Квасирегулярлы полиэдр - Quasiregular polyhedron

Quasiregular фигуралары Тік бұрышты үшбұрыштың домендері (p q 2), = r {p, q} р {4,3} р {5,3} р {6,3} р {7,3}... r {∞, 3} (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.∞)2 Үшбұрыштың тең қабырғалары (3-бет), = = сағ {6, с} сағ {6,4} сағ {6,5} сағ {6,6} сағ {6,7} ... сағ {6, ∞} = = = = = (4.3)4 (5.3)5 (6.3)6 (7.3)7 (∞.3)∞ Үшбұрыштың тең қабырғалары (4-бет), = = h {8, p} сағ {8,3} сағ {8,5} сағ {8,6} сағ {8,7} ... сағ {8, ∞} = = = = = (4.3)3 (4.5)5 (4.6)6 (4.7)7 (4.∞)∞ Scalene үшбұрышының домені (5 4 3), (3.5)4 (4.5)3 (3.4)5 A квазирегулярлы полиэдр немесе плитка төсеу әр шыңда айналып тұратын тұрақты екі түрге ие. Олардың төбелік фигуралар болып табылады изогональды көпбұрыштар.

Тұрақты және квазирегулярлы фигуралар Тік бұрышты үшбұрыштың домендері (2-бет), = = r {p, p} = {p, 4}​1⁄2 {3,4}​1⁄2 р {3,3} {4,4}​1⁄2 р {4,4} {5,4}​1⁄2 р {5,5} {6,4}​1⁄2 р {6,6} ... {∞,4}​1⁄2 r {∞, ∞} = = = = = (3.3)2 (4.4)2 (5.5)2 (6.6)2 (∞.∞)2 Үшбұрыштың тең қабырғалары (б 3-бет), = = {б, 6}​1⁄2 {3,6}​1⁄2 {4,6}​1⁄2 {5,6}​1⁄2 {6,6}​1⁄2... {∞,6}​1⁄2 = = = = = (3.3)3 (4.4)3 (5.5)3 (6.6)3 (∞.∞)3 Үшбұрыштың тең қабырғалары (б 4-бет), = = {б, 8}​1⁄2 {3,8}​1⁄2 {4,8}​1⁄2 {5,8}​1⁄2 {6,8}​1⁄2... {∞,8}​1⁄2 = = = = = (3.3)4 (4.4)4 (5.5)4 (6.6)4 (∞.∞)4 A тұрақты полиэдр немесе плитка төсеу квазирегулярлы деп санауға болады, егер оның әр төбе айналасында жұп саны болса (және осылайша кезек-кезек боялған болуы мүмкін).

Жылы геометрия, а квазирегулярлы полиэдр Бұл біркелкі полиэдр оның екі түрі бар тұрақты беттер, олардың әрқайсысы айналады шың. Олар шың-өтпелі және шеткі-өтпелі, демек, бір қадам тұрақты полиэдра қарағанда жартылай тәрізді, олар тек шың-өтпелі болып табылады.

Олардың қос фигуралар болып табылады бет-транзитивті және шеткі-өтпелі; олардың тұрақты екі түрі бар төбелік фигуралар, олардың әрқайсысы айналады бет. Олар кейде квазирегулярлы болып саналады.

Тек екеуі бар дөңес квазирегулярлы полиэдра: кубоктаэдр және икозидодекаэдр. Олардың берген аттары Кеплер, олардың бет-әлпеттері (басқаша бұрылған) екенін мойындаудан туындайды қосарланған -жұп текше және октаэдр, бірінші жағдайда және қос жұп икосаэдр және додекаэдр, екінші жағдайда.

Бұл формалар тұрақты фигураның жұбын және оның қосарлануын бейнелеуге болады Schläfli таңбасы ${displaystyle {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$ немесе r {p, q}, олардың беттері тұрақты екеуінің де жүздері (басқаша бұрылған) екенін білдіру үшін {p, q} және қосарлы тұрақты {q, p}. Осы белгісі бар квазирегулярлы полиэдрдің а болады шыңның конфигурациясы p.q.p.q (немесе (p.q)²).

Жалпы квазирегулярлы фигураның а болуы мүмкін шыңның конфигурациясы (p.q)^р, бейнелеу р (2 немесе одан да көп) шыңның айналасындағы беттер тізбегі.

Плиткалар ұшақтың квазирегулярлы болуы мүмкін, атап айтқанда үшбұрышты плитка, шың конфигурациясымен (3.6)². Басқа квазирегулярлы плиткалар сияқты гиперболалық жазықтықта болады үшбұрышты плитка, (3.7)². Немесе жалпы: (p.q)², бірге 1 / p + 1 / q <1/2.

