Тұрақты матроид - Regular matroid

Математикада а тұрақты матроид Бұл матроид болуы мүмкін ұсынылған бәрінен бұрын өрістер.

Анықтама

A матроид белгілі бір аксиомаларды қанағаттандыратын ақырлы жиынтықтың ішкі жиынтықтары деп анықталады. Отбасындағы жиынтықтар «тәуелсіз жиынтықтар» деп аталады. Матроидты тұрғызудың тәсілдерінің бірі - а-да ақырлы векторлар жиынын таңдау векторлық кеңістік, және векторлардың ішкі жиынын ол матроидта тәуелсіз болатындай етіп анықтайды сызықтық тәуелсіз векторлық кеңістікте. Осылайша құрылған жиындардың кез-келген жанұясы матроид болып табылады, бірақ кез-келген матроидты осылай құруға болмайды, ал векторлық кеңістіктер әр түрлі өрістер олардан құрастыруға болатын әртүрлі матроидтар жиынтығына әкеледі.

Матроид кез келген өріске арналған , векторлар жүйесі арқылы ұсынылуы мүмкін .[1][2]

Қасиеттері

Егер матроид тұрақты болса, онда ол да тұрақты қосарлы матроид,[1] және оның әрқайсысы солай кәмелетке толмағандар.[3] Тұрақты матроидтардың кез-келген тікелей қосындысы тұрақты болып қалады.[4]

Әрқайсысы графикалық матроид (және әрбір бірлескен графикалық матроид) тұрақты болып табылады.[5] Керісінше, кез-келген қалыпты матроид графикалық матроидтарды, координаттық матроидтарды және графикалық та емес, координаталық емес он элементті матроидты біріктіріп, матроидтарды біріктіретін операцияны қолдану арқылы құрылуы мүмкін. клик-сома графиктер бойынша жұмыс.[6]

Кәдімгі матроидтағы негіздердің саны келесідей есептелуі мүмкін анықтауыш жалпылай отырып, байланысты матрицаның Кирхгофтың матрицалық-теоремасы үшін графикалық матроидтер.[7]

Мінездемелер

The біркелкі матроид (төрт нүктелі жол) тұрақты емес: оны екі элементтің үстінен жүзеге асыру мүмкін емес ақырлы өріс GF (2), сондықтан ол а емес екілік матроид, бірақ бұл барлық басқа салаларда жүзеге асырылуы мүмкін. Матроид Фано ұшағы (үш нүктенің жетеуі тәуелді болатын үш дәрежелі матроид) және оның қосарлануы да тұрақты емес: олар GF (2) және барлық екі сипаттамалық өрістер бойынша жүзеге асырылуы мүмкін, бірақ басқа өрістерде емес анау. Қалай Тутте (1958) Бұл үш мысал тұрақты матроидтар теориясының негізі болып табылады: кез-келген тұрақты емес матроидта осы үшеудің кем дегенде біреуі кәмелетке толмаған. Сонымен, кәдімгі матроидтар - бұл тыйым салынған үш кәмелетке толмағанның біреуі жоқ матроидтар , Fano ұшағы немесе оның қосарланған.[8]

Егер матроид тұрақты болса, оны GF (2) және GF (3) екі өрісі бойынша жүзеге асыру қажет. Керісінше: бұл екі өрістің екеуінде де жүзеге асырылатын кез-келген матроид тұрақты болып табылады. Нәтиже осы өрістерде жүзеге асырылатын матроидтардың тыйым салынған кішігірім сипаттамасынан, кодталған нәтижелер тобының бөлігінен шығады. Рота туралы болжам.[9]

Кәдімгі матроидтар - бұл а-дан анықтауға болатын матроидтар толығымен модульсіз матрица, әрбір квадрат субматрицада 0, 1 немесе −1 детерминанты болатын матрица. Матрицаны іске асыратын векторлар матрицаның жолдары ретінде қабылдануы мүмкін. Осы себепті кейде әдеттегі матроидтар деп те аталады біркелкі емес матроидтер.[10] Кәдімгі матроидтар мен модульді емес матрицалардың эквиваленттілігі және оларды тыйым салынған кәмелетке толмағандардың сипаттамасы терең нәтижелер болып табылады Тутте, бастапқыда ол көмегімен дәлелдеді Тутте гомотопия теоремасы.[8] Джерардс (1989) кейінірек тыйым салынған кәмелетке толмағандардың модульді емес матрицаларын сипаттаудың баламалы және қарапайым дәлелдемесін жариялады.[11]

Алгоритмдер

Бар көпмүшелік уақыт матроидқа anroid арқылы кіруге мүмкіндік беретін тұрақты ма екендігінің тестілеу алгоритмі тәуелсіздік Oracle.[12]

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ а б Фуджишиге, Сатору (2005), Модульдік функциялар және оңтайландыру, Дискретті математиканың анналдары, Elsevier, б. 24, ISBN  9780444520869.
  2. ^ Оксли, Джеймс Г. (2006), Матроид теориясы, Оксфордтың математика бойынша магистратура мәтіндері, 3, Oxford University Press, б. 209, ISBN  9780199202508.
  3. ^ Оксли (2006), б. 112.
  4. ^ Оксли (2006), б. 131.
  5. ^ Tutte, W. T. (1965), «Матроидтар туралы дәрістер», Ұлттық стандарттар бюросының зерттеу журналы, 69В: 1–47, дои:10.6028 / jres.069b.001, МЫРЗА  0179781.
  6. ^ Сеймур, П. Д. (1980), «Тұрақты матроидтардың ыдырауы», Комбинаторлық теория журналы, B сериясы, 28 (3): 305–359, дои:10.1016/0095-8956(80)90075-1, hdl:10338.dmlcz / 101946, МЫРЗА  0579077.
  7. ^ Маурер, Стивен Б. (1976), «Ағаштардағы циклдар мен циклдардағы кейбір теоремалардың матрицалық жалпыламалары», Қолданбалы математика бойынша SIAM журналы, 30 (1): 143–148, дои:10.1137/0130017, МЫРЗА  0392635.
  8. ^ а б Тутте, В. Т. (1958), «матроидтарға арналған гомотопиялық теорема. I, II», Американдық математикалық қоғамның операциялары, 88 (1): 144–174, дои:10.2307/1993244, JSTOR  1993244, МЫРЗА  0101526.
  9. ^ Сеймур, П. Д. (1979), «GF-тегі матроидтық ұсыныс (3)», Комбинаторлық теория журналы, B сериясы, 26 (2): 159–173, дои:10.1016/0095-8956(79)90055-8, МЫРЗА  0532586.
  10. ^ Оксли (2006), б. 20.
  11. ^ Джерардс, A. M. H. (1989), «Тутте мүлдем модульсіз матрицаларды сипаттаудың қысқаша дәлелі», Сызықтық алгебра және оның қолданылуы, 114/115: 207–212, дои:10.1016/0024-3795(89)90461-8.
  12. ^ Truemper, K. (1982), «матроидтар үшін репрезентативтілік тесттерінің тиімділігі туралы», Еуропалық Комбинаторика журналы, 3 (3): 275–291, дои:10.1016 / s0195-6698 (82) 80039-5, МЫРЗА  0679212.