Тұйық қисықтардағы сингулярлық интегралды операторлар - Singular integral operators on closed curves

Жылы математика, сингулярлық интегралды операторлар жабық қисықтарда проблемаларда туындайды талдау, соның ішінде кешенді талдау және гармоникалық талдау. Екі негізгі сингулярлық интегралдық операторлар - Гильберт түрлендіруі және Коши түрлендіруі күрделі жазықтықтағы кез-келген тегіс Джордан қисығы үшін анықталуы мүмкін және қарапайым алгебралық формуламен байланысты. Ерекше жағдайда Фурье сериясы бірлік шеңбері үшін операторлар классикалық болады Коши түрлендіру, ортогональды проекция үстінде Таза кеңістік, және Гильберт түрлендіру нағыз ортогоналды сызықтық күрделі құрылым. Жалпы Коши түрлендіруі өзін-өзі біріктірмейді идемпотентті және Гильберт ортогоналды емес түрлендіреді күрделі құрылым. Коши түрлендіруінің ауқымы - бұл Иордания қисығымен қоршалған аймақтың Харди кеңістігі. Бастапқы қисықтың теориясын бірлік шеңберінен шығаруға болады, мұнда айналмалы симметрия болғандықтан екі оператор да классикалық конволюция түріндегі сингулярлық интегралды операторлар. Гильберт түрлендіруі Племелж мен Сохотскийдің секіру қатынастары, олар бастапқы функцияны аймақтағы голоморфты функциялардың шекаралық мәндері мен оның комплементі арасындағы айырмашылық ретінде көрсетеді. Сингулярлық интегралды операторлар функциялардың әр түрлі кластары бойынша зерттелген, соның ішінде Hőlder кеңістіктері, L^б кеңістіктер мен Соболев кеңістіктері. L жағдайында² кеңістіктер - төменде егжей-тегжейлі қарастырылған жағдай - жабық қисық сызықпен байланысты басқа операторлар, мысалы Szegő проекциясы Гарди кеңістігіне және Нейман-Пуанкаре операторы, Коши түрлендіруі және оның қосындысы арқылы көрсетілуі мүмкін.

Бөлім шеңберіндегі операторлар

Егер f L-да²(Т), онда ол Фурье қатарының кеңеюіне ие^[1][2]

${ displaystyle displaystyle {f ( theta) = sum _ {n in { mathbf {Z}}} a_ {n} e ^ {in theta}.}}$

Таза кеңістік H²(Т) теріс коэффициенттер жойылатын функциялардан тұрады, а_n = 0 үшін n <0. Бұл дәл дәл квадрат-интегралданатын функциялар, олар дискідегі холоморфты функциялардың шекаралық мәндері ретінде пайда болады |з| <1. Шынында да, f - функцияның шекаралық мәні

${ displaystyle displaystyle {F (z) = sum _ {n geq 0} a_ {n} z ^ {n},}}$

функциялары деген мағынада

${ displaystyle displaystyle {f_ {r} ( theta) = F (re ^ {i theta})}},$

шектеуімен анықталады F концентрлі шеңберлерге |з| = р, қанағаттандыру

${ displaystyle displaystyle { | f_ {r} -f | _ {2} rightarrow 0.}}$

Ортогональ проекциясы P Л.²(Т) H-ге²(Т) деп аталады Szegő проекциясы. Бұл L бойынша шектелген оператор²(Т) бірге операторлық норма 1.

Коши теоремасы бойынша

${ displaystyle displaystyle {F (z) = {1 2-ден артық pi i} int _ {| zeta | = 1} {f ( zeta) over zeta -z} , d zeta = {1 over 2 pi} int _ {- pi} ^ { pi} {f ( theta) over 1-e ^ {- i theta} z} , d theta.}}$

Осылайша

${ displaystyle displaystyle {F (re ^ {i varphi}) = {1 2 pi} int _ {- pi} ^ { pi} {f ( varphi - theta) 1ден жоғары -re ^ {i theta}} , d theta.}}$

Қашан р 1-ге тең, оң жақтағы интеграл θ = 0 теңдеулілікке ие қысқартылған Гильберт түрлендіруі арқылы анықталады

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f ( varphi) = {i over pi} int _ { varepsilon leq | theta | leq pi} {f ( varphi - theta ) over 1-e ^ {i theta}} , d theta = {1 over pi} int _ {| zeta -e ^ {i varphi} | geq delta} {f ( zeta) over zeta -e ^ {i varphi}} , d zeta,}}$

