Transverse Mercator: Bowring сериясы - Википедия - Transverse Mercator: Bowring series

Бұл мақалада бірнеше мәселе бар. Өтінемін көмектесіңіз оны жақсарту немесе осы мәселелерді талқылау талқылау беті. (Бұл шаблон хабарламаларын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала көп қажет басқа мақалаларға сілтемелер көмектесу оны энциклопедияға енгізу. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту сілтемелер қосу арқылы мәнмәтінге сәйкес келетін бар мәтін ішінде. (Қараша 2012) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала оқырмандардың көпшілігінің түсінуіне тым техникалық болуы мүмкін. өтінемін оны жақсартуға көмектесу дейін оны мамандар емес адамдарға түсінікті етіңіз, техникалық мәліметтерді жоймай. (Шілде 2020) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

1989 жылы Бернард Рассел Боуринг формулаларын ұсынды Көлденең Меркатор бағдарламалау оңайырақ, бірақ миллиметр дәлдігін сақтайды.^[1] Bowring төртінші ретті Redfearn сериясын (кіші мүшелерді алып тастағаннан кейін) сфералық терминдерді, яғни эллипске тәуелді емес, сфералық көлденең Меркатор проекциясында қолданылатын дәл өрнектермен ауыстыру арқылы ықшам белгілерде қайта жазды. Дәлдікке жету болған жоқ, өйткені эллиптикалық терминдер әлі де 1мм деңгейде кесілген. Мұндай модификация ресурстарды есептеу минималды болған кезде мүмкін болды.

Ескерту

${ displaystyle a}$ = таңдалған сфероид экваторының радиусы (мысалы, GRS80 / WGS84 үшін 6378137 м)

${ displaystyle b}$ = сфероидтың полярлық жартылай осі

${ displaystyle k_ {0}}$ = орталық меридиан бойындағы масштаб коэффициенті (мысалы, UTM үшін 0,9996)

${ displaystyle scriptstyle phi}$   =  ендік

${ displaystyle scriptstyle omega}$  =  бойлық бойынша орталық меридианнан, радианмен, шығысқа қарай оң

${ displaystyle m}$  =   экватордан сфероидке дейін өлшенетін меридиан арақашықтығы ${ displaystyle scriptstyle phi}$ (төменде қараңыз)

E = көлденең Меркатор проекциясы бойынша өлшенген орталық меридианнан шығысқа дейінгі қашықтық

N = көлденең Меркатор проекциясы бойынша өлшенген экватордан солтүстікке дейінгі қашықтық

${ displaystyle varepsilon ; = ; { frac {2r-1} {(r-1) ^ {2}}} = ; { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} { b ^ {2}}} ;}$

қайда р таңдалған сфероид үшін тегістеудің өзара әрекеті (үшін WGS84, р = 298.257223563 дәл).

Лат-Лонды Transverse Mercator-ге ауыстыру

${ displaystyle c = cos phi qquad s = sin phi}$

${ displaystyle nu ; = ; a { sqrt { frac {1+ varepsilon} {1+ varepsilon c ^ {2}}}}}$ (қисықтықтың тік тік радиусы)

${ displaystyle z = { frac { varepsilon omega ^ {3} c ^ {5}} {6}}}$

${ displaystyle tan theta _ {2} ; = ; { frac {2sc sin ^ {2} ( omega / 2)} {s ^ {2} + c ^ {2} cos omega }}}$

${ displaystyle { text {E}} ; = ; k_ {0} nu left [{ tanh} ^ {- 1} (c sin omega) + z left (1 + { frac) { omega ^ {2}} {10}} (36c ^ {2} -29) right) right]}$

${ displaystyle { text {N}} ; = ; k_ {0} сол жақта [m + nu theta _ {2} + { frac {z nu omega s} {4}} (9+) 4 varepsilon c ^ {2} -11 omega ^ {2} +20 omega ^ {2} c ^ {2}) right] ,}$

(Ескертіп қой ${ displaystyle theta _ {2}}$ радианмен болуы керек.)

