Ранкин-Сельберг әдісі - Rankin–Selberg method

Жылы математика, Ранкин-Сельберг әдісі, енгізген (Ранкин  1939 ) және Селберг  (1940 ), интегралды бейнелеу теориясы деп те аталады L-функциялар, - тікелей салу әдістемесі және аналитикалық жалғасуда бірнеше маңызды мысалдар автоморфты L-функциялар. Кейбір авторлар бұл терминді интегралды бейнелеудің ерекше түріне сақтайды, атап айтқанда Эйзенштейн сериясы. Бұл зерттеудің ең күшті әдістерінің бірі болды Langlands бағдарламасы.

Тарих

Теория белгілі бір мағынада басталады Бернхард Риман, кім салған дзета функциясы ретінде Меллин түрленуі туралы Якобидің тета функциясы. Риман қолданды асимптотика туралы тета функциясы аналитикалық жалғасын алу үшін және автоморфия дәлелдеу үшін тета функциясы функционалдық теңдеу. Эрих Хеке, және кейінірек Ганс Маас, сол Меллин түрлендіру әдісін қолданды модульдік формалар үстінде жоғарғы жарты жазықтық, содан кейін Риманның мысалын ерекше жағдай ретінде қарастыруға болады.

Роберт Александр Ранкин және Atle Selberg өздігінен құрастырылған конволюция L-функциялар, енді Лангленд деп ойладым L-ге байланысты функция тензор өнімі туралы стандартты ұсыну туралы GL (2) өзімен бірге. Риман сияқты, олар модульдік формалардың интегралын қолданды, бірақ басқаша түрін қолданды: олар екі салмақты өнімді біріктірді к модульдік формалар f, ж а нақты аналитикалық Эйзенштейн сериясы E(τ,с) негізгі домен бойынша Д. модульдік топтың SL2(З) жоғарғы жарты жазықтықта әрекет етеді

.

Екі форманың бірі болса интеграл абсолютті жинақталады кистальды; әйтпесе a алу үшін асимптотиканы қолдану керек мероморфты Риман сияқты жалғасы. Аналитикалық жалғасу және функционалдық теңдеу Эйзенштейн қатарына дейін қайнайды. Интеграл L-функциясының конволюциясымен «ашылу» деп аталатын әдіспен анықталды, онда Эйзенштейн қатарының анықтамасы және интеграция ауқымы қарапайым өрнекке айналады, ол оңай көрінетін Lа функциясы Дирихле сериясы. Аналитикалық қасиеттерді басқарудың жаһандық бақылауымен қатар өрбітудің бір уақытта үйлесуі ерекше және техниканы сәтті ететін нәрсе.

Қазіргі заманғы аделикалық теория

Эрве Жакет және Роберт Лангландс кейін берді аделик және тензор өнімі үшін интегралды көріністер L- бұрын Риман, Хек, Маас, Ранкин және Сельберг алған функциялар. Олар өте толық теория берді, өйткені олар барлық жергілікті факторлардың формулаларын түсіндіріп, функционалды теңдеуді нақты түрде тұжырымдады және өткір аналитикалық жалғасулар берді.

Жалпылау және шектеулер

Қазіргі кезде үлкен автоморфтық шоқжұлдыз үшін интегралды көріністер бар L-функциялар, алайда екі ренішті ескерту бар. Біріншісі - қайсысы екендігі мүлдем анық емес L-функциялардың интегралды көріністері болуы мүмкін немесе оларды қалай табуға болады; бұл әдіс сарқылуға жақын деп қорқады, дегенмен ақылды дәлелдер арқылы бірнеше рет жаңа мысалдар табылды. Екіншісі - жалпы интегралды есептеу кезеңінен кейін есептеу қиын немесе мүмкін емес. Демек, интегралдар қажетті аналитикалық қасиеттерге ие болуы мүмкін, тек олар анды білдірмеуі мүмкін L-функция (бірақ оның орнына оған жақын нәрсе).

