Смит – Вольтерра – Кантор жиынтығы - Smith–Volterra–Cantor set

Қара интервалдар жойылғаннан кейін ақ нүктелер 1/2 өлшемді жиынтық болып табылады.

Жылы математика, Смит – Вольтерра – Кантор жиынтығы (SVC), май Cantor жиынтығы, немесе ant-Cantor жиынтығы^[1] нүктелерінің жиынтығының мысалы болып табылады нақты сызық ℝ Бұл еш жерде тығыз емес (атап айтқанда, жоқ аралықтар ), әлі оң өлшеу. Смит-Вольтерра-Кантор жиынтығы атауымен аталған математиктер Генри Смит, Вито Вольтерра және Георгий Кантор. 1875 жылғы мақаласында Смит нақты сызықтағы оң өлшемдердің жиынтығын талқылады,^[2] және Вольтерра 1881 жылы осындай мысал келтірді.^[3] Бүгінгі біз білетін Кантор жиынтығы 1883 жылы пайда болды. Смит-Вольтерра-Кантор жиынтығы топологиялық баламасы дейін үштен екінің ортасы.

Құрылыс

Құрылысына ұқсас Кантор орнатылды, Smith-Volterra-Cantor жиынтығы белгілі аралықтарды алып тастау арқылы салынған бірлік аралығы [0, 1].

Процесс [0, 1] аралықтан ортаның 1/4 бөлігін алып тастаудан басталады (1/2 ортаңғы нүктенің екі жағында 1/8 алып тастаумен бірдей), сондықтан қалған жиынтық

{ displaystyle left [0, { frac {3} {8}} right] cup сол [{ frac {5} {8}}, 1 right].}

Келесі қадамдар ені 1/4 ішкі аралықтарды жоюдан тұрадыⁿ 2-нің әрқайсысының ортасынан бастапⁿ⁻¹ қалған аралықтар. Екінші қадам үшін (5/32, 7/32) және (25/32, 27/32) аралықтар алынып тасталады

{ displaystyle left [0, { frac {5} {32}} right] cup сол [{ frac {7} {32}}, { frac {3} {8}} right] cup left [{ frac {5} {8}}, { frac {25} {32}} right] cup left [{ frac {27} {32}}, 1 right]. }

Осы алып тастаумен шексіз жалғасатын Смит-Вольтерра-Кантор жиынтығы ешқашан жойылмайтын нүктелер жиынтығы болып табылады. Төмендегі суретте осы процестің бастапқы жиынтығы мен бес қайталануы көрсетілген.

Смит-Вольтерра-Кантор жиынтығының әрбір келесі қайталануы қалған аралықтардан пропорционалды түрде аз алып тастайды. Бұл айырмашылығы бар Кантор орнатылды, мұнда әр интервалдан алынған пропорция тұрақты болып қалады. Сонымен, біріншісінің оң өлшемі бар, ал екіншісінің нөлдік өлшемі бар.

Қасиеттері

Құрылыс бойынша Смит-Вольтерра-Кантор жиынтығы интервалдарды қамтымайды, сондықтан интерьер бос. Бұл сонымен қатар тұйық жиындар тізбегінің қиылысы, бұл оның жабық екенін білдіреді.

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {n}} {2 ^ {2n + 2}}} = { frac {1} {4}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {16}} + cdots = { frac {1} {2}} ,}

қалған нүктелер жиынтығының оң шамасы 1/2 болатындығын көрсететін [0, 1] -тен алынып тасталады. Бұл Смит-Вольтерра-Канторды жабық жиынтықтың мысалы етіп көрсетеді шекара оңды Лебег шарасы.

Басқа майлы кантор жиынтықтары

Жалпы алғанда, біреуін алып тастауға болады ${ displaystyle r_ {n}}$ әрбір қалған субинтервалдан ${ displaystyle n}$ ^мың алгоритмнің қадамы және кантор тәрізді жиынтығымен аяқталады. Алынған жиында оң өлшем болады, егер тек дәйектіліктің қосындысы бастапқы интервалдың өлшемінен аз болса. Мысалы, ұзындықтың орташа аралықтары делік ${ displaystyle a ^ {n}}$ жойылды ${ displaystyle [0,1]}$ әрқайсысы үшін ${ displaystyle n}$ ^мың кейбіреулер үшін қайталану ${ displaystyle 0 leq a leq { dfrac {1} {3}}}$ . Содан кейін, алынған жиынтықта Лебег өлшемі бар

{ displaystyle { begin {aligned} 1- sum _ {n = 0} ^ { infty} 2 ^ {n} a ^ {n + 1} & = 1-a sum _ {n = 0} ^ { infty} (2a) ^ {n} & = 1-a { dfrac {1} {1-2a}} & = { dfrac {1-3a} {1-2a}} end {тураланған}}}

қайдан шығады ${ displaystyle 0}$ дейін ${ displaystyle 1}$ сияқты ${ displaystyle a}$ бастап шығады ${ displaystyle 1/3}$ дейін ${ displaystyle 0}$ . ( ${ displaystyle a> 1/3}$ Бұл құрылыста мүмкін емес.)

Smith-Volterra-Cantor жиынтықтарының декарттық өнімдерін табуға болады мүлдем ажыратылған жиынтықтар нөлдік емес өлшеммен жоғары өлшемдерде. Қолдану арқылы Денжой-Риз теоремасы осы типтегі екі өлшемді жиынтыққа анды табуға болады Осгуд қисығы, а Иордания қисығы қисықтағы нүктелердің оң ауданы болатындай етіп.^[4]

Сондай-ақ қараңыз

SVC құрылысында қолданылады Вольтерраның қызметі (сыртқы сілтемені қараңыз).
SVC - бұл Иорданиямен өлшенбейтін ықшам жиынтықтың мысалы, қараңыз Иордания # күрделі топтамаларға дейін кеңейту.
SVC индикаторлық функциясы (0,1) -де Риман интегралданбайтын, сонымен қатар барлық жерде дерлік Риманның интегралданатын функциясымен тең емес шектеулі функцияның мысалы болып табылады, қараңыз Риман интеграл # Мысалдар.

Әдебиеттер тізімі

^ Алипрантис және Буркиншоу (1981), Нақты талдау принциптері
^ Смит (1874)
^ Bressoud (2003)
^ Балчерзак, М .; Харазишвили, А. (1999), «Санақсыз бірлестіктер мен өлшенетін жиынтықтардың қиылыстары туралы», Грузия математикалық журналы, 6 (3): 201–212, дои:10.1023 / A: 1022102312024, МЫРЗА 1679442.

Дереккөздер

Брессуд, Дэвид Мариус (2003). Есептеудің негізгі теоремасымен күрес: Вольтерраның қызметі, сөйлесу Дэвид Мариус Брессуд
Смит, Генри Дж.С. (1874). "Үзіліссіз функцияларды интеграциялау туралы «. Лондон Математикалық Қоғамының еңбектері. Бірінші серия. 6: 140–153

Сыртқы сілтемелер

[1] Алипрантис және Буркиншоу (1981), Нақты талдау принциптері

[2] Смит (1874)

[3] Bressoud (2003)

[4] Балчерзак, М .; Харазишвили, А. (1999), «Санақсыз бірлестіктер мен өлшенетін жиынтықтардың қиылыстары туралы», Грузия математикалық журналы, 6 (3): 201–212, дои:10.1023 / A: 1022102312024, МЫРЗА 1679442.

[1]

[2]

[3]

[4]