Томас формуласы - Википедия - Thomaes formula

Жылы математика, Тома формуласы арқылы енгізілген формула болып табылады Карл Йоханнес Тома  (1870 ) қатысты тета тұрақтылары дейін тармақтар а гипереллиптикалық қисық (Мумфорд 1984 ж, 8 бөлім).

Тарих

1824 жылы Абель-Руффини теоремасы деп белгіледі көпмүшелік теңдеулер бес немесе одан жоғары дәрежеде шешімдер болуы мүмкін емес радикалдар. Содан бері математиктер үшін бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулердің шешімдерін білдіру үшін радикалдар шеңберінен шығу керек екендігі түсінікті болды. 1858 жылы, Чарльз Эрмит, Леопольд Кронеккер, және Francesco Brioschi тәуелсіз екенін анықтады квинтикалық теңдеу көмегімен шешуге болатын еді эллиптикалық трансценденттер. Бұл радикалды жалпылау болып шықты, оны келесі түрде жазуға болады:

${ displaystyle { sqrt [{n}] {x}} = exp left ({{ frac {1} {n}} ln x} right) = exp left ({ frac {1 } {n}} int _ {1} ^ {x} { frac {dt} {t}} оң).}$

Көрсетілгендей, тек осы экспоненциалды шектеумен Галуа теориясы, тек композициялар Абелия кеңейтімдері тек төртінші дәрежедегі және одан төмен теңдеулер үшін жеткілікті болатындай етіп салынуы мүмкін. Жоғары дәрежедегі теңдеулер үшін неғұрлым жалпы нәрсе қажет, сондықтан квинтиканы шешу үшін, Гермит және т.б. экспоненциалды ауыстырды эллиптикалық модульдік функция және интеграл (логарифм) арқылы эллиптикалық интеграл. Кронеккер бұл әлі де жалпы әдістің ерекше жағдайы деп санады.^[1] Камилл Джордан көрсетті^[2] кез-келген алгебралық теңдеу модульдік функцияларды қолдану арқылы шешілуі мүмкін. Мұны Тома 1870 жылы жүзеге асырды.^[3] Процесс n-ші түбірдегі экспоненциалды және эллиптикалық модульдік функцияны Гермит және т.б. жалпы түрде Siegel модульдік формалары және интеграл а гипереллиптикалық интеграл. Хироси Умемура^[4] осы модульдік функцияларды жоғары түрге қатысты білдірді тета функциялары.

Формула

Егер бізде көпмүшелік функция:

${ displaystyle f (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {n}}$

бірге ${ displaystyle a_ {0} neq 0}$ қысқартылмайтын күрделі сандардың белгілі бір ішкі өрісіне, содан кейін оның түбірлеріне ${ displaystyle x_ {k}}$ қатысатын келесі теңдеумен өрнектелуі мүмкін тета функциялары нөлдік аргумент (тета тұрақтылары ):

${ displaystyle { begin {aligned} x_ {k} = {} & left [ theta left ({ begin {matrix} 1 & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4} сол жақта [ theta сол жақта ({ begin {matrix} 1 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right ] ^ {4} [6pt] & {} + left [ theta left ({ begin {matrix} 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 end {matrix}} right) ( Omega ) оң] ^ {4} сол жақта [ theta сол жақта ({ begin {matrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 0 & cdots & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ { 4} [6pt] & {} - { frac { left [ theta left ({ begin {matrix} 0 & 0 & cdots & 0 1 & 0 & cdots & 0 end {matrix}} right) () Omega) right] ^ {4} сол жақта [ theta сол жақта ({ begin {matrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 1 & 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4}} {2 сол жақта [ theta сол жақта ({ begin {matrix} 1 & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4} left [ theta left ({ begin {matrix} 1 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & cdots & 0 & 0 end {matrix}} right) ( Omega) right] ^ {4}}} end {aligned }}}$

қайда ${ displaystyle Omega}$ болып табылады кезең матрицасы келесі гипереллиптикалық интегралдардың бірінен алынған:

${ displaystyle u (a) = int _ {1} ^ {a} { frac {dx} { sqrt {x (x-1) f (x)}}}}$

егер ${ displaystyle f (x)}$ тақ дәрежеде немесе

${ displaystyle u (a) = int _ {1} ^ {a} { frac {dx} { sqrt {x (x-1) (x-2) f (x)}}}}$

егер ${ displaystyle f (x)}$ тең дәрежеде.

Бұл формула кез-келген дәрежедегі кез-келген алгебралық теңдеуге қолданылады Tschirnhaus трансформациясы немесе теңдеуді белгілі бір қалыпты формаға келтіру үшін кез-келген басқа манипуляциялар, мысалы Бринг-Джеррард формасы квинтика үшін. Алайда, бұл формуланы іс жүзінде қолдану қиын, өйткені тиісті гиперэллиптикалық интегралдар және жоғары тета функциялары өте күрделі.

Ескертулер