Шурс лемма (Риман геометриясы) - Википедия - Schurs lemma (Riemannian geometry)

Жылы Риман геометриясы, Шур леммасы бұл эвристикалық тұрғыдан белгілі бір қисықтық нүктелік тұрақты болған сайын, оларды глобал тұрақты етуге мәжбүр ететін нәтиже. Дәлел - бұл бір сатылы есептеу, оның тек бір кірісі бар: екінші Бианки сәйкестігі.

Риччи тензорына арналған Шур леммасы

Айталық (М, ж) тегіс Риманн коллекторы өлшеммен n. Еске сала кетейік, бұл әр элемент үшін анықталады б туралы М:

Шур леммасы мынаны айтады:

Айталық n екіге тең емес. Егер κ функциясы болса М осындай Рикб = κ (б)жб барлығына б жылы М содан кейін dκ = 0. Эквивалентті, κ -ның әрбір қосылған компонентінде тұрақты болады М; мұны әр байланыстырылған компонент деп тұжырымдауға болады М болып табылады Эйнштейн.

Шур леммасы - «екі рет келісімшартқа ие болған секундтың» қарапайым салдары Бианки сәйкестігі, «деп көрсетілген

тегіс 1-формалардың теңдігі деп түсіндік М. Берілген шартта ауыстыру Рикб = κ (б)жб, біреу мұны табады

Болжамдардың альтернативті тұжырымдамалары

Келіңіздер B бойынша симметриялы екі сызықты форма болуы керек n-өлшемді ішкі өнім кеңістігі (V, ж). Содан кейін

Сонымен қатар, егер B = κж кейбір κ саны үшін автоматты түрде болады κ = 1/nтржB. Осы ескертулерді ескере отырып, Шур леммасын келесі түрде айта аласыз:

Келіңіздер (М, ж) өлшемі екіге тең емес жалғанған Риман коллекторы болыңыз. Сонда келесілер барабар:

  • Κ функциясы бар М осындай Рикб = κ (б)жб барлығына б жылы М
  • Мұндай сан бар κ Рикб = κжб барлығына б жылы М, яғни (М, ж) Эйнштейн
  • Біреуі бар Рикб = 1/nRбжб барлығына б жылы М, яғни ізсіз Ricci тензоры нөлге тең

Егер (М, ж) - бұл жалған риманналық жалғанған жалғанған коллектор, содан кейін алғашқы үш шарт эквивалентті және олар төртінші шартты білдіреді.

Өлшемдік шектеудің маңызды екеніне назар аударыңыз, өйткені тұрақты қисықтыққа ие болмайтын әрбір екі өлшемді Риман коллекторы қарсы мысал бола алады.

Риман тензорына арналған Шур леммасы

Төменде Ricci тензоры үшін Шур леммасының жедел қорытындысы келтірілген.

Келіңіздер өлшемі біріктірілген тегіс Риман коллекторы болыңыз n екіге тең емес. Сонда келесілер барабар:

  • Κ функциясы бар М осындай секб(V) = κ (б) барлығына б жылы М және барлық екі өлшемді сызықтық ішкі кеңістіктер V туралы ТбМ
  • Мұндай сан бар κ секб(V) = κ барлығына б жылы М және барлық екі өлшемді сызықтық ішкі кеңістіктер V туралы ТбМ, яғни (М, ж) тұрақты қисықтыққа ие
  • секб(V) = 1/n(n-1)Rб барлығына б жылы М және барлық екі өлшемді сызықтық ішкі кеңістіктер V туралы ТбМ
  • барлығына б жылы М
  • Вейл қисаюының және Риман тензорының жартылай ізсіз бөлігінің қосындысы нөлге тең
  • Вейлдің қисаюы да, Риман тензорының жартылай ізсіз бөлігі де нөлге тең

