Бұралған полиномдық сақина - Википедия - Twisted polynomial ring

Бұл мақала оқырмандардың көпшілігінің түсінуіне тым техникалық болуы мүмкін. өтінемін оны жақсартуға көмектесу дейін оны мамандар емес адамдарға түсінікті етіңіз, техникалық мәліметтерді жоймай. (Сәуір 2014) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жылы математика, а бұралған көпмүше Бұл көпмүшелік астам өріс туралы сипаттамалық ${ displaystyle p}$ айнымалыда ${ displaystyle tau}$ өкілі Фробениус картасы ${ displaystyle x mapsto x ^ {p}}$. Қалыпты көпмүшеліктерден айырмашылығы, бұл көпмүшелерді көбейту болмайды ауыстырмалы, бірақ коммутация ережесін қанағаттандырады

${ displaystyle tau x = x ^ {p} tau}$

барлығына ${ displaystyle x}$ негізгі өрісте.

Шексіз өрісте бұралған көпмүшелік сақина сақинасына изоморфты аддитивті көпмүшелер, бірақ мұндағы көбейту әдеттегі көбейту емес, көбейту арқылы беріледі. Алайда, бұралған көпмүшелік сақинада есептеу оңайырақ болады - оны әсіресе теориясында қолдануға болады Drinfeld модульдері.

Анықтама

Келіңіздер ${ displaystyle k}$ сипаттама өрісі болу ${ displaystyle p}$. Бұралған полиномдық сақина ${ displaystyle k { tau }}$ айнымалыдағы көпмүшеліктер жиыны ретінде анықталады ${ displaystyle tau}$ және коэффициенттер ${ displaystyle k}$. Оған а сақина кәдімгі қосымшасы бар құрылым, бірақ қатынаспен қорытындылауға болатын коммутативті емес көбейту арқылы ${ displaystyle tau x = x ^ {p} tau}$ үшін ${ displaystyle x in k}$. Осы қатынасты бірнеше рет қолдану кез-келген екі бұралған көпмүшені көбейту формуласын береді.

Мысал ретінде біз осындай көбейтуді орындаймыз

${ displaystyle (a + b tau) (c + d tau) = a (c + d tau) + b tau (c + d tau) = ac + ad tau + bc ^ {p} tau + bd ^ {p} tau ^ {2}}$

Қасиеттері

Морфизм

${ displaystyle k { tau } to k [x], quad a_ {0} + a_ {1} tau + cdots + a_ {n} tau ^ {n} mapsto a_ {0} x + a_ {1} x ^ {p} + cdots + a_ {n} x ^ {p ^ {n}}}$

анықтайды а сақиналы гомоморфизм бұралған көпмүшені аддитивті көпмүшеге жіберу. Мұнда оң жақта көбейту көпмүшеліктер құрамы арқылы беріледі. Мысалға

${ displaystyle (ax + bx ^ {p}) circ (cx + dx ^ {p}) = a (cx + dx ^ {p}) + b (cx + dx ^ {p}) ^ {p} = acx + adx ^ {p} + bc ^ {p} x ^ {p} + bd ^ {p} x ^ {p ^ {2}},}$

сипаттамалық фактіні қолдана отырып ${ displaystyle p}$ бізде Бірінші курстың арманы ${ displaystyle (x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p}}$.

Гомоморфизм инъекциялық сипатта болады, бірақ тек егер болса, солай бола алады ${ displaystyle k}$ шексіз. Сурьютивтіліктің сәтсіздігі ${ displaystyle k}$ ақырлы, нөлдік функцияны индукциялайтын нөлдік емес көпмүшеліктердің болуымен байланысты ${ displaystyle k}$ (мысалы, ${ displaystyle x ^ {q} -x}$ ақырлы өрістің үстінде ${ displaystyle q}$ элементтер).^{[дәйексөз қажет ]}

Бұл сақина коммутативті болмаса да, ол (солға және оңға) ие бөлу алгоритмдері.

Әдебиеттер тізімі

• Госс, Д. (1996), Өріс арифметикасының негізгі құрылымдары, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Математика және сабақтас салалардағы нәтижелер (3)], 35, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-3-540-61087-8, МЫРЗА  1423131, Zbl  0874.11004
• Розен, Майкл (2002), Функциялар өрістеріндегі сандар теориясы, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 210, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-95335-3, ISSN  0072-5285, Zbl  1043.11079