Рунге - жалпы теорема - Runge–Gross theorem

Жылы кванттық механика, нақты уақытқа тәуелді тығыздықтың функционалды теориясы, Рунге - жалпы теорема (RG теоремасы) үшін екенін көрсетеді көп денелі жүйе берілген бастапқыдан бастап дамып келеді толқындық функция, бар a бір-бірден картаға түсіру жүйе дамитын потенциал (немесе потенциал) мен жүйенің тығыздығы (немесе тығыздығы) арасындағы. Теореманың потенциалдары аддитивті ғана уақытқа тәуелді функцияға дейін анықталады: мұндай функциялар тек толқындық функцияның фазасын өзгертеді және тығыздықты инвариантты етіп қалдырады. Көбінесе RG теоремасы молекулалық жүйелерге қолданылады электронды тығыздық, ρ(р,т) сыртқы әсерге жауап ретінде өзгереді скалярлық потенциал, v(р,т), мысалы, уақыт бойынша өзгеретін электр өрісі.[1]

Рунге-Грос теоремасы уақытқа тәуелді тығыздықтың функционалды теориясының негізін қалады. Бұл тығыздықты квантты сипаттауда негізгі айнымалы ретінде пайдалануға болатындығын көрсетеді көп денелі жүйелер толқындық функцияның орнына және жүйенің барлық қасиеттері функционалды тығыздық

Теорема жарияланған Эрих Рунге [де ] және Гросс Эберхард К. [де ] 1984 жылы.[2] 2011 жылдың қаңтарынан бастап қағаздың түпнұсқасына 1700 рет сілтеме жасалған.[3]

Шолу

Рунге-Гросс теоремасы бастапқыда а-да қозғалатын электрондар үшін алынған скалярлық сыртқы өріс.[2] Деп көрсетілген осындай өрісті ескере отырып v және электрон саны, Nбірге анықтайтын а Гамильтониан Hv, және толқындық функцияның бастапқы шарты Ψ (т = т0) = Ψ0, толқындық функцияның эволюциясы Шредингер теңдеуі

Кез-келген уақытта N-электрондық толқындық функция, ол 3-ке байланыстыN кеңістіктік және N айналдыру үйлестіреді, анықтайды электронды тығыздық сияқты интеграциялау арқылы жүзеге асырылады

Қосымша уақытқа тәуелді, кеңістіктен тәуелсіз, функциясы бойынша ерекшеленетін екі сыртқы потенциал, в(т), тек а-мен ерекшеленетін толқындық функцияларды тудырады фазалық фактор exp (-Мен түсінемін(т)), демек, бірдей электронды тығыздық. Бұл құрылымдар сыртқы потенциалдан электронды тығыздыққа дейін бейнелеуді ұсынады:

Рунге - Гросс теоремасы бұл кескіннің өзгертілетін, модульді екенін көрсетеді в(т). Сонымен, тығыздық сыртқы потенциалдың функционалдығы және потенциалдар кеңістігіндегі алғашқы толқындық функция в(т):

Дәлел

Деп көрсетілген екі скалярлық потенциал берілген v(р,т) және v'(р,т), олар тек уақытқа тәуелді аддитивтіден көп ерекшеленеді, дәлелдеу Шредингер теңдеуін шешу нәтижесінде алынған екі скалярлық потенциалдың әрқайсысына сәйкес келетін тығыздықтың әр түрлі болатындығын көрсетеді.

Дәлел сыртқы потенциалды a кеңейтуге болады деген болжамға негізделеді Тейлор сериясы бастапқы уақыт туралы. Дәлелдеу сонымен қатар тығыздық шексіздікте жойылып, оны тек ақырғы жүйелер үшін жарамды етеді деп болжайды.

Рунге - жалпы дәлелдеу алдымен сыртқы потенциалдар мен ағымдағы тығыздықтар арасында жеке-жеке картаға түсірілгенін көрсетеді. Гейзенбергтің қозғалыс теңдеуі ағымдағы тығыздықтың уақыт туындыларын сыртқы әлеуеттің кеңістіктік туындыларына жатқызатындай етіп. Осы нәтижені ескере отырып, электронды тығыздықтың уақыт туындыларын сыртқы потенциалдың уақыт туындыларына жатқызу үшін екінші қадамда үздіксіздік теңдеуі қолданылады.

Екі потенциал аддитивті кеңістіктен тәуелсіз терминнен көп ерекшеленеді және Тейлор қатарында кеңейе түседі деген болжам бүтін санның бар екендігін білдіреді. к ≥ 0, осылай

кеңістікте тұрақты емес. Бұл шарт барлық дәлелдер кезінде қолданылады.

1-қадам

Бастап Гейзенбергтің қозғалыс теңдеуі, уақыт эволюциясы ағымдағы тығыздық, j(р,т), сыртқы әлеуеттің астында v(р,т) ол Гамильтонды анықтайды Hv, болып табылады

Екі әлеуетті таныстыру v және v', аддитивті кеңістіктік тұрақты мүшеден көп және олардың сәйкес ток тығыздығымен ерекшеленеді j және j', Гейзенберг теңдеуі көздейді

Соңғы сызық егер екі скалярлық потенциал бастапқы уақытта кеңістіктен тәуелсіз функциядан көп ерекшеленетін болса, онда потенциалдар тудыратын ағымдағы тығыздықтар кейін шексіз өзгеретінін көрсетеді. т0. Егер екі потенциал бір-бірінен ерекшеленбесе т0, бірақ сенк(р) -Ның кейбір мәні үшін ≠ 0 к, содан кейін Гейзенберг теңдеуін бірнеше рет қолдану оны көрсетеді

ағымдағы тығыздықты қамтамасыз еткеннен кейін нөлден шексіз ерекшеленеді т0.

