Біркелкі гиперфинитті алгебра - Uniformly hyperfinite algebra

Жылы математика, әсіресе теориясында C * -алгебралар, а біркелкі гиперфинитті, немесе UHF, алгебра - бұл C * алгебрасы, оны жабылу түрінде жазуға болады норма топологиясы, ақырлы-көлемді толыққандылықтың ұлғаюы матрицалық алгебралар.

Анықтама

UHF C * алгебрасы - бұл тікелей шек индуктивті жүйенің {A_n, φ_n} қайда A_n - бұл ақырлы өлшемді толық матрицалық алгебра және әрқайсысы φ_n : A_n → A_n+1 бірыңғай ендіру болып табылады. Байланыстырушы карталарды басу арқылы жазуға болады

${displaystyle A = {overline {cup _ {n} A_ {n}}}.}$

Жіктелуі

Егер

${displaystyle A_ {n} simeq M_ {k_ {n}} (mathbb {C}),}$

содан кейін rk_n = к_{n + 1} бүтін сан үшін р және

${displaystyle phi _ {n} (a) = аотимдер I_ {r},}$

қайда Мен_р ішіндегі сәйкестік р × р матрицалар. Бірізділік ...к_n|к_{n + 1}|к_{n + 2}... формальды өнімді анықтайды

${displaystyle delta (A) = prod _ {p} p ^ {t_ {p}}}$

қайда б жай және т_б = суп {м   |   б^м бөледі к_n кейбіреулер үшін n}, мүмкін нөл немесе шексіз. Ресми өнім δ(A) деп аталады табиғаттан тыс сан сәйкес A.^[1] Жарқырау табиғаттан тыс сан UHF C * -алгебраның толық инварианты екенін көрсетті.^[2] Атап айтқанда, UHF C * -алгебраларының көптеген изоморфизм кластары бар.

Егер δ(A) ақырлы, сонда A бұл толық матрицалық алгебра М_δ(A). UHF алгебрасы деп аталады шексіз тип егер әрқайсысы болса т_б жылы δ(A) 0 немесе is.

Тілінде K теориясы, әрқайсысы табиғаттан тыс сан

${displaystyle delta (A) = prod _ {p} p ^ {t_ {p}}}$

қосымшасының кіші тобын көрсетеді Q бұл типтің рационалды сандары n/м қайда м ресми түрде бөледі δ(A). Бұл топ Қ₀ топ туралы A. ^[1]

CAR алгебрасы

UHF C * -алгебраның бір мысалы болып табылады CAR алгебрасы. Ол келесідей анықталады: рұқсат етіңіз H бөлінетін күрделі Гильберт кеңістігі болыңыз H ортонормальды негізде f_n және L(H) шектелген операторлар H, сызықтық картаны қарастырыңыз

${displaystyle альфа: Hightarrow L (H)}$

сол қасиетімен

${displaystyle {альфа (f_ {n}), альфа (f_ {m})} = 0 квадрат {mbox {және}} төрт альфа (f_ {n}) ^ {*} альфа (f_ {m}) + альфа (f_) {m}) альфа (f_ {n}) ^ {*} = төртбұрыш f_ {m}, f_ {n} бұрыш I}$

CAR алгебрасы - C * алгебрасы

${displaystyle {альфа (f_ {n})} ;.}$

Кірістіру

${displaystyle C ^ {*} (альфа (f_ {1}), cdots, альфа (f_ {n})) ілмек сызығы C ^ {*} (альфа (f_ {1}), cdots, альфа (f_ {n + 1) }))}$

2-ді ендіру арқылы анықтауға болады

${displaystyle M_ {2 ^ {n}} hookrightarrow M_ {2 ^ {n + 1}}.}$

Сондықтан CAR алгебрасында табиғаттан тыс 2 саны бар^∞.^[3] Бұл идентификация сонымен қатар оны береді Қ₀ топ болып табылады диадикалық рационалдар.

Әдебиеттер тізімі