Q-Гаусс процесі - Q-Gaussian process

q-Гаусс процестері әдеттегі деформациялар болып табылады Гаусс таралуы. Мұның бірнеше түрлі нұсқалары бар; Мұнда біз q-гаусс процесі деп аталатын көп айнымалы деформацияны қарастырамыз еркін ықтималдықтар теориясы және деформацияларына сәйкес келеді канондық коммутациялық қатынастар. Гаусс үлестірулерінің басқа деформацияларын қараңыз q-гаусс таралуы және Гаусс q-таралуы.

Тарих

Q-Gaussian процесін Фриш пен Буррет қағазға ресми түрде енгізді^[1] атымен парастохастика, содан кейін Гринберг^[2] мысал ретінде шексіз статистика. Оны Бозейко мен Шпейхер тұсқағаздарда математикалық жолмен зерттеп, зерттеді^[3] және Бозейко, Кюммерер және Speicher^[4] коммутативті емес ықтималдылық контекстінде.

Ол q-деформацияланған жағдайдағы құру және жою операторларының қосындыларының үлестірімі ретінде берілген Фок кеңістігі. Сол операторлардың моменттерін есептеу а-деформацияланған а нұсқасымен берілген Филдің формуласы немесе Isserlis формуласы. Гильберт кеңістігіндегі ерекше ковариацияның сипаттамасы келесіге әкеледі q-броундық қозғалыс ^[4], классиканың коммутативті емес ерекше нұсқасы Броундық қозғалыс.

q-бос кеңістік

Келесіде ${ displaystyle q in [-1,1]}$ Гильберт кеңістігін қарастырыңыз ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Алгебралық толық фок кеңістігінде

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { text {alg}} ({ mathcal {H}}) = bigoplus _ {n geq 0} { mathcal {H}} ^ { otimes n} ,}$

қайда ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {0} = mathbb {C} Omega}$ қалыпты бір вектормен ${ displaystyle Omega}$, деп аталады вакуум, q-деформацияланған ішкі өнімді келесідей анықтаймыз:

${ displaystyle langle h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n}, g_ {1} otimes cdots otimes g_ {m} rangle _ {q} = delta _ {nm} sum _ { sigma in S_ {n}} prod _ {r = 1} ^ {n} langle h_ {r}, g _ { sigma (r)} rangle q ^ {i ( sigma)},}$

қайда ${ displaystyle i ( sigma) = # {(k, ell) mid 1 leq k < ell leq n; sigma (k)> sigma ( ell) }}$ - инверсияларының саны ${ displaystyle sigma in S_ {n}}$.

The q-бос кеңістік^[5] содан кейін осы ішкі өнімге қатысты алгебралық толық Фок кеңістігінің аяқталуы ретінде анықталады

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {q} ({ mathcal {H}}) = { overline { bigoplus _ {n geq 0} { mathcal {H}} ^ { otimes n} }} ^ { langle cdot, cdot rangle _ {q}}.}$

Үшін ${ displaystyle -1$ q-ішкі өнім қатаң позитивті.^{[3] [6]} Үшін ${ displaystyle q = 1}$ және ${ displaystyle q = -1}$ ол оң, бірақ ядросы бар, ол сәйкесінше симметриялы және анти-симметриялы Фок кеңістіктеріне алып келеді.

Үшін ${ displaystyle h in { mathcal {H}}}$ біз анықтаймыз q-құру операторы ${ displaystyle a ^ {*} (h)}$, берілген

${ displaystyle a ^ {*} (h) Omega = h, qquad a ^ {*} (h) h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n} = h otimes h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n}.}$

Оның ассоциациясы (q-ішкі өнімге қатысты), q-жою операторы ${ displaystyle a (h)}$, арқылы беріледі

${ displaystyle a (h) Omega = 0, qquad a (h) h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n} = sum _ {r = 1} ^ {n} q ^ {r- 1} langle h, h_ {r} rangle h_ {1} otimes cdots otimes h_ {r-1} otimes h_ {r + 1} otimes cdots otimes h_ {n}.}$

q-коммутациялық қатынастар

Бұл операторлар q-коммутациялық қатынастарды қанағаттандырады^[7]