мұндағы δ = | 1 - e^менε|. Шектелген функциясы бар конволюция ретінде анықталғандықтан, L бойынша шектелген оператор болып табылады²(Т). Қазір

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} {1} = {i over pi} int _ { varepsilon} ^ { pi} 2 Re (1-e ^ {i theta}) ^ {-1} , d theta = {i over pi} int _ { varepsilon} ^ { pi} 1 , d theta = i- {i varepsilon over pi}.}}$

Егер f in көпмүшесі болып табылады з содан кейін

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f (z) - {i (1- varepsilon) over pi} f (z) = {1 over pi i} int _ {| zeta -z | geq delta} {f ( zeta) -f (z) over zeta -z} , d zeta.}}$

Коши теоремасы бойынша оң жақ 0-ге тең 0-ге ұмтылады, демек δ, 0-ге тең.

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow if}}$

көпмүшелер үшін біркелкі. Екінші жағынан, егер сен(з) = з бұл бірден

${ displaystyle displaystyle {{ overline {H ^ { varepsilon} f}} = - u ^ {- 1} H ^ { varepsilon} (u { overline {f}}).}}$

Осылайша, егер f in көпмүшесі болып табылады з⁻¹ тұрақты мерзімсіз

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow -if}}$ біркелкі.

Анықтаңыз Гильберт түрлендіру шеңбер бойынша

${ displaystyle displaystyle {H = i (2P-I).}}$

Осылайша, егер f - тригонометриялық көпмүшелік

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow Hf}}$ біркелкі.

Бұдан шығатыны: егер f кез келген L² функциясы

${ displaystyle displaystyle {H ^ { varepsilon} f rightarrow Hf}}$ L-да² норма.

Бұл тригонометриялық көпмүшеліктер үшін нәтиженің салдары болып табылады H_ε біркелкі шектелген операторлық норма: шынымен де олардың Фурье коэффициенттері біркелкі шектелген.

Сонымен қатар, үздіксіз функция үшін f шеңберде, H_εf біркелкі жақындайды Hf, сондықтан нақты түрде. Белгіленген шегі - а Кошидің негізгі мәні, жазылған

${ displaystyle displaystyle {Hf = mathrm {PV} , {1 over pi} int {f ( zeta) over zeta -e ^ {i varphi}} , d zeta.} }$

Гильберт түрлендіруі шеңбердің бағдар сақтайтын диффеоморфизмдерімен табиғи үйлесімділікке ие.^[3] Осылайша, егер H - шеңбердің диффеоморфизмі

${ displaystyle displaystyle {H (e ^ {i theta}) = e ^ {ih ( theta)}, , , , h ( theta +2 pi) = h ( theta) +2 pi,}}$

содан кейін операторлар

${ displaystyle displaystyle {H_ {h} ^ { varepsilon} f (e ^ {i varphi}) = {1 over pi} int _ {| e ^ {ih ( theta)} - e ^ {ih ( varphi)} | geq varepsilon} {f (e ^ {i theta}) over e ^ {i theta} -e ^ {i varphi}} , e ^ {i theta } , d theta,}}$

біркелкі шектелген және күшті оператор топологиясына бейім H. Сонымен қатар, егер Vf(з) = f(H(з)), содан кейін VHV⁻¹ – H - тегіс ядросы бар оператор, сондықтан а Гильберт-Шмидт операторы.

Қатты кеңістіктер

Бірлік шеңберіндегі Харди кеңістігін smooth тегіс шекарасы бар кез-келген көбейтілген байланысқан доменге жалпылауға болады. Харди кеңістігі H²(∂Ω) бірнеше эквивалентті тәсілдермен анықталуы мүмкін. Оны анықтаудың қарапайым тәсілі - L ішіндегі жабылу²(∂Ω) голоморфты функциялар кеңістігінің Ω жабылуындағы тегіс функцияларға дейін үздіксіз жалғасады. Қалай Уолш дәлелденді, нәтижесінде оның ізашары болды Мергелян теоремасы, жабылуға дейін созылатын Ω кез келген голоморфты функцияны біртектес норма бойынша қосымша аймақта полюстері бар рационалды функциямен жуықтауға болады.^c. Егер Ω жай жалғанған болса, онда рационалды функцияны көпмүшелік деп қабылдауға болады. Шекте осы теореманың теңдесі бар Хартогс - Розенталь теоремасы, бұл кез-келген үздіксіз функцияны the толықтауышында полюстері бар рационалды функциялар арқылы бірыңғай нормада жақындатуға болатындығын айтады. Бұдан шығатыны, жай жалғанған домен үшін ∂Ω қарапайым тұйық қисық болғанда, H болады²(∂Ω) - бұл тек көпмүшелердің жабылуы; тұтастай алғанда бұл functions орналасқан полюстермен рационалды функциялар кеңістігінің жабылуы.^[4]