Кодацци тензорларына арналған Шур леммасы

Келіңіздер (М, ж) өлшемнің тегіс риманналық немесе псевдо-риманалық көпжақты болуы n. Келіңіздер сағ ол тегіс симметриялы (0,2) тензорлық өріс, оның леви-цивита байланысына қатысты ковариантты туындысы толығымен симметриялы. Симметрия шарты -ның аналогы болып табылады Бианки сәйкестігі; ұқсастықты жалғастыра отырып, іздеу керек

Егер κ функциясы болса М осындай сағб = κ (б)жб барлығына б жылы М, содан кейін ауыстыру кезінде біреу табады

Демек n > 1 әрбір қосылған компонентте κ тұрақты болатындығын білдіреді М. Жоғарыда айтылғандай, Шур леммасын мына жағдайда айтуға болады:

Келіңіздер (М, ж) өлшемі бір-біріне тең емес жалғанған Риман коллекторы болыңыз. Келіңіздер сағ ковариантты туындысы (0,3) -тензор өрісі ретінде толықтай симметриялы болатын тегіс симметриялы (0,2) -тензорлық өріс болсын. Сонда келесілер барабар:

  • κ функциясы бар М осындай сағб = κ (б)жб барлығына б жылы М
  • κ саны бар сағб = κжб барлығына б жылы М
  • сағб = 1/n(тржсағб)жб барлығына б жылы М, яғни. ізсіз формасы сағ нөлге тең
  • барлығына б жылы М
  • барлығына б жылы М

Егер (М, ж) - бұл жалған-римандық жалғанған және тегіс коллектор, содан кейін алғашқы үшеуі эквивалентті және төртінші және бесінші болып табылады.

Қолданбалар

Шур леммалары геометриялық нысандардың дөңгелектілігін дәлелдеу үшін жиі қолданылады. Көрінетін мысал - конвергенттің шектерін сипаттау геометриялық ағындар.

Мысалы, негізгі бөлігі Ричард Гамильтон Риччи ағынындағы 1982 жыл[1] оның «қысу бағасы» болды, онда бейресми түрде айтылғандай, оң риччи қисықтығы бар 3-коллекторлы Риччи ағынында пайда болатын Риман метрикасы үшін Риччи тензорының меншікті мәндері олардың қосындысының шамасына қатысты бір-біріне жақын. Егер біреу қосындысын қалыпқа келтірсе, онда меншікті мәндер абсолюттік мағынада бір-біріне жақын болады. Осы мағынада, Риччидің қисықтық қисықтығының 3-түрлі коллекторында пайда болатын үш өлшемді Ricci ағынында пайда болатын метрикалардың әрқайсысы Шур леммасының шарттарын қанағаттандырады. Шур леммасының өзі нақты қолданылмайды, бірақ оның дәлелі Гамильтонның есептеулері арқылы тиімді жүзеге асырылады.

Риччи ағынының үлкен өлшемдердегі конвергенциясын зерттеу үшін Риман тензорына арналған Шур леммасы дәл осылай қолданылады. Бұл оралады Герхард Хискен Гамильтон жұмысын жоғары өлшемдерге дейін кеңейту,[2] Мұндағы жұмыстың негізгі бөлігі Вейл тензоры мен жартылай ізсіз Риман тензоры ұзақ уақыт шегінде нөлге айналады. Бұл Ricci ағынының конвергенциясының жалпы теоремаларына таралады, олардың кейбір экспозициялары Шур леммасын тікелей қолданады.[3] Бұған дәлелдеу кіреді дифференциалданатын сфера теоремасы.

Кодацци тензорларына арналған Шур леммасы тікелей Хьюскеннің конвергенциясы туралы негізгі мақаласында қолданылады. қисықтық ағыны, ол Гамильтон шығармашылығының үлгісі болды.[4] Хуискен қағазының соңғы екі сөйлемінде біреуі тегіс ендірілген деген қорытындыға келді бірге

қайда екінші негізгі формасы болып табылады және орташа қисықтық. Шур леммасы орташа қисықтықтың тұрақты екендігін білдіреді, ал ендіру кескіні стандартты дөңгелек сфера болуы керек.

