К3 үстіңгі беті - Supersingular K3 surface

Жылы алгебралық геометрия, а суперсингулалық K3 беті Бұл K3 беті өріс үстінде к туралы сипаттамалық б > 0, сондықтан Фробениустың беткейлері кристалды когомология H2(X,W(к)) барлығы 1-ге тең.[1] Бұлар да аталған Artin supersingular K3 беттері. К3 суперсингулалық беттерін барлық К3 беттерінің ішіндегі ең ерекше және қызықты деп санауға болады.

Анықтамалар және негізгі нәтижелер

Жалпы, проективті әртүрлілік X сипаттамалық өріс үстінде б > 0 деп аталады суперсингулярлық егер кристалды когомология бойынша Фробениустың барлық беткейлері Hа(X,W(к)) тең а/ 2, барлығы үшін а. Атап айтқанда, бұл а. Стандартты түсінігін береді суперсингулалық абелия әртүрлілігі. Әртүрлілік үшін X ақырлы өріс үстінде Fq, Фробениустың меншікті мәндері l-adic когомологиясы Hа(X,Qл) тең qа/2 бірліктің тамыры. Бұдан шығатыны, позитивті сипаттамадағы кез-келген әртүрлілік л-adic когомологиясын жасайды алгебралық циклдар үстірт.

K3 беті, оның л-адикалық когомология алгебралық циклдар арқылы жасалады, кейде а деп аталады Shioda supersingular K3 беті. Екіншіден Бетти нөмірі K3 бетінің әрқашан 22-ге тең, бұл қасиет беттің құрамында 22 тәуелсіз элемент болатындығын білдіреді Пикард тобы (ρ = 22). Біздің айтқанымыздай, Picard нөмірі 22 болатын K3 беті суперсингулярлы болуы керек.

Керісінше, Тейт гипотезасы алгебралық тұйық өрістің үстіндегі кез-келген суперсингулалық К3 бетінде №22 карта бар дегенді білдіреді. Бұл қазір барлық сипаттамаларда белгілі б 2-ден басқа, өйткені Тейт гипотезасы барлық K3 беттері үшін дәлелденген б кем дегенде 3-ке дейін Ньгаард-Огус (1985), Мәулік (2014), Чарльз (2013), және Мадапуси Пера (2013).

Picard нөмірі 22 болатын K3 беттерінің тек оң сипаттамада болатындығын көру үшін қолдануға болады Қожа теориясы К3 бетінің Picard саны сипаттамалық нөлде ең көп болатындығын дәлелдеу үшін 20. Шын мәнінде Қожа гауһар кез-келген күрделі K3 беті бірдей (қараңыз) жіктеу ), ал орта жолда 1, 20, 1 оқылады. Басқаша айтқанда, сағ2,0 және сағ0,2 екеуі де 1 мәнін қабылдайды сағ1,1 = 20. Демек, алгебралық циклдар кеңістігінің өлшемі сипаттамалық нөлде ең көп дегенде 20 құрайды; кейде осы максималды мәні бар беттер деп аталады сингулярлы K3 беттері.

Тек оң сипаттамада болуы мүмкін тағы бір құбылыс - бұл K3 беті болуы мүмкін ақылға қонымсыз. Майкл Артин Алгебралық жабық өрістің үстіндегі кез-келген бір ирационалды емес K3 бетінде Picard нөмірі 22 болуы керек екенін байқады. (Атап айтқанда, ирационалды емес K3 беті суперсингулярлы болуы керек.) Керісінше, Артин Picard нөмірі 22-мен әр K3 беті тәуелді емес болуы керек деп болжады.[2] Артиннің болжамдары 2-ші сипаттамада дәлелденді Рудаков және Шафаревич (1978). Әр сипаттамада дәлелдер б кем дегенде 5-і шағымданған Liedtke (2013) және Либлич (2014), бірақ кейінірек жоққа шығарылды Bragg & Lieblich (2019).

Тарих

Picard нөмірі 22 болатын К3 бетінің алғашқы мысалы келтірілген Тейт (1965) Ферма квартикасы деп кім байқаған

w4 + х4 + ж4 + з4 = 0

3-модульдің алгебралық жабық өрістерінде №22 Picard бар. Содан кейін Шиода екенін көрсетті эллиптикалық модульдік беті 4 деңгей (әмбебап жалпыланған эллиптикалық қисық E(4) → X(4)) 3 мод 4 сипаттамасында, Picard нөмірі 22 болатын K3 беті, сияқты Куммер беті екеуінің көбейтіндісі суперсингулярлық эллиптикалық қисықтар тақ сипаттамада. Шимада (2004, 2004б ) Picard нөмірі 22 барлық K3 беттерінің екенін көрсетті екі жамылғы туралы проективті жазықтық. 2 сипаттамасына сәйкес, екі қабатты болуы керек бөлінбейтін жабын.

The дискриминантты туралы қиылысу формасы Picard нөмірі 22 бар K3 бетінің Picard тобында біркелкі қуат бар

б2e

сипаттамалары б, Артин көрсеткендей және Милн. Мұнда e деп аталады Artin инвариантты K3 бетінің Артин мұны көрсетті

1 ≤ e ≤ 10.

9-өлшемге ие суперсингулярлы К3 беттерінің модуль кеңістігінің сәйкес Artin стратификациясы бар, олар Artin инвариантты суперсингулалы K3 беттерінің ішкі кеңістігі. e өлшемі бар e − 1.

Мысалдар

2 сипаттамасында,

з2 = f(х, ж) ,

жеткілікті жалпы көпмүшелік үшін f(х, ж) 6 дәрежесі, 21 оқшауланған дара ерекшелігі бар бетті анықтайды. Тегіс проективті минималды модель мұндай беттің - бұл иракционалды емес K3 беті, демек, Picard нөмірі 22 болатын K3 беті. Мұндағы ең үлкен Артин инварианты 10-ға тең.

Сол сияқты, 3 сипаттамасында,

з3 = ж(х, ж) ,

жеткілікті жалпы көпмүшелік үшін ж(х, ж) 4 дәрежесі, 9 оқшауланған даралығы бар бетті анықтайды. Мұндай беттің тегіс проективті минималды моделі қайтадан бейтарап K3 беті болып табылады, демек, Picard нөмірі 22 болатын K3 беті. Бұл жанұядағы ең жоғары Артин инварианты - 6.

Долгачев және Кондо (2003) Артинаның 1 нөмірімен 2 сипаттамасындағы суперсингулалық К3 бетін егжей-тегжейлі сипаттады.

Куммер беттері

Егер сипаттама болса б 2-ден үлкен, Огус (1979) әрбір К3 беті екенін көрсетті S Picard нөмірі 22 және Artin өзгермейтін көп дегенде 2 Куммер беті болып табылады минималды ажыратымдылық Анонның үлесі абель беті A картаға түсіру арқылы х ↦ − х. Дәлірек айтсақ, A бұл суперсингулярлы абель беті, изогенді екі суперсингулалық эллиптикалық қисықтардың көбейтіндісіне.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Артин және Б.Мазур. Энн. Ғылыми. École Normale Supérieure 10 (1977), 87-131. 90-бет.
  2. ^ Артин. Энн. Ғылыми. École Normale Supérieure 7 (1974), 543-567. P. 552.

Пайдаланылған әдебиеттер