Бірлік шеңберінде L² функциясы f Фурье сериясының кеңеюімен

${ displaystyle displaystyle {f (e ^ {i theta}) = sum a_ {n} e ^ {in theta}}}$

Пуассон интегралымен берілген бірлік дискідегі гармоникалық функцияға арналған ерекше кеңейтуге ие

${ displaystyle displaystyle {f (re ^ {i theta}) = P_ {r} f (e ^ {i theta}) = sum a_ {n} r ^ {| n |} e ^ {in тета}.}}$

Соның ішінде

${ displaystyle displaystyle { | P_ {r} f | ^ {2} = sum | a_ {n} | ^ {2} r ^ {2 | n |},}}$

сондықтан нормалар at мәніне дейін өседі р = 1, нормасы f. Гармоникалық кеңейту берілген бірлік дискіні толықтырудағы ұқсас

${ displaystyle displaystyle {F_ {R} (e ^ {i theta}) = F (Re ^ {i theta}) = sum a_ {n} R ^ {- | n |} a_ {n} e ^ {in theta}.}}$

Бұл жағдайда нормалар at мәнінен жоғарылайды R = ∞ нормасына сәйкес f, мәні R = 1.

Ұқсас нәтиже гармоникалық функцияға да сәйкес келеді f қарапайым жалғанған аймақта шекарасы тегіс, L берілген² нормалар шекараның құбырлы маңындағы деңгей қисықтары бойынша қабылданады.^[5] Векторлық белгілерді қолдану v(т) = (х(т), ж(т)) шекаралық қисықты доға ұзындығы бойынша параметрлеуге келесі классикалық формулалар сәйкес келеді:

${ displaystyle displaystyle {{ dot { mathbf {v}}} cdot { dot { mathbf {v}}} = 1, , , , { ddot { mathbf {v}}} cdot { dot { mathbf {v}}} = 0.}}$

Осылайша бірлік жанама вектор т(т) ат т және бағытталған вектор n(т) арқылы беріледі

${ displaystyle displaystyle { mathbf {t} = { dot { mathbf {v}}}, , , , , , , , mathbf {n} = (- { dot {y}) }, { нүкте {х}}).}}$

Үдеу векторын қалыпты вектормен байланыстыратын тұрақтысы - болып табылады қисықтық қисықтың:

${ displaystyle displaystyle {{ ddot { mathbf {v}}} = kappa (t) , mathbf {n} (t), , , , , , , kappa (t) = { ddot { mathbf {v}}} cdot mathbf {n} = { ddot {y}} { dot {x}} - { ddot {x}} { dot {y}}.} }$

Бұдан әрі екі формула бар Френет:

${ displaystyle displaystyle {{ dot { mathbf {n}}} = - kappa mathbf {t}, , , , { ddot { mathbf {n}}} = { dot { kappa}} mathbf {n} - kappa ^ {2} mathbf {t}.}}$

Шекараның құбырлы маңайы берілген

${ displaystyle displaystyle { mathbf {v} _ {s} (t) = mathbf {v} (t) + s mathbf {n} (t),}}$

деңгей қисықтары that болатындай етіп_с бірге с тұрақты байланысқан домендер Ω_с. Оның үстіне^[6]

${ displaystyle displaystyle {{ dot { mathbf {v}}} _ {s} (t) = (1-s kappa) mathbf {t}, , , , , partial _ { s} | { dot { mathbf {v}}} _ {s} | = - kappa.}}$

Осыдан интегралды құралдарды дифференциалдау сбағытындағы туынды ішке қалыпты көрсетеді, береді

