Таза субмодуль - Pure submodule

Жылы математика, әсіресе саласындағы модуль теориясы, тұжырымдамасы таза ішкі модуль жалпылауды қамтамасыз етеді тікелей шақыру, а-ның ерекше тәртіпті бөлігі модуль. Таза модульдер бірін-бірі толықтырады жалпақ модульдер және Прюфер туралы түсініктерін жалпылау таза кіші топтар. Ал жалпақ модульдер - бұл кететін модульдер қысқа дәл тізбектер дәл кейін тензоринг, таза модуль кез-келген модульмен тензордан кейін дәл қалатын қысқа нақты дәйектілікті анықтайды. Дәл сол сияқты жалпақ модуль а тікелей шек туралы проективті модульдер, және таза ішкі модуль тікелей шегі болып табылатын қысқа дәл дәйектілікті анықтайды бөлу дәл тізбектер, әрқайсысы тікелей шақырумен анықталады.

Анықтама

Келіңіздер R болуы а сақина (ассоциативті, 1-мен), және рұқсат етіңіз М және P болуы модульдер аяқталды R. Егер мен: P → М болып табылады инъекциялық содан кейін P Бұл таза субмодуль М егер бар болса R-модуль X, табиғи индукцияланған карта тензор өнімдері мен . Id_X : P ⊗ X → М ⊗ X инъекциялық.

Ұқсас түрде, а қысқа нақты дәйектілік

${ displaystyle 0 longrightarrow A , { stackrel {f} { longrightarrow}} B , { stackrel {g} { longrightarrow}} C longrightarrow 0}$

туралы R-модульдер болып табылады таза дәл егер кез-келгенімен тензорланған кезде реттілік дәл қалса R-модуль X. Бұл осыны айтуға пара-пар f(A) -ның таза модулі B.

Тазалықты элементтік жағынан да білдіруге болады; бұл шын мәнінде белгілі бір сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімділік қабілеті туралы мәлімдеме. Нақтырақ айтқанда, P таза М егер келесі шарт орындалса ғана: кез келген үшін м-n матрица (а_иж) жазбаларымен Rжәне кез-келген жиынтық ж₁, ..., ж_м элементтері P, егер элементтер болса х₁, ..., х_n жылы М осындай

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} x_ {j} = y_ {i} qquad { mbox {for}} i = 1, ldots, m}$

онда элементтер де бар х₁′, ..., х_n′ жылы P осындай

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} x '_ {j} = y_ {i} qquad { mbox {for}} i = 1, ldots, m}$

Мысалдар

• Әрқайсысы тікелей шақыру туралы М таза М. Демек, әрқайсысы ішкі кеңістік а векторлық кеңістік астам өріс таза.
• (Lam & 1999, p.154 ) harv қатесі: мақсат жоқ: CITEREFLam1999, _p.154 (Көмектесіңдер) Айталық

${ displaystyle 0 longrightarrow A , { stackrel {f} { longrightarrow}} B , { stackrel {g} { longrightarrow}} C longrightarrow 0}$

қысқа дәл тізбегі болып табылады R-модульдер, содан кейін:

1. C Бұл жалпақ модуль егер нақты дәйектілік әрқайсысы үшін таза болса ғана A және B. Бұдан біз а фон Нейманның тұрақты сақинасы, әрқайсысы ішкі модулі әрқайсысы R-модуль таза. Бұл себебі әрқайсысы фон Нейман сақинасының үстіндегі модуль тегіс. Керісінше шындық. (Lam & 1999, s.162 ) harv қатесі: мақсат жоқ: CITEREFLam1999, _p.162 (Көмектесіңдер)
2. Айталық B жазық. Олай болса, егер тек солай болса, дәйектілік таза болады C жазық. Бұдан жалпақ модульдердің таза субмодульдерінің жалпақ екендігі туралы қорытынды жасауға болады.
3. Айталық C жазық. Содан кейін B тегіс, тек егер болса A жазық.

Эквивалентті сипаттама

Тізбектің мәні дәл болған жағдайда ғана нақты болады сүзілген колимит (сонымен бірге тікелей шек ) of бөлу дәл тізбектер

${ displaystyle 0 longrightarrow A_ {i} longrightarrow B_ {i} longrightarrow C_ {i} longrightarrow 0.}$^[1]

Әдебиеттер тізімі

• Фукс, Ласло (2015), Абель топтары, Математикадағы Springer Monographs, Springer, ISBN  9783319194226

• Лам, Цит-Юэн (1999), Модульдер мен сақиналар туралы дәрістерМатематика бойынша магистратура мәтіндері, 189, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-98428-5, МЫРЗА  1653294