Әр төбеде беттерінің жұп саны бар кәдімгі полиэдралар мен плиткаларды квазирегулярлы деп бір ретті беттерді бір-бірінен ажыратып, оларды кезек-кезек бояу сияқты әр түрлі етіп ұсыну арқылы қарастыруға болады (беттің бағдарын анықтамай). Кәдімгі фигура Schläfli таңбасы {p, q} шексіз конфигурациясы бар квазирегулярлы деп санауға болады (бет)^{q / 2}, егер q тең.

Мысалдар:

Тұрақты октаэдр, Schläfli таңбасы {3,4} және 4-ті тең болғанда, квазирегулярлы деп санауға болады тетратетраэдр (-Ның 4 үшбұрышының 2 жиынтығы тетраэдр ), шың конфигурациясымен (3.3)^4/2 = (3_а.3_б)², үшбұрышты беттердің екі түсін кезектестіру.

The шаршы плитка, шың конфигурациясымен 4⁴ және 4 біркелкі болса, шексіз конфигурациясы бар квазирегулярлы деп санауға болады (4.4)^4/2 = (4_а.4_б)², а түрінде боялған шахмат тақтасы.

The үшбұрышты плитка, шың конфигурациясымен 3⁶ және 6 біркелкі болса, шексіз конфигурациясы бар квазирегулярлы деп санауға болады (3.3)^6/2 = (3_а.3_б)³, үшбұрышты беттердің екі түсін кезектестіру.

Wythoff құрылысы

Тұрақты (p | 2 q) және квазирегулярлы полиэдралар (2 | p q) а-дан жасалған Wythoff құрылысы негізгі доменнің үш бұрышының бірінде генератор нүктесімен. Бұл іргелі доменнің бір шетін анықтайды.

Quasiregular polyhedra фундаментальды доменнің барлық үш бұрышынан жасалады Шварц үшбұрыштары тік бұрыштары жоқ:
q | 2 б, p | 2 q, 2 | p q

Коксетер анықтайды а квазирегулярлы полиэдр а бар біреу ретінде Wythoff белгісі түрінде p | q r, және егер q = 2 немесе q = r болса, бұл тұрақты.^[1]

The Коксетер-Динкин диаграммасы бұл екі тұрақты формалардың арасындағы квазирегулярлық қатынасты көрсететін тағы бір символдық көрініс:

Schläfli таңбасы		Коксетер диаграммасы	Wythoff белгісі
${displaystyle {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$	{p, q}		q | 2 б
${displaystyle {egin {Bmatrix} q, pend {Bmatrix}}}$	{q, p}		p | 2 q
${displaystyle {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$	r {p, q}	немесе	2 | p q

Дөңес квазирегулярлы полиэдра

Екі форма бар дөңес квазирегулярлы полиэдра:

1. The кубоктаэдр ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 4end {Bmatrix}}}$, шыңның конфигурациясы (3.4)², Коксетер-Динкин диаграммасы
2. The икозидодекаэдр ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 5end {Bmatrix}}}$, шыңның конфигурациясы (3.5)², Коксетер-Динкин диаграммасы

Сонымен қатар, октаэдр, бұл да тұрақты, ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 3end {Bmatrix}}}$, шыңның конфигурациясы (3.3)², егер ауыспалы беттерге әр түрлі түстер берілсе, квазирегулярлы деп санауға болады. Бұл формада оны кейде деп атайды тетратетраэдр. Қалған дөңес тұрақты полиэдралардың әр шыңында тақ саны бар, сондықтан оларды шеткі транзитивтілікті сақтайтындай етіп бояуға болмайды. Онда бар Коксетер-Динкин диаграммасы

Бұлардың әрқайсысы а-ның ортақ өзегін құрайды қосарланған жұп тұрақты полиэдра. Бұлардың екеуінің атаулары байланысты қосарланған жұпқа түсінік береді: сәйкесінше текше ${displaystyle cap}$ октаэдр, және икосаэдр ${displaystyle cap}$ додекаэдр. The октаэдр қос жұбының жалпы өзегі болып табылады тетраэдра (деп аталатын қосылыс стелла сегізкөзі ); осылайша алынған кезде октаэдр кейде деп аталады тетратетраэдр, сияқты тетраэдр ${displaystyle cap}$ тетраэдр.