${ displaystyle displaystyle { жарым-жартылай _ {s} int _ { жартылай Омега _ {с}} | f | ^ {2} = - int _ { жарым-жартылай Omega _ {s}} ( жартылай _ {n} f { overline {f}} + f { overline { ішінара _ {n} f}}) - int _ { жарым-жартылай Omega _ {s}} kappa (1- kappa s ) {{- 1} | f | ^ {2} = - 2 iint _ { Omega _ {s}} | nabla f | ^ {2} - int _ { partial Omega _ {s}} kappa (1- kappa s) ^ {- 1} | f | ^ {2},}}$

қолдану Грин теоремасы. Осылайша с кішкентай

${ displaystyle displaystyle { жарым-жартылай _ {s} | f | _ { жартылай Омега _ {s}} | ^ {2} leq M | f | _ { жартылай Omega _ {s} } | ^ {2},}}$

тұрақты үшін М тәуелсіз f. Бұл мұны білдіреді

${ displaystyle displaystyle { жарым-жартылай _ {с} е ^ {- Мс} | f | _ { жартылай Омега _ {s}} | ^ {2} leq 0,}}$

осы теңсіздікті интеграциялау кезінде нормалар шекараға жақын болады:

${ displaystyle displaystyle { | f | _ { жарым-жартылай Омега _ {s}} | leq e ^ {Ms / 2} | f | _ { жарым-жартылай Omega} |.}}$

Бұл теңсіздік L функциясының екенін көрсетеді² Харди кеңістігі²(Ω) әкеледі, Коши интегралдық операторы арқылы C, интегралды білдіретін классикалық шартты қанағаттандыратын голоморфтық функцияға

${ displaystyle displaystyle { int _ { жарым-жартылай Omega _ {s}} | f | ^ {2}}}$

шектелген Сонымен қатар, шектеулер f_с туралы f ∂Ω дейін_с, оны ∂Ω-мен табиғи түрде анықтауға болады, L-ге бейім² Харди кеңістігіндегі бастапқы функцияға дейін.^[7] Іс жүзінде H²(Ω) L жабылу ретінде анықталған²(Ω) рационалды функциялар (егер Ω жай жалғанған болса, оларды көпмүшеліктер ретінде қабылдауға болады). Тек полюстері бар кез-келген рационалды функция^c шекаралас мәнінен Ω ішінде қалпына келтіруге болады ж Кошидің интегралдық формуласы бойынша

${ displaystyle displaystyle {Cg (a) = {1 2ден артық pi i} int _ { жартылай Омега} {g (z) үстінен z-a} , dz.}}$

Жоғарыда келтірілген бағалау функциялардың бар екендігін көрсетеді Cg|_∂Ωс байланысты болады Cg|_∂Ω. Сонымен қатар, бұл жағдайда функциялар шекара мәніне біркелкі, демек, L-ге тең келеді², кеңістіктердің табиғи идентификациясын қолдана отырып L²(∂Ω_с) Л.²(∂Ω). Бастап Ч. кез келген L үшін анықталуы мүмкін² function бастап голоморфты функция ретінде функция сағ integr интегралданған. Бастап сағ L шегі болып табылады² рационалды функциялар ж, дәл осындай нәтижелер сақталады сағ және Ч., интегралды құралдар үшін бірдей теңсіздіктермен. Бірдей жақсы сағ L шегі²(Of) функциялар Ч.|_∂Ωс.

Жоғарыдағы шекараға жақын интегралды құралдардың бағалары оны көрсетеді Cf L-да жатыр²(Ω) және оның L² нормаға байланысты шектелуі мүмкін f. Бастап Cf сонымен қатар голоморфты, ол Бергман кеңістігі A²(Of) Ω. Осылайша Коши интегралдық операторы C шекараның Харди кеңістігінен интерьердің Бергман кеңістігіне дейінгі табиғи картаны анықтайды.^[8]

Харди кеңістігі H²(Ω) табиғи серіктесі бар, яғни L ішіндегі жабылу²(∂Ω) рационалды функциялардың шекаралық мәндері жоғалып кету Pol тек in тіректерімен. Осы кіші кеңістікті Х.²₊(∂Ω) оны бастапқы Харди кеңістігінен ажырату үшін оны H белгілейді²₋(∂Ω), жоғарыда келтірілген дәлелдемені қолдануға болады. Функцияға қолданған кезде сағ H²₊(∂Ω), Коши интегралдық операторы голоморфты функцияны анықтайды F in^c шекараның жанында шектеу болатындай ∞ жоғалады F әрқайсысы шекарамен анықталған деңгей қисықтарына, L-ге тең² дейін сағ. Шеңбер жағдайынан айырмашылығы, H²₋(∂Ω) және H²₊(∂Ω) ортогоналды кеңістік емес. Хартогтар − Розенталь теоремасы бойынша олардың қосындысы L-ге тең²(∂Ω). Төменде көрсетілгендей, бұл Гильберт түрлендіруінің ± i меншікті кеңістігі on, сондықтан олардың қосындысы шын мәнінде тікелей және L²(∂Ω).

