Пифагор өрісі - Википедия - Pythagorean field

Алгебрада а Пифагор өрісі Бұл өріс онда екі квадраттың әрбір қосындысы квадрат болады: оған тең Пифагор саны 1-ге тең Пифагор кеңеюі өріс - бұл элементті біріктіру арқылы алынған кеңейту кейбіреулер үшін жылы . Демек, Пифагор өрісі бір астында жабылған Пифагор кеңейтімдерін қабылдау. Кез-келген өріс үшін минималды Пифагор өрісі бар оны қамтитын, бірегей изоморфизмге дейін, деп аталады Пифагордың жабылуы.[1] The Гильберт өрісі бұл минималды реттелген Пифагор өрісі.[2]

Қасиеттері

Әрқайсысы Евклид өрісі (ан тапсырыс берілген өріс онда барлық оң элементтер квадраттар болып табылады) бұл реттелген Пифагор өрісі, бірақ керісінше болмайды.[3] A квадрат жабық өріс бұл Пифагор өрісі, бірақ керісінше емес ( Пифагор); дегенмен, жоқ ресми түрде нақты Пифагор өрісі квадрат бойынша жабық.[4]

The Вит сақинасы Пифагор өрісінің 2-ші реті, егер өріс болмаса ресми түрде нақты, әйтпесе бұралусыз.[1] Өріс үшін бар нақты дәйектілік байланысты Вит қоңырау шалып жатыр

қайда Витт сақинасының негізгі идеалы болып табылады [5] және оны білдіреді бұралу кіші тобы (бұл жай ғана нөлдік туралы ).[6]

Эквиваленттік шарттар

Алаңдағы келесі шарттар F барабар F Пифагор болу:

Геометрия модельдері

Пифагор өрістерінің кейбіреулеріне модельдер құруға болады Гильберттің аксиомалары геометрия үшін (Иянага және Кавада 1980 ж, 163 C). Берілген координаталық геометрия үшін Пифагор өрісі Гильберттің көптеген аксиомаларын қанағаттандырады, мысалы, түсу аксиомалары, конгруденция аксиомалары және параллельдер аксиомалары. Алайда, жалпы алғанда, бұл геометрия өрістен басқа Гильберттің барлық аксиомаларын қанағаттандыруға мұқтаж емес F қосымша қасиеттерге ие: мысалы, егер өріс те реттелген болса, онда геометрия Гильберттің реттелген аксиомаларын, ал егер өріс толық болса, геометрия Гильберттің толықтығы аксиомасын қанағаттандырады.

Пифагордың жабылуы а архимедтік емес өріс, мысалы Пифагор өрісінің жабылуы рационалды функциялар рационал сандардың бір айнымалысында көптеген аксиомаларды қанағаттандыратын архимедтік емес геометрияларды құру үшін пайдаланылуы мүмкін, бірақ оның толықтығы аксиомасы емес.[10] Дехн мұндай өрісті екеуін тұрғызу үшін қолданды Дехн ұшақтары, мысалдар легендарлық емес геометрия және жартылай евклидтік геометрия сәйкесінше, онда нүкте берілген түзумен қиылыспайтын, бірақ үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы кем дегенде π болатын нүктелер болса да.[11]

Диллер - көйлек теоремасы

Бұл теоремада, егер E/F ақырлы болып табылады өрісті кеңейту, және E Пифагорлық болса, солай болады F.[12] Нәтижесінде жоқ алгебралық сан өрісі бұл Пифагорея, өйткені барлық осындай өрістер аяқталған Q, бұл Пифагор емес.[13]

Суперфитагорлық өрістер

A суперпифагор өрісі F егер формуласы бар формальды нақты өріс болса S 2 дюйм индексінің кіші тобы болып табылады F және онда −1 болмайды, сонда S бойынша тапсырыс беруді анықтайды F. Эквивалентті анықтама - бұл F квадраттар жиыны а-ны құрайтын формальды нақты өріс желдеткіш. Суперпифагорлық өріс міндетті түрде Пифагорлық болып табылады.[12]

Diller-Dress теоремасының аналогы орындалады: егер E/F ақырлы кеңейту болып табылады және E суперпифагорлық болса, солай болады F.[14] Қарама-қарсы бағытта, егер F суперпифагорлық және E қамтитын формальды нақты өріс болып табылады F және квадраттық жабылуда қамтылған F содан кейін E суперпифагориялық.[15]

Ескертулер

  1. ^ а б Milnor & Husemoller (1973) б. 71
  2. ^ Гринберг (2010)
  3. ^ Мартин (1998) б. 89
  4. ^ Раджваде (1993) с.230
  5. ^ Milnor & Husemoller (1973) б. 66
  6. ^ Milnor & Husemoller (1973) б. 72
  7. ^ Лам (2005) б.410
  8. ^ Лам (2005) с.293
  9. ^ Эфрат (2005) с.178
  10. ^ (Iyanaga & Kawada 1980 ж 163)
  11. ^ Дехн (1900)
  12. ^ а б Лам (1983) б. 45
  13. ^ Лам (2005) с.269
  14. ^ Лам (1983) с.47
  15. ^ Лам (1983) 48-бет

Әдебиеттер тізімі