Лат-Лонға көлденең Меркатор

Transverse Mercator координаттарын лат-лонға айналдыру үшін алдымен есептеңіз ${ displaystyle scriptstyle phi '}$, издік ендік - яғни конверсияланатын нүктемен бірдей N болатын орталық меридиандағы нүктенің ендігі; яғни сфероидта меридиандық арақашықтық N / ге тең ендік${ displaystyle k_ {0}}$. Төменде Bowring формулалары тез көрінеді, бірақ дәстүрлі формулалар жеткілікті. Содан кейін

${ displaystyle c_ {1} = cos phi ' qquad s_ {1} = sin phi'}$

${ displaystyle nu _ {1} ; = ; a { sqrt { frac {1+ varepsilon} {1+ varepsilon {c_ {1}} ^ {2}}}}}$

${ displaystyle x ; = ; { frac { text {E}} {k_ {0} nu _ {1}}}}$

${ displaystyle tan theta _ {4} ; = ; { frac { sinh x} {c_ {1}}}}$

${ displaystyle tan theta _ {5} ; = ; tan phi ' cos theta _ {4}}$

${ displaystyle phi ; = ; left (1+ varepsilon {c_ {1}} ^ {2} right) сол жақ [ theta _ {5} - { frac { varepsilon} {24} } x ^ {4} tan phi '(9-10 {c_ {1}} ^ {2}) right] - varepsilon {c_ {1}} ^ {2} phi'}$

${ displaystyle omega ; = ; theta _ {4} - { frac { varepsilon} {60}} x ^ {3} c_ {1} left (10 - { frac {4x ^ {2) }} {{c_ {1}} ^ {2}}} + x ^ {2} {c_ {1}} ^ {2} right)}$

(${ displaystyle theta _ {4}}$, ${ displaystyle theta _ {5}}$ және ${ displaystyle scriptstyle phi '}$ әрине радиандарда болуы керек, және ${ displaystyle scriptstyle phi}$ және ${ displaystyle omega}$ болады.)

Меридиан қашықтығы

Bowring меридиан арақашықтықының формулаларын берді (экватордан сфероид бойынша солтүстік-оңтүстік сызық бойымен берілген ендікке дейінгі арақашықтық), олар жер сфероидтарында 0,001 миллиметр шеңберінде дұрыс болып көрінеді.^[2] Таңба n Redfearn формулаларымен бірдей

${ displaystyle n ; = ; { frac {a-b} {a + b}} ; = ; { frac {1} {2r-1}}}$

${ displaystyle tan psi quad = quad сол ({ frac {r-1} {r}} оң) tan phi quad = quad сол ({ frac {1-n}) {1 + n}} оң) tan phi}$

${ displaystyle p = 1 - { frac {3} {4}} n cos 2 psi qquad q = { frac {3} {4}} n sin 2 psi}$

${ displaystyle Z = left (1 - { frac {3} {8}} n ^ {2} right) (p + qi) ^ {2/3} qquad { text {where}} ; i = { sqrt {-1}}}$

Күрделі санның нақты бөлігін алып тастаңыз З; -ның қиялы бөлігінің нақты коэффициентін алып тастаңыз З бастап ${ displaystyle psi}$ (радианмен) алу ${ displaystyle theta}$. Содан кейін

${ displaystyle { text {меридиан арақашықтығы}} ; = quad { frac {a theta} {1 + n}} left (1 + { frac {n ^ {2}} {8}} оң жақта) ^ {2}}$

(Егер ендік 90 градус болса, онда екенін ескеріңіз ${ displaystyle theta = { frac { pi} {2}}}$ , бұл меридиан квадрантының ұзындығын триллионнан метрге дейін береді GRS 80.)