Тұйық қисық бойынша Гильберт түрлендіреді

Smooth тегіс шекарасы бар күрделі жазықтықта шектелген жай қосылған домен үшін Hil Гильберт түрлендіруінің теориясын бірлік шеңбері үшін Гильберт түрлендіруімен тікелей салыстыру арқылы шығаруға болады.^[9]

Гильберт түрлендіруін анықтау үшін H_∂Ω L туралы²(∂Ω), c-ді алып, оны ұзындықтың ұзындығымен параметрлейді, сөйтіп функция з(т). Гильберттің түрлендіруі шегі ретінде анықталған мықты оператор топологиясы қысқартылған операторлар H_∂Ω^ε арқылы анықталады

${ displaystyle displaystyle {H _ { жарым-жартылай Омега} ^ { varepsilon} f (s) = {1 over pi i} int _ {| st | geq varepsilon} , , , , {f (t) over z (t) -z (s)} , { dot {z}} (t) , dt.}}$

Салыстыру үшін масштабты түрлендіруді қолдану ыңғайлы болады C ұзындығы ∂Ωis 2π болатындай. (Бұл жоғарыдағы операторларды тек тұрақты оң фактормен өзгертеді.) Сонда L канондық унитарлы изоморфизмі болады.²(∂Ω) L²(Т), сондықтан екі кеңістікті анықтауға болады. Қысқартылған операторлар H_∂Ω^ε тікелей кесілген Гильберт түрлендіруімен салыстыруға боладыH^ε:

${ displaystyle displaystyle {H _ { жарым-жартылай Омега} ^ { varepsilon} g (s) -H ^ { varepsilon} g (s) = {1 over pi i} int _ {| ts | geq varepsilon} K (s, t) cdot g (t) , dt,}}$

қайда

${ displaystyle displaystyle {K (u, v) = {{ dot {z}} (t) over z (t) -z (s)}) - {ie ^ {it} over e ^ {it} -e ^ {is}} = ішінара _ {t} log left ({z (t) -z (s) over e ^ {it} -e ^ {is}} right).}}$

Ядро Қ осылайша тегіс Т × Т, сондықтан жоғарыдағы айырмашылық ядро ​​анықтаған Гильберт-Шмидт операторына күшті топологияға ұмтылады. Бұдан қысқартылған операторлар шығады H_∂Ω^ε нормада біркелкі шектелген және күшті оператор топологиясында белгіленген шегі бар H_∂Ω және деп атады Гильберт түрлендіру on.

${ displaystyle displaystyle {H _ { жарым-жартылай Omega} g = lim _ { varepsilon rightarrow 0} H _ { жарым-жартылай Omega} ^ { varepsilon} g.}}$

Ε жоғары болса, өнім 0-ге тең болады

${ displaystyle displaystyle {H _ { жарым-жартылай Omega} g (s) -Hg (s) = {1 over pi i} int _ {0} ^ {2 pi} K (s, t) cdot g (t) , dt.}}$

Бастап H қиғаш адъюнкцияланған және H_∂Ω ерекшеленеді H Тегіс ядросы бар Гильберт-Шмидт операторы бұдан шығады H_∂Ω + H_∂Ω* - тегіс ядросы бар Гильберт-Шмидт операторы. Ядроны Hil үшін қысқартылған Гильберт түрлендірулерінің көмегімен нақты есептеуге болады:

${ displaystyle displaystyle {C (s, t) = {1 over pi i} left ({{ dot {z}} (t) over z (t) -z (s)} - {{ сызық {{ нүкте {z}} (тер)}} үстінен { сызық {z (t)}} - { сызықша {z (лар)}}} оң),}}$

және бұл тегіс функция екенін тікелей тексеруге болады Т × Т.^[10]

Племелж-Сохотский қатынасы

Келіңіздер C₋ және C₊ Ω және Ω үшін Коши интегралдық операторлары болыңыз^c. Содан кейін