2-қадам

Электрондық тығыздық пен ток тығыздығы а үздіксіздік теңдеуі форманың

Тығыздықтар айырымына үздіксіздік теңдеуін қайталап қолдану ρ және ρ'және ағымдағы тығыздық j және j', кірістілік

Егер оң жақ (RHS) мәні үшін нөлге тең болмаса, онда екі тығыздық әр түрлі болады к. RHS жоғалып кетпеуі а reductio ad absurdum дәлел. Біздің қалаған нәтижеге қарама-қайшы, деп

барлық кеңістікке интеграцияланып, Грин теоремасын қолданыңыз.

Екінші мүше - бұл шексіз сфера үстіндегі беттік интеграл. Тығыздық шексіздікте нөлге тең деп есептесек (ақырлы жүйелерде тығыздық экспоненциалды түрде нөлге дейін азаяды) және ∇сенк2(р) тығыздығы ыдырауға қарағанда баяу өседі,[4] беттік интеграл жоғалады және тығыздықтың негативті болмауына байланысты,

мұны меңзейді сенк тұрақты, бастапқы болжамға қайшы келетін және дәлелдеуді аяқтайтын.

Кеңейтімдер

Рунге-брутто-дәлелі скаляр өрісі болған кезде таза электронды күйлер үшін жарамды. RG теоремасының алғашқы кеңеюі уақытқа байланысты болды ансамбльдер жұмыспен қамтылған Лиувилл теңдеуі Гамильтондық туралы және тығыздық матрицасы.[5] Бөлшектердің бірнеше түрі толық кванттық теория шеңберінде өңделетін көп компонентті жүйелерге арналған RG теоремасының дәлелі 1986 жылы енгізілген.[6] Магниттік эффектілерді қосу а енгізуді талап етеді векторлық потенциал (A(р)) олар скалярлық потенциалмен бірге ток тығыздығын ерекше анықтайды.[7][8] Уақытқа тәуелді тығыздықтың функционалдық теориялары асқын өткізгіштік 1994 және 1995 жылдары енгізілген.[9][10] Мұнда скаляр, вектор және жұптастыру (Д.(т)) ағымдағы және арасындағы потенциалдар картасы аномальдыIP(р,т)) тығыздық.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Маркес, Мигель А.Л .; Эберхард К.У. Гросс (2003). Карлос Фиолхайс; Фернандо Ногуэйра; Мигель Маркес (ред.) Тығыздықтың функционалдық теориясындағы уақытқа тәуелді тығыздықтың функционалды теориясы. Спрингер. 144–151 бет. ISBN  978-3-540-03083-6.
  2. ^ а б Рунге, Эрих; Грек Гросс (1984). «Уақытқа тәуелді жүйелер үшін тығыздық-функционалды теория». Физ. Летт. 52 (12): 997–1000. Бибкод:1984PhRvL..52..997R. дои:10.1103 / PhysRevLett.52.997.
  3. ^ ISI Web of Knowledge сілтеме бойынша іздеу келтірілген, 7 қаңтар 2011 ж.
  4. ^ Дхара, Асиш Қ .; Swap K. Ghosh (1987). «Уақытқа тәуелді жүйелер үшін тығыздық-функционалдық теория». Физ. Аян. 35 (1): 442–444. Бибкод:1987PhRvA..35..442D. дои:10.1103 / PhysRevA.35.442. PMID  9897975.
  5. ^ Ли, Ти-Чен; Пэй-цин Тонг (1985). «Уақытқа тәуелді ансамбльдерге арналған Гохенберг-Кон теоремасы». Физ. Аян. 31 (3): 1950–1951. Бибкод:1985PhRvA..31.1950L. дои:10.1103 / PhysRevA.31.1950. PMID  9895712.
  6. ^ Ли, Ти-Чен; Пэй-цин Тонг (1986). «Көп компонентті жүйелер үшін уақытқа тәуелді тығыздық-функционалдық теория». Физ. Аян. 34 (1): 529–532. Бибкод:1986PhRvA..34..529L. дои:10.1103 / PhysRevA.34.529. PMID  9897279.
  7. ^ Гхош, Свапан К .; Асиш К.Дхара (1988). «Уақытқа тәуелді электр және магнит өрістеріне тәуелді көптеген электронды жүйелердің тығыздық-функционалдық теориясы». Физ. Аян. 38 (3): 1149–1158. Бибкод:1988PhRvA..38.1149G. дои:10.1103 / PhysRevA.38.1149. PMID  9900485.
  8. ^ Виньале, Джованни (2004). «Функционалды теорияның уақыт тығыздығына тәуелді ток тығыздығынан векторлық потенциалға салыстыру». Физ. Аян Б.. 70 (20): 201102. arXiv:cond-mat / 0407682. Бибкод:2004PhRvB..70t1102V. дои:10.1103 / PhysRevB.70.201102.
  9. ^ Ваккер, О.Дж .; Р.Кюммель; Грек Гросс (1994). «Өткізгіштер үшін уақытқа тәуелді тығыздық-функционалды теория». Физ. Летт. 73 (21): 2915–2918. Бибкод:1994PhRvL..73.2915W. дои:10.1103 / PhysRevLett.73.2915. PMID  10057228.
  10. ^ Раджагопал, А.К .; F. A. Buot (1995). «Өткізгіштерге арналған уақытқа тәуелді функционалдық теория». Физ. Аян Б.. 52 (9): 6769–6774. Бибкод:1995PhRvB..52.6769R. дои:10.1103 / PhysRevB.52.6769. PMID  9981905.