Кері үшін (берілген меридиан қашықтығы, ендікті есептеңіз), есептеңіз ${ displaystyle theta}$ жоғарыдағы соңғы формуланы пайдаланып, содан кейін

${ displaystyle p '= 1 - { frac {33} {20}} n cos 2 theta qquad q' = { frac {33} {20}} n sin 2 theta}$

${ displaystyle Z '= { frac {5} {4}} сол жақ (1 - { frac {9} {16}} n ^ {2} оң) (p' + q'i) ^ {8 / 33}}$

Z 'нақты бөлігін тастаңыз және нақты коэффициентін қосыңыз мен дейін ${ displaystyle theta}$ қысқартылған ендік алу үшін ${ displaystyle psi}$ (радианмен), ол ендікке ауысады ${ displaystyle scriptstyle phi}$ осы бөлімнің жоғарғы жағындағы теңдеуді қолдану арқылы.

Егер нөл Экваторда болмаса

Жоғарыда келтірілгендей, эллипсоидтың барлық формулалары көлденең Меркатор проекциясындағы Northing экваторда нөлден басталады деп есептейді, солтүстік-жарты шар UTM проекциясындағыдай. Британдық ұлттық торды немесе АҚШ-тағы мемлекеттік ұшақ координаттарын қолданатын адамдар есептеулерде қосымша қадамға ие.

Британдық ұлттық тор Northing-ті (ендік 49 градус, бойлық 2 градус батыста) дәл -100,000 метр етіп орнатады. Ол экваторлық радиусы 6377563.39603 метр, ал тегістеудің кері күші 299.3249645938 (екі мәні де дөңгелектелген) болатын Airy сфероидты қолданады; экватордан ендікке дейінгі 49 градусқа дейінгі меридиан арақашықтығы сфероид бойынша 5429228.602 метрге дейін есептеледі. Батыс бойынша 2 градус бойлықтағы дөңгелектенген масштаб коэффициенті - 0,999601271775, сондықтан 49 градус Солтүстік көлденең проекциясы бойынша Экватордан 5427063,8153 метр.

Сондықтан лат-лонды British National Grid-ке ауыстырған кезде жоғарыда келтірілген формулаларды қолданыңыз және есептелген N-ден 5527063.815 метрді алып тастаңыз.

Мысалы: лат-лонды UTM-ге түрлендіру

NGS дейді Вашингтон ескерткіші - 38 градус 53 мин 22.08269 сек солтүстікте, 77 градус 02 мин 06.86575 сек батыста NAD83; UTM деген не?

Барлық NAD83 есептеулері сияқты біз GRS80 сфероидты дәл = 6378137 метр және r = 298.25722 2101 дөңгелектейміз. Егер біз r-тің мәнін жалқаулықпен алсақ ${ displaystyle epsilon}$ = 0.00673 94967 75479 және n = 0.00167 92203 94629. Барлық UTM есептеулері сияқты ${ displaystyle k_ {0}}$ дәл 0,9996 құрайды.

${ displaystyle scriptstyle nu}$ ескерткіш енінде 6386568.5027 метр
z -1,43831 52572 есе ${ displaystyle 10 ^ {- 8}}$ ескерткіш жанында

${ displaystyle theta _ {2}}$ шығады -0.00030 83836 79455 61242 радиан.

Келесі алу м, меридианның экватордан ескерткішке дейінгі арақашықтық:
${ displaystyle psi}$ 38,795469019 градус = 0,677108669 радиан құрайды
сондықтан p = 0.99972936, q = 0.00122999 және Z-дің қиялы бөлігі 0.000820069 есе мен.
Алу үшін 0.677108669-дан 0.000820069 азайтыңыз ${ displaystyle theta}$ = 0,676288601 радиан және м 4306233,2730 метрді құрайды.

Мұның бәрін розеткаға қосыңыз, біз N = 4306479.5101 метр, E = -176516.8552 метр аламыз; NGS деректер кестесімен келісетін 323483,1448 метр UTM шығысын алу үшін соңғысын 500000-ға қосыңыз (барлық UTM аймақтарындағы орталық меридиан бойындағы шығыс мәні).

Әдебиеттер тізімі