${ displaystyle displaystyle {C _ { pm} circ H = pm iC _ { pm}.}}$

Операторлардан бастап C₋, C₊ және H шектелген, мұны рационалды функциялар бойынша тексеру жеткілікті F art Хартогс-Розенталь теоремасы бойынша es сөніп, ∞ жоғалады. Рационалды функцияны функциялардың қосындысы түрінде жазуға болады F = F₋ + F₊ қайда F₋ тек Ω полюстері бар^c және F₊ тек полюстері бар f, f_± шектеулері болуы керек f, f_± ∂Ω дейін. Авторы Кошидің интегралдық формуласы

${ displaystyle displaystyle {C _ { pm} f _ { pm} = F _ { pm}, , , , C _ { pm} f _ { mp} = 0.}}$

Екінші жағынан, мұны тексеру тікелей^[11]

${ displaystyle displaystyle {Hf _ { pm} = pm if _ { pm}.}}$

Шынында да, Коши теоремасы бойынша F₋ om голоморфты,

${ displaystyle displaystyle { int _ { жарым-жартылай Омега, , , | zw | geq varepsilon} {f _ {-} (z) over zw} , dz = - int _ {| zw | = varepsilon, , , z in Omega} {F _ {-} (z) over zw} , dz.}}$

Ε 0-ге ұмтылатындықтан, соңғы интеграл π-ге ұмтыладымен f₋(w) арқылы қалдықтарды есептеу. Осыған ұқсас аргумент қолданылады f₊, ішкі жағында дөңгелек контурды алу Ω^c.^[12]

Үздіксіздік дегеніміз осыдан шығады H арқылы көбейтудің рөлін атқарады мен H²₋ және көбейту ретінде -мен H²₊. Бұл кеңістіктер жабық және олардың қосындысы тығыз болғандықтан, бұдан шығады

${ displaystyle displaystyle {H ^ {2} = - Мен.}}$

Сонымен қатар, Х.²₋ және H²₊ ± болуы керекмен меншікті кеңістігі H, сондықтан олардың қосындысы L-ді құрайды²(∂Ω). The Племелж-Сохотский қатынасы үшін f L-да²(∂Ω) - қатынас

${ displaystyle displaystyle {-iHf = C _ {-} f | _ { жарым-жартылай Омега} -C _ {+} f | _ { жартылай Омега}.}}$

Ол үшін расталды f Харди кеңістігінде H²_±(∂Ω), сондықтан олардың қосындысына да сәйкес келеді. The Коши E арқылы анықталады

${ displaystyle displaystyle {H = i (2E-I).}}$

Диапазоны E осылайша H²₋(∂Ω) және сол Мен − E H болып табылады²₊(∂Ω). Жоғарыда айтылғандардан^[13]

${ displaystyle displaystyle {Ef = C _ {-} f | _ { ішінара Омега}, , , , , (IE) f = C _ {+} f | _ { жарым-жартылай Омега}.} }$

Тұйық қисықтағы операторлар

Тұйық қисық cur бойынша анықталған тағы екі операторды Гильберт пен Коши түрлендірулерімен өрнектеуге болады H және E.^[14]

The Szegő проекциясы P Харди кеңістігіне ортогоналды проекция ретінде анықталады²(∂Ω). Бастап E идемпотент болып табылады, ол диапазоны H²(∂Ω), P арқылы беріледі Керцман-Штейн формуласы:

${ displaystyle displaystyle {P = E (I + E-E ^ {*}) ^ {- 1}.}}$

Шынында да, бері E − E* қисық-адъюнкцияланған, оның спектрі тек ойдан шығарылған, сондықтан оператор Мен + E − E* қайтымды.^[15] Бұл бірден

${ displaystyle displaystyle {EP = P, , , , PE = E.}}$

Демек PE* = P. Сонымен

${ displaystyle displaystyle {P (I + E-E ^ {*}) = P + E-P = E.}}$

Оператордан бастап H + H* Бұл Гильберт-Шмидт операторы wirh тегіс ядросы, дәл сол үшін қолданылады E − E*.^[16]

Сонымен қатар, егер Дж - күрделі конъюгацияның және -ның конъюгат-сызықтық операторы U тангенс векторына көбейту операторы:

${ displaystyle displaystyle {Jf (t) = { overline {f (t)}}, , , , Uf (t) = { dot {z}} (t) cdot f (t). }}$

содан кейін Hil бойынша қысқартылған Гильберт түрлендіруінің формуласы іргелес адамдар үшін дереу келесі идентификацияны береді

${ displaystyle displaystyle {(H ^ { varepsilon}) ^ {*} = JUH ^ { varepsilon} U ^ {*} J.}}$

Ε 0-ге тең болса, бұдан шығатыны

${ displaystyle displaystyle {H ^ {*} = JUHU ^ {*} J}}$

және демек

${ displaystyle displaystyle {I-E ^ {*} = JUEU ^ {*} J.}}$

Шеңбер үшін Гильберт түрлендіруімен салыстыру коммутаторлардың көрсетеді H және E шеңбердің диффеоморфизмімен Гильберт-Шмидт операторлары. Олардың коммутаторларын тегіс функцияға сәйкес көбейту операторымен ұқсас f шеңберде сонымен қатар Гильберт-Шмидт операторлары орналасқан. Коммутатор ядросы тұрақтыға дейін H тегіс функциясы арқылы беріледі

${ displaystyle displaystyle {A (s, t) = {f (s) -f (t) over z (s) -z (t)}.}}$

The Нейман-Пуанкаре операторы Т нақты функциялар бойынша анықталады f сияқты

${ displaystyle displaystyle {Tf (w) = {1 over 2 pi} int _ { partial Omega} partial _ {n} ( log | zw |) f (z) = {1 over 2} Re (Hf) (w).}}$

Жазу сағ = f + ig,^[17]

${ displaystyle displaystyle {2Th = Re (Hf) + i Re (Hg) = {1 over 2} (Hf + JHf + iHg + iJHg) = {1 over 2} (H + JHJ) h} }$

сондай-ақ

${ displaystyle displaystyle {T = {1 4} жоғары (H + JHJ) = {1 4} жоғары (H + UH ^ {*} U ^ {*}),}}$

Гильберт-Шмидт операторы.

Харди кеңістігінің классикалық анықтамасы

Харди кеңістігінің классикалық анықтамасы - бұл голоморфты функциялар кеңістігі F Ω үшін функциялар F_с = F|_∂Ωс L-де белгіленген норма бар²(∂Ω). Негізделген аргумент Каратеодорлық ядро ​​теоремасы бұл шарт Ω-да Иордания қисықтарының отбасы болған кезде орындалатындығын көрсетеді, нәтижесінде олардың ішкі бөліктерінде кез-келген ықшам жиынтық болады, оған интегралды құралдар F шектелген^[18]

Харди кеңістігінің классикалық анықтамасы H кеңістігін беретіндігін дәлелдеу²(∂Ω), алыңыз F жоғарыдағыдай. Кейбір кейінгі сағ_n = F_сn L-де әлсіз конвергенцияланады²(∂Ω) дейін сағ айтыңыз. Бұдан шығатыны Ч. = F in. Шындығында, егер C_n Ω сәйкес келетін Коши интегралдық операторы_сn, содан кейін^[19]

${ displaystyle displaystyle {Ch (a) -F (a) = Ch (a) -C_ {n} h_ {n} (a) = C (h-h_ {n}) (a) + [(C-) C_ {n}) h_ {n}] (a).}}$

Оң жақтағы бірінші мүше жұптасу арқылы анықталғандықтан сағ − сағ_n бекітілген L² функциясы, ол нөлге ұмтылады. Егер з_n(т) - сәйкес келетін күрделі сан v_сn, содан кейін

${ displaystyle displaystyle {[(C-C_ {n}) h_ {n}] (a) = {1 over 2 pi i} int h_ {n} (t) left ({{ dot {) z}} (t) z (t) -a} - {{ dot {z}} _ {n} (t) over z_ {n} (t) -a} right) , dt. }}$

Бұл интеграл нөлге ұмтылады, өйткені L² нормалары сағ_n интегралдағы жақшалы өрнек 0-ге тең, ал L мәніне ұмтылған кезде біркелкі шектелген².