Тұрақты	Қосарлы тұрақты	Quasiregular жалпы ядросы	Шың фигурасы
Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетратетраэдр р {3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Текше {4,3} 3 | 2 4	Октаэдр {3,4} 4 | 2 3	Кубоктаэдр р {3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Додекаэдр {5,3} 3 | 2 5	Икозаэдр {3,5} 5 | 2 3	Икозидодекаэдр р {3,5} 2 | 3 5	3.5.3.5

Осы квазирегулярлы полиэдраның әрқайсысын a құра алады түзету кез-келген ата-анаға операция жасау, қысқарту әр түпнұсқа шеті ортаңғы нүктесіне дейін азайғанша, шыңдар толығымен.

Квазирегулярлы плиткалар

Бұл реттілік жалғасуда үшбұрышты плитка, төбелік фигура (3.6)² - а квазирегулярлы плитка негізінде үшбұрышты плитка және алты бұрышты плитка.

Тұрақты	Қосарлы тұрақты	Quasiregular комбинациясы	Шың фигурасы
Алты бұрышты плитка {6,3} 6 | 2 3	Үшбұрышты плитка {3,6} 3 | 2 6	Үшбұрышты плитка р {6,3} 2 | 3 6	(3.6)2

The шахмат тақтасы өрнек - бұл квазирегулярлы бояу шаршы плитка, төбелік фигура (4.4)²:

Тұрақты	Қосарлы тұрақты	Quasiregular комбинациясы	Шың фигурасы
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	р {4,4} 2 | 4 4	(4.4)2

The үшбұрышты плитка сонымен қатар квазирегулярлы деп санауға болады, әр шыңында үш ауыспалы үшбұрыш бар, (3.3)³:

сағ {6,3} 3 | 3 3 =

Гиперболалық жазықтықта бұл реттілік одан әрі жалғасады, мысалы үшбұрышты плитка, төбелік фигура (3.7)² - а квазирегулярлы плитка негізінде тапсырыс-7 үшбұрышты плитка және алтыбұрышты плитка.

Тұрақты	Қосарлы тұрақты	Quasiregular комбинациясы	Шың фигурасы
Гептагональды плитка {7,3} 7 | 2 3	Үшбұрышты плитка {3,7} 3 | 2 7	Үшбұрышты плитка р {3,7} 2 | 3 7	(3.7)2

Дөңес емес мысалдар

Коксетер, H.S.M. т.б. (1954) белгілі бір нәрсені жіктейді жұлдызды полиэдра, квазирегулярлы сияқты сипаттамаларға ие.

Екеуі тұрақты екі жұпқа негізделген Кеплер – Пуинсот қатты денелері, дөңес мысалдар сияқты:

The керемет икозидодекаэдр ${displaystyle {egin {Bmatrix} 3 5 / 2end {Bmatrix}}}$, және dodecadodecahedron ${displaystyle {egin {Bmatrix} 5 5 / 2end {Bmatrix}}}$:

Тұрақты	Қосарлы тұрақты	Quasiregular жалпы ядросы	Шың фигурасы
Үлкен жұлдызды додекаэдр {5/2,3} 3 | 2 5/2	Керемет икосаэдр {3,5/2} 5/2 | 2 3	Керемет икозидодекаэдр r {3,5/2} 2 | 3 5/2	3.5/2.3.5/2
Кішкентай жұлдызшалы додекаэдр {5/2,5} 5 | 2 5/2	Тамаша декодекаэдр {5,5/2} 5/2 | 2 5	Dodecadodecahedron r {5,5/2} 2 | 5 5/2	5.5/2.5.5/2

Тағы тоғызы hemipolyhedra, олар қырлы жоғарыда аталған квазирегулярлы полиэдраның тұрақты полиэдраны түзетуден алынған формалары. Оларға полиэдраның центрі арқылы өтетін экваторлық беттер жатады:

Quasiregular (түзетілген)	Тетратетраэдр	Кубоктаэдр	Икозидодекаэдр	Керемет икозидодекаэдр	Dodecadodecahedron
Quasiregular (hemipolyhedra)	Тетрагемигексахедр 3/2 3 | 2	Октахемиоктаэдр 3/2 3 | 3	Шағын икохиемидодекаэдр 3/2 3 | 5	Керемет икохиемидодекаэдр 3/2 3 | 5/3	Кішкентай додекахемикосаэдр 5/3 5/2 | 3
Шың фигурасы	3.4.3/2.4	3.6.3/2.6	3.10.3/2.10	3.10/3.3/2.10/3	5/2.6.5/3.6
Quasiregular (hemipolyhedra)		Кубогемиоктаэдр 4/3 4 | 3	Шағын додекахемидодекаэдр 5/4 5 | 5	Үлкен додекахемидодекаэдр 5/3 5/2 | 5/3	Үлкен додекахемикосаэдр 5/4 5 | 3
Шың фигурасы		4.6.4/3.6	5.10.5/4.10	5/2.10/3.5/3.10/3	5.6.5/4.6