Осылайша, үшін интегралды көрінісі бар L-функция оның аналитикалық қасиеттерінің шешілгендігін білдірмейді: елеулі аналитикалық мәселелер қалуы мүмкін. Бұл, ең болмағанда, қамтамасыз етеді L-функция автоморфтық формалардың интегралына формальды манипуляциялар жасау арқылы алгебралық құрылымға ие және шектеулі орындар санынан басқа, ол болжамды Эйлер өнімі белгілі бір L-функция. Көптеген жағдайларда Лангланд - Шахиди әдісі бірін-бірі толықтыратын ақпарат береді.

Көрнекті мысалдар

  • Стандартты L-функциясы GL-де (n) (ҚұдайЖакет ). Теория түпнұсқа қолжазбада толығымен шешілді.
  • Классикалық топтар бойынша стандартты L-функция (Пиатецки-Шапиро -Раллис ). Бұл құрылыс екі еселенген әдіс ретінде белгілі болды және жалпы емес көріністер үшін де жұмыс істейді.
  • Тензор өнімі L- GL-дегі функция (n) × GL (м) (стандартты қамтиды) L-функция, егер м = 1), Джакеттің арқасында, Пиатецки-Шапиро және Шалика. Теория толығымен шешілді МоеглинВальдспургер, және «кері теореманы» құру үшін кері құрастырылған.
  • GL бойынша симметриялық квадрат (n) байланысты Шимура, және Гельбарт - Джакет (n = 2), Пиатецки-Шапиро және Паттерсон (n = 3), және Соққы –Гинзбург (n > 3).
  • Сыртқы алаң GL-де (n), Жакет-Шалика және Бамп-Гинзбургке байланысты.
  • GL (2) × GL (2) × GL (2) бойынша үштік өнім (Гаррет, сонымен қатар Харрис, Икеда, Пиатецки-Шапиро, Раллис, Рамакришнан және Орлоф).
  • GL (2) бойынша симметриялық куб (Бамп-Гинзбург-Гоффштейн).
  • GL (2) бойынша симметриялық төртінші қуат (Гинзбург-Раллис).
  • Э-нің стандартты L-функциясы6 және Е7 (Гинзбург).
  • G-тің стандартты L-функциясы2 (Гинзбург-Хандли, Гуревич-Сегал).

Әдебиеттер тізімі

  • Бамп, Даниэль (1989), «Ранкин-Сельберг әдісі: сауалнама», Сандар теориясы, формулалар және дискретті топтар (Осло, 1987), Бостон, MA: Академиялық баспасөз, 49-109 б., МЫРЗА  0993311
  • Bump, Daniel (2005), «Ранкин-Сельберг әдісі: кіріспе және сауалнама», Когделлде, Джеймс В.; Цзян, Дихуа; Кудла, Стивен С .; Судри, Дэвид; Стэнтон, Роберт (ред.), Автоморфтық көріністер, L-функциялары және қолданбалары: прогресс және болашағы, Огайо штатының университеті. Математика. Res. Инст. Жариялау., 11, Берлин: де Грюйтер, 41–73 бет, ISBN  978-3-11-017939-2, МЫРЗА  2192819
  • Ранкин, Роберт А. (1939), «Раманужанның the (n) функциясы және осыған ұқсас арифметикалық функциялар теориясына қосқан үлестер. I. function функциясының нөлдеріn = 1τ (n) / nс R s = 13/2 түзуінде. II. Интегралды модульдік формалардың Фурье коэффициенттерінің реті », Proc. Кембридж философиясы. Soc., 35: 351–372, дои:10.1017 / S0305004100021095, МЫРЗА  0000411
  • Selberg, Atle (1940), «Bemerkungen über eine Dirichletsche Reihe, die mit der Theorie der Modulformen nahe verbunden ist», Арка. Математика. Натурвид., 43: 47–50, МЫРЗА  0002626