Осылайша F = Ч.. Екінші жағынан, егер E Коши идемпотенті, H ауқымы бар²(∂Ω), содан кейін C ∘ E = C. Демек F =Ч. = C (Eh). Көрсетілгендей F_с ұмтылады Ч. L-да²(∂Ω). Бірақ кейінгі кезең әлсізге бейім сағ. Демек Ч. = сағ сондықтан екі анықтама баламалы болып табылады.^[20]

Жалпылау

Біркелкі шекарасы бар көбейтілген шектелген домендердің теориясы қарапайым жалғанған жағдайдан оңай шығады.^[21] Операторлардың аналогтары бар H, E және P. Шекараның берілген компоненті бойынша сингулярлық үлес H және E сол шекара компонентіндегі сингулярлық интегралдан шығады, сондықтан теорияның техникалық бөліктері жай байланысты жағдайдың тікелей салдары болып табылады.

Кеңістіктеріндегі сингулярлық интегралды операторлар Hölder үздіксіз функциялары талқыланады Гахов (1992) harvtxt қатесі: мақсат жоқ: CITEREFGakhov1992 (Көмектесіңдер). Олардың Л.^б және Соболев кеңістігі талқыланады Михлин және Прёсдорф (1986).

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Bell, S.R (1992), Коши түрлендіруі, потенциалдар теориясы және конформды картаға түсіру, Advanced Mathematics Studies, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-X
• Bell, S.R (2016), Коши түрлендіруі, потенциалдар теориясы және конформды картаға түсіру, Математикадағы зерттеулер (2-ші басылым), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Конвей, Джон Б. (1995), Бір күрделі айнымалы функциялары II, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 159, Springer, б. 197, ISBN  0387944605
• Конвей, Джон Б. (2000), Операторлар теориясының курсы, Математика бойынша магистратура, 21, Американдық математикалық қоғам, 175–176 б., ISBN  0821820656
• Дэвид, Гай (1984), «Opérateurs intégraux singuliers sur certaines courbes du plan complexe», Энн. Ғылыми. École Norm. Sup., 17: 157–189
• Дюрен, Питер Л. (1970), Н теориясы^б кеңістіктер, Таза және қолданбалы математика, 38, Academic Press
• Гахов, Ф. Д. (1990), Шектік проблемалар. 1966 жылғы аударманың қайта басылуы, Dover Publications, ISBN  0-486-66275-6
• Гамелин, Теодор В. (2005), Бірыңғай алгебралар (2-ші басылым), Американдық математикалық қоғам, 46-47 б., ISBN  0821840495
• Гарнетт, Дж.Б. (2007), Шектелген аналитикалық функциялар, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 236, Springer, ISBN  978-0-387-33621-3
• Гохберг, Израиль; Крупник, Наум (1992), Бір өлшемді сызықтық сингулярлық интегралдық теңдеулер. I. Кіріспе, Операторлар теориясы: Аванстар және қосымшалар, 53, Бирхязер, ISBN  3-7643-2584-4
• Голузин, Г.М. (1969), Кешенді айнымалы функциясының геометриялық теориясы, Математикалық монографиялардың аудармалары, 26, Американдық математикалық қоғам
• Катцнельсон, Ицхак (2004), Гармоникалық талдауға кіріспе, Кембридж университетінің баспасы, ISBN  978-0-521-54359-0
• Керцман, Н .; Stein, E. M. (1978), «Коши өзегі, Сегё ядросы және Риманның картаға түсіру функциясы», Математика. Энн., 236: 85–93, дои:10.1007 / bf01420257
• Мусхелишвили, Н. И. (1992), Сингулярлық интегралдық теңдеулер. Функциялар теориясының шекаралық мәселелері және оларды математикалық физикаға қолдану, Довер, ISBN  0-486-66893-2
• Михлин, Соломон Г.; Прёсдорф, Зигфрид (1986), Сингулярлық интегралды операторлар, Springer-Verlag, ISBN  3-540-15967-3
• Прессли, Эндрю; Сегал, Грэм (1986), Ілмек топтары, Oxford University Press, ISBN  0-19-853535-X
• Сегал, Грэм (1981), «Кейбір шексіз өлшемді топтардың унитарлы көріністері», Комм. Математика. Физ., 80: 301–342, дои:10.1007 / bf01208274
• Шапиро, Х. С. (1992), Шварц функциясы және оны жоғары өлшемдерге жалпылау, Арканзас университеті, математика ғылымдарындағы дәрістер, 9, Вили-Интерсианс, ISBN  0-471-57127-X
• Торчинский, Альберто (2004), Гармоникалық анализдегі нақты айнымалы әдістер, Довер, ISBN  0-486-43508-3