Тұрақты модуль санаты - Википедия - Stable module category

Жылы ұсыну теориясы, тұрақты модуль санаты Бұл санат онда проективтер «есепке алынады».

Анықтама

Келіңіздер R болуы а сақина. Екіге модульдер М және N аяқталды R, анықтаңыз ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$ жиынтығы болу R- сызықтық карталар бастап М дейін N деген қатынасты модульмен f ~ ж егер f − ж факторлар проективті модуль. Тұрақты модуль санаты параметрін орнату арқылы анықталады нысандар болу R-модульдер және морфизмдер болып табылады эквиваленттік сыныптар ${ displaystyle { underline { mathrm {Hom}}} (M, N)}$.

Модуль берілген М, рұқсат етіңіз P а бар проективті модуль болыңыз қарсылық ${ displaystyle p қос нүкте P - M}$. Содан кейін орнатыңыз ${ displaystyle Omega (M)}$ болу ядро туралы б. Бізге морфизм берілді делік ${ displaystyle f қос нүкте M -ден N-ге дейін$ және қарсылық ${ displaystyle q қос нүкте Q -ден N-ге дейін$ қайда Q проективті болып табылады. Сонда біреу көтере алады f картаға ${ displaystyle P to Q}$ қандай карталар ${ displaystyle Omega (M)}$ ішіне ${ displaystyle Omega (N)}$. Бұл нақты анықтама береді функция ${ displaystyle Omega}$ тұрақты модуль санатынан өзіне дейін.

Сияқты белгілі бір сақиналар үшін Фробениус алгебралары, ${ displaystyle Omega}$ болып табылады категориялардың эквиваленттілігі. Бұл жағдайда кері ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ келесідей анықтауға болады. Берілген М, табыңыз инъекциялық модуль Мен қосу арқылы ${ displaystyle i қос нүкте M -ден I-ге дейін}$. Содан кейін ${ displaystyle Omega ^ {- 1} (M)}$ деп анықталды кокернель туралы мен. Сақина ерекше қызығушылық тудырады R Бұл топтық алгебра.

The функциясы⁻¹ тіпті жалпы сақинаның модуль санатында (проективті факторларды есептемей) анықтауға болады, мысалы, инъекциялық конверт. Бұл жағдайда tor функциясы шындық болмауы керек⁻¹ actually мәніне кері болып табылады. Тұрақты модуль санатының бір маңызды қасиеті - бұл жалпы сақиналар үшін Ω функциясын анықтауға мүмкіндік береді. Қашан R болып табылады мінсіз (немесе М болып табылады түпкілікті құрылды және R болып табылады жартылай жетілдірілген ), содан кейін Ω (М) ядросы ретінде анықтауға болады проективті қақпақ, модуль санатына функция беру. Алайда, жалпы проективті мұқабалар қажет емес, сондықтан тұрақты модуль санатына өту қажет.

Когомологиямен байланыстар

Енді солай деп ойлаймыз R = kG кейбіреулер үшін топтық алгебра болып табылады өріс к және кейбір топ G. Бар екенін көрсетуге болады изоморфизмдер

${ displaystyle { астын сызу { mathrm {Hom}}} ( Omega ^ {n} (M), N) cong mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (M, N) cong { астын сызу { mathrm {Hom}}} (M, Omega ^ {- n} (N))}$

әрбір оң үшін бүтін n. The топтық когомология өкілдік М арқылы беріледі ${ displaystyle mathrm {H} ^ {n} (G; M) = mathrm {Ext} _ {kG} ^ {n} (k, M)}$ қайда к болмашыға ие G-акция, осылайша тұрақты модуль категориясы топтық когомология өмір сүретін табиғи жағдайды береді.

Сонымен қатар, жоғарыда келтірілген изоморфизм теріс мәндер үшін когомологиялық топтарды анықтауды ұсынады nжәне осылайша адам қалпына келеді Тейт когомологиясы.

Үшбұрышты құрылым

Ан нақты дәйектілік

${ displaystyle 0 to X to E to Y to 0}$

әдеттегі модуль санатының элементін анықтайды ${ displaystyle mathrm {Ext} _ {kG} ^ {1} (Y, X)}$, демек ${ displaystyle { астын сызу { mathrm {Hom}}} (Y, Omega ^ {- 1} (X))}$, осылайша біз дәйектілікті аламыз

${ displaystyle X to E to Y to Omega ^ {- 1} (X).}$

Қабылдау ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$ Аударма функциясы болу үшін және жоғарыдағыдай үшбұрыш ретіндегі тұрақты модуль санаты a болады үшбұрышталған санат.

Сондай-ақ қараңыз

• Тұрақты гомотопия теориясы

Әдебиеттер тізімі

• Дж. Ф. Карлсон, Лиза Таунсли, Луис Валеро-Елизондо, Мученг Чжан, Соңғы топтардың кохомологиялық сақиналары, Springer-Verlag, 2003 ж.