Триномиялық үшбұрыш - Trinomial triangle

The триномиялық үшбұрыш болып табылады Паскаль үшбұрышы. Екеуінің айырмашылығы - триномиялық үшбұрыштағы жазба қосындысының қосындысы үш (орнына екі үстіндегі жазба: Паскаль үшбұрышында:

The ${ displaystyle k}$- кіру ${ displaystyle n}$-ші қатармен белгіленеді

${ displaystyle {n k} _ {2}} таңдаңыз$.

Жолдар 0-ден бастап саналады ${ displaystyle n}$-ші қатар индекстеледі ${ displaystyle -n}$ сол жақтан, ал ортаңғы жазбада 0 индексі бар. Ортаңғы жазба туралы жолдың симметриясы қатынаспен өрнектеледі

${ displaystyle {n select k} _ {2} = {n select -k} _ {2}}$

Қасиеттері

The ${ displaystyle n}$-ші қатардағы коэффициенттерге сәйкес келеді көпмүшелік кеңейту кеңейту триномиялық ${ displaystyle (1 + x + x ^ {2})}$ дейін көтерілді ${ displaystyle n}$- қуат:^[1]

${ displaystyle left (1 + x + x ^ {2} right) ^ {n} = sum _ {j = 0} ^ {2n} {n select jn} _ {2} x ^ {j} = sum _ {k = -n} ^ {n} {n k} _ {2} x ^ {n + k}} таңдаңыз$

немесе симметриялы түрде,

${ displaystyle left (1 + x + 1 / x right) ^ {n} = sum _ {k = -n} ^ {n} {n select k} _ {2} x ^ {k}}$,

демек, балама атау триномиялық коэффициенттер олардың қатынасына байланысты көп мәнді коэффициенттер:

${ displaystyle {n k} _ {2} = sum _ { textstyle {0 leq mu, nu leq n atop mu +2 nu = n + k}} { frac {таңдаңыз n!} { mu! , nu! , (n- mu - nu)!}}}$

Сонымен қатар, диагональдардың қызықты қасиеттері бар, мысалы, олардың қатынасы үшбұрышты сандар.

Элементтерінің қосындысы ${ displaystyle n}$- үшінші қатар ${ displaystyle 3 ^ {n}}$.

Қайталану формуласы

Триномдық коэффициенттерді келесілерді қолдану арқылы жасауға болады қайталану формуласы:^[1]

${ displaystyle {0 select 0} _ {2} = 1}$,

${ displaystyle {n + 1 k} _ {2} = {n k-1} _ {2} + {n k} _ {2} + {n k + 1} _ таңдаңыз 2}}$ үшін ${ displaystyle n geq 0}$,

қайда ${ displaystyle {n select k} _ {2} = 0}$ үшін ${ displaystyle k <-n}$ және ${ displaystyle k> n}$.

Орталық триномиялық коэффициенттер

Триномиалды үшбұрыштың ортаңғы жазбалары

1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139,… (реттілік) A002426 ішінде OEIS )

зерттелді Эйлер және ретінде белгілі орталық триномиялық коэффициенттер.

The ${ displaystyle n}$-ші орталық триномиальды коэффициент бойынша беріледі

${ displaystyle {n select 0} _ {2} = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {n (n-1) cdots (n-2k + 1)} {(k!) ) ^ {2}}} = sum _ {k = 0} ^ {n} {n 2k} {2k k} таңдаңыз.}$

Олардың генерациялық функция болып табылады^[2]

${ displaystyle 1 + x + 3x ^ {2} + 7x ^ {3} + 19x ^ {4} + ldots = { frac {1} { sqrt {(1 + x) (1-3x)}} }.}$

Эйлер мынаны атап өтті exemplum memorabile inductionis fallacis («жалған индукцияның көрнекті мысалы»):

${ displaystyle 3 {n + 1 таңдау 0} _ {2} - {n + 2 таңдау 0} _ {2} = F_ {n} (F_ {n} +1)}$ үшін ${ displaystyle 0 leq n leq 7}$,

қайда ${ displaystyle F_ {n}}$ болып табылады n-шы Фибоначчи нөмірі. Үлкенірек үшін ${ displaystyle n}$дегенмен, бұл қатынас дұрыс емес. Джордж Эндрюс жалпы сәйкестікті қолдана отырып, осы қателікті түсіндірді^[3]

${ displaystyle 2 sum _ {k in mathbb {Z}} сол жақта [{n + 1 таңдау 10k} _ {2} - {n + 1 таңдау 10k + 1} _ {2} оң] = F_ {n} (F_ {n} +1).}$

Қолданбалар

Шахматта

Ең аз жүріс саны бар ұяшыққа жету жолдарының саны

Үшбұрыш мүмкін болатын жолдардың санына сәйкес келеді патша ойында шахмат. Ұяшықтағы жазба патшаның ұяшыққа жету үшін қабылдауы мүмкін әр түрлі жолдардың санын білдіреді (жүрістердің минималды санын қолдана отырып).

Комбинаторикада

Коэффициенті ${ displaystyle x ^ {k}}$ полиномдық кеңеюінде ${ displaystyle left (1 + x + x ^ {2} right) ^ {n}}$ кездейсоқ сурет салудың әр түрлі тәсілдерінің санын анықтайды ${ displaystyle k}$ екі жиынтықтағы карталар ${ displaystyle n}$ бірдей ойын карталары.^[4] Мысалы, A, B, C үш картасының екі жиынтығымен осындай карта ойынында таңдау келесідей болады:

Атап айтқанда, бұл нәтиже береді ${ displaystyle {24 12-24} таңдаңыз _ {2} = {24 таңдау -12} _ {2} = {24 таңдау 12} _ {2}}$ ойынындағы әртүрлі қолдардың саны ретінде Доппелкопф.

Сонымен қатар, таңдаудың бірнеше әдісін ескере отырып, осы нөмірге жетуге болады ${ displaystyle p}$ екі жиынтықтағы бірдей карталардың жұптары, яғни ${ displaystyle {n p таңдаңыз}}$. Қалғаны ${ displaystyle k-2p}$ содан кейін карталарды таңдауға болады ${ displaystyle {n-p k-2p таңдаңыз}}$ жолдары,^[4] тұрғысынан жазуға болады биномдық коэффициенттер сияқты

${ displaystyle {n kn} _ {2} = sum _ {p = max (0, kn)} ^ { min (n, [k / 2])}} {n p} {np таңдаңыз k-2p таңдаңыз}}$.

Мысалға,

${ displaystyle 6 = {3 таңдау 2-3} _ {2} = {3 таңдау 0} {3 таңдау 2} + {3 таңдау 1} {2 таңдау 0} = 1 cdot 3 + 3 cdot 1}$.

Жоғарыда келтірілген мысалға бірдей карточкалары жоқ екі картаны таңдаудың үш тәсілі сәйкес келеді (AB, AC, BC) және үш бірдей карточканы таңдау әдісі (AA, BB, CC).

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Леонхард Эйлер (1767). «Observationes analyticae (» Аналитикалық бақылаулар «)». Novi Commentarii academiae Scientificiarum Petropolitanae. 11: 124–143.