Коареяның тегіс формуласы - Smooth coarea formula

Жылы Риман геометриясы, тегіс коарея формулалары интегралдарды белгілі бір кескіндеменің доменіне олардың интегралдарымен олардың кодомендерімен байланыстыру.

Келіңіздер ${displaystyle сценарийі M ,, N}$ тегіс болыңыз Риман коллекторлары сәйкес өлшемдер ${displaystyle scriptstyle m, geq, n}$. Келіңіздер ${displaystyle сценарийі F: М, ұзын сызық, N}$ тегіс болыңыз қарсылық сияқты алға қарай (дифференциалды) туралы ${displaystyle сценарийі F}$ барлық жерде дерлік сурьективті болып табылады. Келіңіздер ${displaystyle сценарий varphi: М, ұзын сызық, [0, епті)}$ а өлшенетін функция. Содан кейін келесі екі теңдік орындалады:

${displaystyle int _ {xin M} varphi (x), dM = int _ {yin N} int _ {xin F ^ {- 1} (y)} varphi (x) {frac {1} {N! J; F (x)}}, dF ^ {- 1} (y), dN}$

${displaystyle int _ {xin M} varphi (x) N! J; F (x), dM = int _ {yin N} int _ {xin F ^ {- 1} (y)} varphi (x), dF ^ {-1} (у), dN}$

қайда ${displaystyle сценарий N! J; F (x)}$ болып табылады қарапайым Якобиан туралы ${displaystyle сценарийі F}$, яғни туынды детерминанты оның ядросының ортогоналды комплементімен шектелген.

Бастап екенін ескеріңіз Сард леммасы барлық нүктелер ${displaystyle сценарийі, in, N}$ тұрақты нүктесі болып табылады ${displaystyle сценарийі F}$ және, демек, жиынтық ${displaystyle сценарийі F ^ {- 1} (y)}$ Риманның субманифольдасы болып табылады ${displaystyle сценарийі M}$, сондықтан жоғарыдағы формулалардың оң жағындағы интегралдар мағынасы бар.

Пайдаланылған әдебиеттер

• Chavel, Isaac (2006) Риман геометриясы. Заманауи кіріспе. Екінші басылым.

Бұл байланысты дифференциалды геометрия мақала бұта. Сіз Уикипедияға көмектесе аласыз оны кеңейту.