Тағы бір қосымша толық изотропия мен қисықтыққа қатысты. Айталық бұл үш рет ажыратылатын Риманн коллекторы, және бұл әрқайсысы үшін изометрия тобы өтпелі түрде әрекет етеді Бұл бәріне бірдей дегенді білдіреді және бәрі изометрия бар осындай және Бұл мұны білдіреді сонымен қатар өтпелі түрде әрекет етеді яғни әрқайсысы үшін изометрия бар осындай және Изометрия қиманың қисаюын сақтайтын болғандықтан, бұл оны білдіреді әрқайсысы үшін тұрақты Шур леммасы мұны білдіреді тұрақты қисықтыққа ие. Мұның ерекше қолданылуы мынада кез келген ғарыш уақыты модельдер космологиялық принцип интервалдың қисаюы және тұрақты қисықтық Риман коллекторы болуы керек. О'Нилді қараңыз (1983, 341 бет).

Тұрақтылық

Жақында жүргізілген зерттеулер Шур лемманың шарттары шамамен қанағаттандырылатындығын зерттеді.

Шур леммасын «Егер ізсіз Ricci тензоры нөлге тең болса, онда скалярлық қисықтық тұрақты болады» түрінде қарастырайық. Камилло Де Леллис және Питер Топинг[5] егер ізсіз Ricci тензоры нөлге тең болса, онда скалярлық қисықтық шамамен тұрақты болатындығын көрсетті. Дәл:

  • Айталық - бұл теріс емес Ricci қисықтығы мен өлшемі бар жабық Риман коллекторы Содан кейін, қайда скалярлық қисықтықтың орташа мәнін білдіреді

Бұдан әрі Шур леммасын арнайы формада қарастырайық «Егер ішіне қосылған жалғанған бет болып табылады оның ізсіз екінші фундаменталь формасы нөлге тең болса, онда оның орташа қисықтығы тұрақты болады ». Камилло Де Леллис және Стефан Мюллер[6] егер ықшам беттің ізсіз екінші фундаментальді формасы шамамен нөлге тең болса, онда орташа қисықтық шамамен тұрақты болады. Дәл

  • сан бар кез-келген тегіс ықшам жалғанған ендірілген беті үшін біреуінде бар
қайда екінші негізгі формасы, индукцияланған метрика, және орташа қисықтық

Өтініш ретінде мынаны қорытындылауға болады өзі дөңгелек сфераға «жақын».

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Гамильтон, Ричард С. (1982). «Риччидің қисаюы оң үш коллекторлы». J. Дифференциалды геометрия. 17 (2): 255–306.
  2. ^ Хискен, Герхард (1985). «Риман коллекторындағы метриканың Ricci деформациясы». J. дифференциалды геом. 21 (1): 47–62.
  3. ^ Бом, Кристоф; Уилкинг, Бурхард (2008). «Оң қисықтық операторлары бар манифолдтар - бұл кеңістік формалары». Энн. математика (2). 167 (3): 1079–1097.
  4. ^ Хискен, Герхард (1984). «Дөңес беттердің сфераларға қисаюының орташа мәні». J. дифференциалды геом. 20 (1): 237–266.
  5. ^ Де Леллис, Камилло; Толығырақ, Питер М. (2012). «Шур леммасы». Кальц. Var. Жартылай дифференциалдық теңдеулер. 443 (3–44): 347–354.
  6. ^ Де Леллис, Камилло; Мюллер, Стефан (2005). «Кіндік беткейлері үшін оңтайлы қаттылықты бағалау». J. дифференциалды геом. 69 (1): 75–110.
  • Шошичи Кобаяши және Катсуми Номизу. Дифференциалды геометрияның негіздері. Том. I. Interscience Publishers, John Wiley & Sons бөлімі, Нью-Йорк-Лондон 1963 xi + 329 бб.
  • Барретт О'Нилл. Жартылай риман геометриясы. Салыстырмалылыққа арналған қосымшалармен. Таза және қолданбалы математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii + 468 бб. ISBN  0-12-526740-1