Тікелей төмендетілмейтін алгебра - Subdirectly irreducible algebra

Ретінде белгілі математика саласында әмбебап алгебра (және оның қосымшаларында), а жанама түрде төмендетілмейтін алгебра деп алгебра болып табылады, оны а ретінде дәлелдеуге болмайды қосалқы өнім «қарапайым» алгебралар. Алгебрада жанама түрде азайтылатын алгебралар біршама ұқсас рөл атқарады жай бөлшектер жылы сандар теориясы.

Анықтама

A әмбебап алгебра A болған кезде жанама түрде төмендетілмейтін болып табылады A бірнеше элементтерден тұрады, ал кез келген жағдайда қосалқы ұсыну туралы A алгебраны қамтиды (фактор ретінде) изоморфты дейін A, проекция картасы арқылы берілген изоморфизммен.

Мысалдар

  • Екі элементті тізбек, а Буль алгебрасы, а Алгебра, а тор[1]:56немесе а жарты жел, жанама түрде төмендетілмейді. Шын мәнінде, екі элементті тізбек - бұл жанама төмендетілмейтін жалғыз нәрсе үлестіргіш тор.[1]:56
  • Екі немесе одан да көп элементтері бар кез келген ақырлы тізбек, а Алгебра, жанама түрде төмендетілмейді. (Үш немесе одан да көп элементтер тізбегіне тор немесе жартылай тор сияқты қосалқы редукцияға ұшырайтын екі элементті тізбектің жағдайы сәйкес келмейді. Хейтинг алгебраларынан айырмашылығы мынада: а → б салыстыру қажет емес а қашан да тор тәртiбiмен б болып табылады.)
  • Кез келген ақырлы циклдік топ реттік дәреженің дәрежесі (яғни кез келген ақырлы) б-топ ) жанама түрде төмендетілмейді.[1]:56 (Ішкі директивтік төмендетілмейтіндер мен жай сандар арасындағы ұқсастықтың бір әлсіздігі - бүтін сандарды изоморфты емес дәрежелі циклдік топтардың кез-келген шексіз жанұясы суб-жанама түрде бейнелейтіндігінде, мысалы, шексіз көп деп санайтын Мерсенн премьерінің реті бойынша.) Шын мәнінде, абель тобы егер ол шектелгенге изоморфты болса ғана, жанама түрде азайтылады б-топ немесе а-ге изоморфты Прюфер тобы (шексіз, бірақ есептелетін) б-топ тікелей шек оның ақырғы б- кіші топтар).[1]:61
  • Векторлық кеңістік, егер оның өлшемі болса ғана, жанама түрде төмендетілмейді.

Қасиеттері

The қосалқы ұсыну теоремасы туралы әмбебап алгебра кез-келген алгебра өзінің суб-жанама төмендетілмейтіндігімен қосалқы түрде ұсынылатындығын айтады келісімдер. Демек, «кіші индекстің қысқартылмайтын» анықтамасының мәні кез келген алгебра болып табылады A изоморфты емес, оның квотенттерімен субмәнді түрде ұсынылмайтын A. (Бұл «тиісті квоенттер бойынша» деген сөзбен бірдей емес, өйткені сәйкесінше A изоморфты болуы мүмкін A, мысалы, жарты желінің өлшемі (З, мин) тек 3 және 4 элементтерін анықтау нәтижесінде алынған.)

Шұғыл қорытынды - бұл кез келген әртүрлілік, гомоморфизмдер, субальгебралар және тікелей өнімдер астында жабық класс болғандықтан, оның жанама төмендетілмейтін мүшелерімен анықталады, өйткені әрбір алгебра A әртүрлілігінде суб-жанама төмендетілмеген квоенттердің тікелей тікелей өнімнің субальгебрасы ретінде құрастыруға болады. A, олардың барлығы әртүрлілікке жатады, өйткені A жасайды. Осы себептен көбінесе әртүрліліктің өзін емес, сонымен қатар оның кішірейтілмейтін қосалқы заттарын зерттейді.

Алгебра A тек егер оның торында эквивалентті түрде әрбір тиісті бөлік анықтайтын екі элемент болса ғана жанама түрде төмендетілмейді. Кон A туралы сәйкестік ең кіші белгісіздік элементі бар. Яғни, кез-келген төмендетілмейтін қосалқы директивада осы жолмен оның азайтылмайтындығына куә болатын белгілі бір жұп элементтер болуы керек. Осындай куәлікті ескере отырып (а,б) кіші дирекцияның төмендеуі деп, төмендеудің кіші директорын (а,б) - азайтылатын.

Кез-келген сынып берілген C ұқсас алгебралар, Джонссон леммасы (байланысты Бьярни Йонссон ) егер HSP әртүрлілігі (C) жасаған C болып табылады үйлесімділік-үлестіруші, оның кіші директивтері HSP-деU(C), яғни олар субалгебралардың квотенттері ультраөнімдер мүшелерінің C. (Егер C ақырлы алгебралардың ақырғы жиынтығы, ультраөнім операциясы артық).

Қолданбалар

Хейтинг алгебрасының субъективті түрде төмендетілмейтіндігінің қажетті және жеткілікті шарты 1-ден төменде ең үлкен элемент болуы керек. Куәгерлік жұп - бұл элемент және 1, және кез келген басқа жұпты анықтау а, б элементтері екеуін де анықтайды а→б және б→а 1-мен 1-ге тең, осылайша екі салдардан жоғары тұрған барлық нәрсені 1-ге түсіреді. Демек, Хейтинг алгебрасы ретінде екі немесе одан да көп элементтерден тұратын барлық ақырлы тізбек жанама түрде төмендетілмейді.

Авторы Йонссонның леммасы, ақырлы ақырлы алгебралардың жиынтығы тудыратын сәйкестік-үлестіруші әртүрліліктің жанама төмендетілмейтін алгебралары генерациялайтын алгебралардан үлкен емес, өйткені алгебраның квотенттері мен субалгебралары. A ешқашан үлкен емес A өзі. Мысалы, шектеулі сызықтық реттелген Хейтинг алгебрасы тудыратын әртүрліліктегі қосалқы төмендетілмейтіндер H жай емес келіспеушіліктер болуы керек H, яғни барлық кішігірім сызықты иреттелген Хейтинг алгебралары. Шарттарды жалпы алып тастауға болмайды: мысалы, Хейтингтің барлық алгебраларының алуан түрлілігі оның ақырғы суб-жанама төмендетілмейтін алгебраларының жиынтығымен жасалады, бірақ ерікті (шексіз) түпнұсқалықтың субъективті төмендетілмейтін Хейтинг алгебралары бар. Сондай-ақ, ерікті түрде үлкен подкаталогиялық төмендетілмейтін (сәйкес келмейтін-үлестіретін) әртүрлілікті тудыратын жалғыз ақырлы алгебра бар.[2]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. Бергман, Клиффорд (2011). Әмбебап алгебра: негіздері және таңдалған тақырыптар. Чэпмен және Холл / CRC. ISBN  978-1-4398-5129-6.
  2. ^ Р.Маккензи, Шекті алгебралардың қалдық шектері, Int. Дж. Алгебра есептеу. 6 (1996), 1–29.
  • Пьер Антуан Грилл (2007). Реферат алгебра. Спрингер. ISBN  978-0-387-71567-4.