilon geq 0}$жиынтық деңгейінің өлшемі${ displaystyle {x in I: | phi (x) | leq epsilon }}$шектелген ${ displaystyle c_ {k} epsilon ^ {1 / k}}$.

Әдебиеттер тізімі