Соңында үшеу бар дитригоналды формалары, шыңында екі бет түрінің үш ауысуы бар тұрақты додекаэдрдің барлық қырлары:

Кескін	Факс нысаны Wythoff белгісі Коксетер диаграммасы	Шың фигурасы
	Дитригональды декодекаэдр 3 | 5/3 5 немесе	(5.5/3)3
	Шағын дитригонды икозидодекаэдр 3 | 5/2 3 немесе	(3.5/2)3
	Керемет дитригонды икозидодекаэдр 3/2 | 3 5 немесе	((3.5)3)/2

Евклидтік жазықтықта гемиполедраның тізбегі келесі төрт жұлдызды қабаттасумен жалғасады, мұнда апейрогондар жоғарыда аталған экваторлық көпбұрыштар ретінде көрінеді:

Түпнұсқа түзетілді плитка төсеу	Жиек диаграмма	Қатты	Шың Конфигурация	Уайтхоф	Симметрия тобы
Алаң плитка төсеу			4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 | ∞	p4m
Үшбұрыш плитка төсеу			(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 | 3 ∞	p6м
Үшбұрышты плитка төсеу			6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 | ∞
			∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 | ∞

Квасирегуляр дуалдар

Кейбір органдар квазирегулярлы денелердің дуалдары бірдей симметрияларға ие болғандықтан, бұл дуалдарды квазирегуляр деп те атаған жөн деп санайды. Бірақ бұл терминологияны бәрі бірдей қолдана бермейді. Бұл дуалдар өздерінің шеттерінде және беттерінде өтпелі (бірақ олардың шыңдарында емес); олар шеткі-өтпелі Каталондық қатты заттар. Дөңес жоғарыдағыдай тәртіпте орналасқан:

1. The ромбикалық додекаэдр, екеуімен түрлері ауыспалы шыңдар, сегізі үш ромбты бетімен, ал 6-ы төрт ромбты бетімен.
2. The ромбты триаконтаэдр, екеуімен түрлері ауыспалы шыңдар, үшеуі үш ромбты бетімен, ал 12-сі бес ромбты бетімен.

Сонымен қатар, октаэдрмен қосарлану арқылы текше, бұл әдетте тұрақты, егер ауыспалы шыңдарға әр түрлі түстер берілсе, квазирегулярлы етіп жасауға болады.

Олардың бет конфигурациясы V3.n.3.n, және түрінде болады Коксетер-Динкин диаграммасы

Текше V (3.3)2	Ромбтық додекаэдр V (3.4)2	Ромбтық триаконтаэдр V (3,5)2	Ромбилді плитка V (3.6)2	V (3.7)2	V (3.8)2

Осы үш квазирегуляр дуалға ие болу тән ромбикалық жүздер.

Ромбик тәрізді бұл өрнек V (3.6) түрінде жалғасады², ромбилді плитка.

Квазирегулярлы политоптар мен ұялар

Жоғары өлшемдерде Коксетер квазирегулярлы политопты немесе ұяны тұрақты қырлары мен квазирегулярлы шыңдарының фигураларына ие болу үшін анықтады. Бұдан шығатыны, барлық төбе фигуралары бір-біріне сәйкес келеді және бір-бірімен ауысып тұратын екі түрлі қыры болады.^[2]

Евклидтік 4 кеңістіктегі тұрақты 16-ұяшық кезектесіп квазирегулярлы болып көрінуі мүмкін тессеракт, сағ {4,3,3}, Coxeter диаграммалары: = , ауыспалы тетраэдр және тетраэдр жасушалар. Оның төбелік фигура квазирегуляр болып табылады тетратетраэдр (тетраэдрлік симметриялы октаэдр), .

Евклидтік 3 кеңістігіндегі жалғыз квазирегулярлы ұя - бұл ауыспалы куб ұясы, h {4,3,4}, Коксетер диаграммалары: = , ауыспалы тетраэдрлік және сегіздік жасушалар. Оның шыңы квазирегулярлы кубоктаэдр, .^[2]

Гиперболалық 3 кеңістіктегі бір квазирегулярлы ұя - бұл ауыспалы тапсырыс - 5 текше ұя, h {4,3,5}, Коксетер диаграммалары: = , ауыспалы тетраэдрлік және ikosahedral жасушалар. Оның шыңы квазирегулярлы икозидодекаэдр, . Байланысты паракомпакт ауыспалы тапсырыс-6 текше бал арасы, h {4,3,6} -де кезектесетін тетраэдрлік және алтыбұрышты плиткалар, шыңдары фигурасы квазирегулярға ие. үшбұрышты плитка, .

