Симметрия жиынтығы - Википедия - Symmetry set

Ан эллипс (қызыл), оның эволюциялық (көк), және оның симметрия жиынтығы (жасыл және сары). The ортаңғы ось бұл тек симметрия жиынтығының жасыл бөлігі. Бір битангенс шеңбері көрсетілген.

Жылы геометрия, симметрия жиынтығы қисықтың жергілікті симметрияларын бейнелеу әдісі болып табылады және оны бейнелеу әдісі ретінде қолданыла алады пішін объектілерін табу арқылы топологиялық қаңқа. The ортаңғы ось, симметрия жиынының ішкі жиыны - бұл объектінің ортасымен жүретін қисықтар жиыны.

2 өлшемде

Келіңіздер ${ displaystyle I subseteq mathbb {R}}$ ашық аралық болыңыз және ${ displaystyle gamma: I to mathbb {R} ^ {2}}$ тегіс жазықтық қисығының параметризациясы болуы керек.

Симметрия жиынтығы ${ displaystyle gamma (I) subset mathbb {R} ^ {2}}$ қисыққа жанама шеңберлер центрінің жиынтығын кем дегенде екі нақты нүктеге жабу ретінде анықталады (битангент шеңберлер).

Симметрия жиынтығына сәйкес келетін соңғы нүктелер болады төбелер қисықтың. Мұндай нүктелер жататын болады түйін туралы эволюциялық. Мұндай нүктелерде қисық болады 4 нүктелік байланыс шеңбермен.

Жылы n өлшемдер

Өлшемнің тегіс коллекторы үшін ${ displaystyle m}$ жылы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (анық бізге керек ${ displaystyle m$). Коллектордың симметрия жиынтығы дегеніміз - гиперсфералар центрлерінің коллекторға жанасуы, кем дегенде екі бөлек жерде.

Бифуркация жиынтығы ретінде

Келіңіздер ${ displaystyle U subseteq mathbb {R} ^ {m}}$ ашық жалғанған домен болу және ${ displaystyle (u_ {1} ldots, u_ {m}): = { {u}} астын сызу U}$. Келіңіздер ${ displaystyle { астын сызу {X}}: U to mathbb {R} ^ {n}}$ тегіс коллектордың параметризациясы болуы мүмкін ${ displaystyle n}$ қисықтағы функциялардың параметрлері, атап айтқанда

${ displaystyle F: mathbb {R} ^ {n} есе U -дан mathbb {R} , quad { mbox {қайда}} төртінші F ({ астын сызу {x}}, { астын сызу {u}}) = ({ асты {x}} - { асты {X}}) cdot ({ асты {x}} - { асты {X}}) .}$

Бұл отбасы қашықтықтағы квадраттық функциялардың отбасы деп аталады. Бұл бекітілген үшін ${ displaystyle { асты {x}} _ {0} in mathbb {R} ^ {n}}$ мәні ${ displaystyle F ({ асты {x}} _ {0}, { асты {u}})}$ - қашықтықтың квадраты ${ displaystyle { астын сызу {x}} _ {0}}$ дейін ${ displaystyle { астын сызу {X}}}$ кезінде ${ displaystyle { {X}} астын сызу (u_ {1} ldots, u_ {m}).}$

Симметрия жиыны - бұл қашықтықтағы квадраттық функциялар тобының бифуркациялық жиыны. Яғни бұл жиынтығы ${ displaystyle { асты {x}} in mathbb {R} ^ {n}}$ осындай ${ displaystyle F ({ асты {x}}, -)}$ кейбіреулер үшін қайталанатын даралыққа ие ${ displaystyle { астын сызу {u}} U.}$

Қайталанған сингулярлық деп біз жакобиан матрицасының сингулярлы екенін айтамыз. Бізде функциялар отбасы болғандықтан, бұл балама ${ displaystyle { mathcal {r}} F = { астын сызу {0}}}$.

Симметрия жиыны содан кейін ${ displaystyle { асты {x}} in mathbb {R} ^ {n}}$ бар сияқты ${ displaystyle ({ асты сызылған {u}} _ {1}, { асты сызылған {u}} _ {2}) in U есе U}$ бірге ${ displaystyle { астын сызу {u}} _ {1} neq { астын сызу {u}} _ {2}}$, және

${ displaystyle { mathcal {r}} F ({ асты сызылған {x}}, { асты сызылған {u}} _ {1}) = { mathcal {r}} F ({ асты {x}}), { астын сызу {u}} _ {2}) = { астын сызу {0}}}$

осы жиынның шектеу нүктелерімен бірге.

Әдебиеттер тізімі

• Дж. В. Брюс, П. Дж. Гиблин және C. Г. Гибсон, Симметрия жиынтығы. Proc. Эдинбург корольдік социосы 101A (1985), 163-186.
• Дж. В. Брюс және П. Дж. Гиблин, қисықтар және сингулярлықтар, Кембридж университетінің баспасы (1993).