Вахитов - Колоколовтың тұрақтылық критерийі - Vakhitov–Kolokolov stability criterion

The Вахитов - Колоколовтың тұрақтылық критерийі Бұл жағдай үшін сызықтық тұрақтылық (кейде аталады спектрлік тұрақтылық) of жалғыз толқындық ерітінділер кең сыныпқа U(1) - өзгермейтін Гамильтондық жүйелер, кеңес ғалымдары Александр Колоколов (Александр Александрович Колоколов) және Назиб Вахитов (Назиб Галиевич Вахитов) атындағы. жалғыз толқын ${ displaystyle u (x, t) = phi _ { omega} (x) e ^ {- i omega t} ,}$ жиілікпен ${ displaystyle omega ,}$ формасы бар

${ displaystyle { frac {d} {d omega}} Q ( omega) <0,}$

қайда ${ displaystyle Q ( omega) ,}$ болып табылады зарядтау (немесе импульс ) жалғыз толқын${ displaystyle phi _ { omega} (x) e ^ {- i omega t} ,}$, сақталған Нетер теоремасы байланысты U(1) -жүйенің өзгермеуі.

Түпнұсқа формула

Бастапқыда бұл критерий үшін алынған сызықты емес Шредингер теңдеуі,

${ displaystyle i { frac { жарым-жартылай} { жартылай t}} u (х, t) = - { frac { жартылай ^ {2}} { жартылай x ^ {2}}} u (х, t) + g (| u (x, t) | ^ {2}) u (x, t),}$

қайда ${ displaystyle x in mathbb {R} ,}$, ${ displaystyle t in mathbb {R}}$,және ${ displaystyle g in C ^ { infty} ( mathbb {R})}$ тегіс нақты бағаланатын функция. Шешім ${ displaystyle u (x, t) ,}$ деп болжануда күрделі-бағалы.Теңдеу болып табылады U(1) -инвариант, бойынша Нетер теоремасы, ол бар қозғалыс интегралы,${ displaystyle Q (u) = { frac {1} {2}} int _ { mathbb {R}} | u (x, t) | ^ {2} , dx}$, деп аталады зарядтау немесе импульс, қарастырылатын модельге байланысты.Функциялардың кең класы үшін ${ displaystyle g ,}$, сызықты емес Шредингер теңдеуі формадағы толқындық шешімдерді қабылдайды${ displaystyle u (x, t) = phi _ { omega} (x) e ^ {- i omega t} ,}$, қайда ${ displaystyle omega in mathbb {R}}$және ${ displaystyle phi _ { omega} (x) ,}$ үлкенге ыдырау ${ displaystyle x ,}$(біреу мұны жиі талап етеді ${ displaystyle phi _ { omega} (x) ,}$ тиесілі Соболев кеңістігі ${ displaystyle H ^ {1} ( mathbb {R} ^ {n})}$Әдетте мұндай шешімдер бар ${ displaystyle omega ,}$ нақты сызық интервалынан немесе интервалдар жиынтығынан. Вахитов - Колоколов тұрақтылық критерийі,^[1][2][3][4]

${ displaystyle { frac {d} {d omega}} Q ( phi _ { omega}) <0,}$

- бұл жалғыз толқындық ерітіндінің спектрлік тұрақтылығының шарты, егер бұл шарт белгілі бір мәнде орындалса ${ displaystyle omega ,}$, содан кейін осымен жалғыз толқындағы сызықтық жүру ${ displaystyle omega ,}$ оң жарты жазықтықта спектрі жоқ.

Бұл нәтиже ертерек жасалған жұмысқа негізделген^[5] арқылы Владимир Захаров.

Жалпылау

Бұл нәтиже жалпылама түрде абстракцияланды Гамильтондық жүйелер бірге U(1) -инвария.^[6]Вахитов-Колоколов тұрақтылық критерийі жалпы жағдайда спектрлік тұрақтылыққа ғана емес, сонымен бірге кепілдік беретіні де көрсетілді. орбиталық тұрақтылық жалғыз толқындар.

Тұрақтылық шарты қорытылды^[7]толқындық шешімді жылжыту жалпыланған Кортевег – де Фриз теңдеуі форманың

${ displaystyle жарым-жартылай _ {t} u + жартылай _ {х} ^ {3} u + жартылай _ {x} f (u) = 0 ,}$.

Гамильтондық жүйелер үшін тұрақтылық шарты жалпылама сипаттамаға ие болды симметрия тобы.^[8]

Сондай-ақ қараңыз

• Деррик теоремасы
• Сызықтық тұрақтылық
• Ляпуновтың тұрақтылығы
• Сызықты емес Шредингер теңдеуі
• Орбиталық тұрақтылық

Әдебиеттер тізімі