${ displaystyle a (f) a ^ {*} (g) -qa ^ {*} (g) a (f) = langle f, g rangle cdot 1 qquad (f, g in { mathcal) {H}}).}$

Үшін ${ displaystyle q = 1}$, ${ displaystyle q = 0}$, және ${ displaystyle q = -1}$ бұл тиісінше CCR қатынастарына, Кунц қатынастарына және CAR қатынастарына дейін төмендейді. Істі қоспағанда ${ displaystyle q = 1,}$ операторлар ${ displaystyle a ^ {*} (f)}$ шектелген

q-гаусс элементтері және көп айнымалы q-гаусс таралуын анықтау (q-гаусс процесі)

Форманың операторлары ${ displaystyle s_ {q} (h) = {a (h) + a ^ {*} (h)}}$үшін ${ displaystyle h in { mathcal {H}}}$ деп аталады q-гаусс^[5] (немесе q-жартылай дөңгелек^[8]) элементтер.

Қосулы ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {q} ({ mathcal {H}})}$ біз қарастырамыз вакуумдық күту күйі${ displaystyle tau (T) = langle Omega, T Omega rangle}$, үшін ${ displaystyle T in { mathcal {B}} ({ mathcal {F}} ({ mathcal {H}}))}$.

The (көп айнымалы) q-гаусс таралуы немесе q-Гаусс процесі^[4][9] вакуумды күту күйіне қатысты q-гаусс жинағының коммутативті емес таралуы ретінде анықталады. Үшін ${ displaystyle h_ {1}, dots, h_ {p} in { mathcal {H}}}$ бірлескен бөлу ${ displaystyle s_ {q} (h_ {1}), нүктелер, s_ {q} (h_ {p})}$ құрметпен ${ displaystyle tau}$ келесі түрде сипаттауға болады^{[1] [3]},: кез келген үшін ${ displaystyle i {1, dots, k } rightarrow {1, dots, p }}$ Бізде бар

${ displaystyle tau left (s_ {q} (h_ {i (1)}) cdots s_ {q} (h_ {i (k)}) right) = sum _ { pi in { mathcal {P}} _ {2} (k)} q ^ {cr ( pi)} prod _ {(r, s) in pi} langle h_ {i (r)}, h_ {i ( s)} rangle,}$

қайда ${ displaystyle cr ( pi)}$ жұп-бөлімнің қиылысу санын білдіреді ${ displaystyle pi}$. Бұл Wick / Isserlis формуласының q-деформацияланған нұсқасы.

q-бір өлшемді жағдайда Гаусстың таралуы

Үшін б = 1, q-гаусс үлестірімі - бұл интервалдағы ықтималдық өлшемі ${ displaystyle [-2 / { sqrt {1-q}}, 2 / { sqrt {1-q}}]}$, оның тығыздығының аналитикалық формулаларымен.^[10] Ерекше жағдайлар үшін ${ displaystyle q = 1}$, ${ displaystyle q = 0}$, және ${ displaystyle q = -1}$, бұл классикалық Гаусс таралуына дейін азаяды, Жартылай шеңбердің таралуы, және Бернуллидің симметриялы таралуы ${ displaystyle pm 1}$. Тығыздықты анықтау ескі нәтижелерден туындайды^[11] сәйкес ортогоналды көпмүшелерде.

Оператордың алгебралық сұрақтары

The фон Нейман алгебрасы жасаған ${ displaystyle s_ {q} (h_ {i})}$, үшін ${ displaystyle h_ {i}}$ ортонормальды жүйеден өту ${ displaystyle (h_ {i}) _ {i in I}}$ векторларының ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, үшін азайтады ${ displaystyle q = 0}$ белгілі тегін топтық факторларға ${ displaystyle L (F _ { vert I vert})}$. Фон Нейман алгебраларының құрылымын жалпы q-ға түсіну көптеген зерттеулердің көзі болды.^[12] Қазір бұл Гионнет пен Шляхтенконың жұмыстары арқылы белгілі болды,^[13] ең болмағанда I шекті және q-ның кіші мәндері үшін фон Нейман алгебрасы сәйкес топтық факторға сәйкес изоморфты болады.

Әдебиеттер тізімі