Квазирегулярлы полихора мен ұяшықтар: h {4, p, q}
Ғарыш	Ақырлы	Аффин	Ықшам	Паракомпакт
Шлафли таңба	сағ {4,3,3}	сағ {4,3,4}	сағ {4,3,5}	сағ {4,3,6}	сағ {4,4,3}	сағ {4,4,4}
	${displaystyle солға {3, {3 жоғарғы 3)ight}}$	${displaystyle солға {3, {4 жоғарыдан 3}ight}}$	${displaystyle солға {3, {5 жоғары 3}ight}}$	${displaystyle солға {3, {6 жоғарыдан 3}ight}}$	${displaystyle солға {4, {4 жоғарыдан 3}ight}}$	${displaystyle солға {4, {4 жоғарыдан 4}ight}}$
Коксетер диаграмма	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Кескін
Шың сурет r {p, 3}

{P, 3,4} немесе түріндегі тұрақты полихора немесе ұяшықтар олардың симметриясын екіге бөлуге болады квазирегулярлы формада , кезектесіп боялған {p, 3} ұяшықтар құру. Бұл жағдайларға Евклид жатады текше ұя {4,3,4} текше жасушалар, және ықшам гиперболалық {5,3,4} с он екі қабатты жасушалар және паракомпакт {6,3,4} шексіз алты бұрышты плитка жасушалар. Олардың әр шетінде екі түсте кезектесіп орналасқан төрт ұяшық бар. Олардың төбелік фигуралар quasiregular tetratetrahedra, = .

Жалпы шың фигурасы - квазирегулярлы тетратетраэдр, , әдеттегідей октаэдр

Кәдімгі және квазирегулярлы ұялар: {p, 3,4} және {p, 31,1}
Ғарыш	Евклидтік 4 кеңістік	Евклидтік 3 кеңістік	Гиперболалық 3 кеңістік
Аты-жөні	{3,3,4} {3,31,1} = ${displaystyle солға {3, {3 жоғарғы 3)ight}}$	{4,3,4} {4,31,1} = ${displaystyle солға {4, {3 3-тен жоғары)ight}}$	{5,3,4} {5,31,1} = ${displaystyle солға {5, {3 жоғарғы 3)ight}}$	{6,3,4} {6,31,1} = ${displaystyle солға {6, {3 жоғарғы 3)ight}}$
Коксетер диаграмма	=	=	=	=
Кескін
Ұяшықтар {б, 3}

{P, 3,6} немесе тәрізді тұрақты гиперболалық ұяшықтар олардың симметриясын екіге бөлуге болады квазирегулярлы формада , кезектесіп боялған {p, 3} ұяшықтар құру. Олардың әр шетінде алты түсті, екі түсте кезектесіп орналасқан. Олардың төбелік фигуралар квазирегулярлы үшбұрышты плиткалар, .

Жалпы төбелік фигура квазирегулярлы болып табылады үшбұрышты плитка, =

Гиперболалық біркелкі ұяшықтар: {б, 3,6} және {б, 3^[3]}

[

• v
• т
• e

]

Форма	Паракомпакт				Компакт емес
Аты-жөні	{3,3,6} {3,3[3]}	{4,3,6} {4,3[3]}	{5,3,6} {5,3[3]}	{6,3,6} {6,3[3]}	{7,3,6} {7,3[3]}	{8,3,6} {8,3[3]}	... {∞,3,6} {∞,3[3]}
Кескін
Ұяшықтар	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Сондай-ақ қараңыз

• Chiral политопы
• Ректификация (геометрия)

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Кромвелл, П. Полиэдр, Кембридж университетінің баспасы (1977).
• Коксетер, Тұрақты политоптар, (3-басылым, 1973), Довер басылымы, ISBN  0-486-61480-8, 2.3 Квази-тұрақты полиэдра. (17-бет), квази тұрақты ұялар 69-бет

Сыртқы сілтемелер

• Вайсштейн, Эрик В. «Квазирегулярлы полиэдр». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Бірыңғай полиэдр». MathWorld. Квази-тұрақты полиэдра: (pq)^р
• Джордж Харт, Квазирегулярлы полиэдра