Бұл мақалада дәлелдер бар Риман геометриясындағы формулалар қамтитын Christoffel рәміздері .
Бианкидің келісімшарттары
Дәлел Бастап бастаңыз Бианки сәйкестігі [1]
R а б м n ; ℓ + R а б ℓ м ; n + R а б n ℓ ; м = 0. { displaystyle R_ {abmn; ell} + R_ {ab ell m; n} + R_ {abn ell; m} = 0.} Келісімшарт жоғарыдағы теңдеудің екі жағы да метрикалық тензорлар :
ж б n ж а м ( R а б м n ; ℓ + R а б ℓ м ; n + R а б n ℓ ; м ) = 0 , { displaystyle g ^ {bn} g ^ {am} (R_ {abmn; ell} + R_ {ab ell m; n} + R_ {abn ell; m}) = 0,} ж б n ( R м б м n ; ℓ − R м б м ℓ ; n + R м б n ℓ ; м ) = 0 , { displaystyle g ^ {bn} (R ^ {m} {} _ {bmn; ell} -R ^ {m} {} _ {bm ell; n} + R ^ {m} {} _ {bn ell; m}) = 0,} ж б n ( R б n ; ℓ − R б ℓ ; n − R б м n ℓ ; м ) = 0 , { displaystyle g ^ {bn} (R_ {bn; ell} -R_ {b ell; n} -R_ {b} {} ^ {m} {} _ {n ell; m}) = 0, } R n n ; ℓ − R n ℓ ; n − R n м n ℓ ; м = 0. { displaystyle R ^ {n} {} _ {n; ell} -R ^ {n} {} _ { ell; n} -R ^ {nm} {} _ {n ell; m} = 0 .} Сол жақтағы бірінші мерзім Ricci скалярын алуға келісім жасайды, ал үшінші мерзім а аралас Ricci тензоры,
R ; ℓ − R n ℓ ; n − R м ℓ ; м = 0. { displaystyle R _ {; ell} -R ^ {n} {} _ { ell; n} -R ^ {m} {} _ { ell; m} = 0.} Соңғы екі термин бірдей (лақап индексті өзгерту) n дейін м ) және оңға жылжытылатын бір терминге біріктірілуі мүмкін,
R ; ℓ = 2 R м ℓ ; м , { displaystyle R _ {; ell} = 2R ^ {m} {} _ { ell; m},} бұл бірдей
∇ м R м ℓ = 1 2 ∇ ℓ R . { displaystyle nabla _ {m} R ^ {m} {} _ { ell} = {1 over 2} nabla _ { ell} R.} Индекс жапсырмаларын ауыстыру л және м өнімділік
∇ ℓ R ℓ м = 1 2 ∇ м R , { displaystyle nabla _ { ell} R ^ { ell} {} _ {m} = {1 over 2} nabla _ {m} R,} Q.E.D. мақалаға оралу Эйнштейн тензорының ковариантты дивергенциясы жойылады
Дәлел Жоғарыдағы дәлелдеудегі соңғы теңдеуді келесі түрде көрсетуге болады
∇ ℓ R ℓ м − 1 2 δ ℓ м ∇ ℓ R = 0 { displaystyle nabla _ { ell} R ^ { ell} {} _ {m} - {1 over 2} delta ^ { ell} {} _ {m} nabla _ { ell} R = 0} мұндағы δ Kronecker атырауы . Аралас Kronecker атырауы аралас метрикалық тензорға тең болғандықтан,
δ ℓ м = ж ℓ м , { displaystyle delta ^ { ell} {} _ {m} = g ^ { ell} {} _ {m},} және бастап ковариант туынды метрикалық тензор нөлге тең (сондықтан оны кез-келген осындай туынды шеңберінде немесе шеңберінен шығаруға болады), содан кейін
∇ ℓ R ℓ м − 1 2 ∇ ℓ ж ℓ м R = 0. { displaystyle nabla _ { ell} R ^ { ell} {} _ {m} - {1 over 2} nabla _ { ell} g ^ { ell} {} _ {m} R = 0.} Ковариант туындысының факторы
∇ ℓ ( R ℓ м − 1 2 ж ℓ м R ) = 0 , { displaystyle nabla _ { ell} left (R ^ { ell} {} _ {m} - {1 over 2} g ^ { ell} {} _ {m} R right) = 0 ,} содан кейін индексті көтеріңіз м бүкіл бойында
∇ ℓ ( R ℓ м − 1 2 ж ℓ м R ) = 0. { displaystyle nabla _ { ell} left (R ^ { ell m} - {1 over 2} g ^ { ell m} R right) = 0.} Жақша ішіндегі өрнек - Эйнштейн тензоры , сондықтан [1]
∇ ℓ G ℓ м = 0 , { displaystyle nabla _ { ell} G ^ { ell m} = 0,} Q.E.D. мақалаға оралу бұл Эйнштейн тензорының ковариантты дивергенциясы жойылатындығын білдіреді.
Метриканың жалған туындысы
Дәлел Жергіліктіден бастаңыз үйлестіру ковариантты симметриялық тензор өрісінің формуласы ж = ж а б ( х c ) г. х а ⊗ г. х б { displaystyle g = g_ {ab} (x ^ {c}) dx ^ {a} otimes dx ^ {b}} Өтірік туынды бірге векторлық өріс X = X а ∂ а { displaystyle X = X ^ {a} partial _ {a}}
L X ж а б = X c ∂ c ж а б + ж c б ∂ а X c + ж c а ∂ б X c = X c ∂ c ж а б + ж c б ( ∂ а X c ± Γ г. а c X г. ) + ж c а ( ∂ б X c ± Γ г. б c X г. ) = ( X c ∂ c ж а б − ж c б Γ г. а c X г. − ж c а Γ г. б c X г. ) + [ ж c б ( ∂ а X c + Γ г. а c X г. ) + ж c а ( ∂ б X c + Γ г. б c X г. ) ] = X c ∇ c ж а б + ж c б ∇ а X c + ж c а ∇ б X c = 0 + ж c б ∇ а X c + ж c а ∇ б X c = ж c б ∇ а X c + ж c а ∇ б X c = ∇ а X б + ∇ б X а { displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} & = X ^ {c} partial _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} partial _ { a} X ^ {c} + g_ {ca} ішінара _ {b} X ^ {c} & = X ^ {c} ішінара _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} { bigl (} ішінара _ {a} X ^ {c} pm Гамма _ {да} ^ {с} X ^ {d} { bigr)} + g_ {ca} { bigl (} ішінара _ {b } X ^ {c} pm Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} & = { bigl (} X ^ {c} partial _ {c} g_ {) ab} -g_ {cb} Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} -g_ {ca} Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + { bigl [} g_ {cb} { bigl (} partial _ {a} X ^ {c} + Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + g_ {ca} { bigl (} ішінара _ {b} X ^ {c} + Гамма _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} { bigr]} & = X ^ {c} nabla _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = 0 + g_ { cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = nabla _ {a} X_ {b} + nabla _ {b} X_ {a} end {aligned}}} мұнда, нота ∂ а = ∂ ∂ х а { displaystyle толукталмаған _ {a} = { frac { жартылай} { жартылай x ^ {a}}}} ішінара туынды координатасына қатысты х а { displaystyle x ^ {a}} Q.E.D. мақалаға оралу
Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі
^ а б Synge JL, Schild A. (1949). Тензор есебі . 87–89-90 беттер. Кітаптар
Епископ, Р.Л. ; Голдберг, С.И. (1968), Коллекторлар бойынша тензорлық талдау ISBN 0-486-64039-6 Даниэлсон, Дональд А. (2003). Техника мен физикадағы векторлар мен тензорлар (2 / е басылым). Westview (Персей). ISBN 978-0-8133-4080-7 Левлок, Дэвид ; Рунд, Ханно (1989) [1975]. Тензорлар, дифференциалдық формалар және вариациялық принциптер . Довер. ISBN 978-0-486-65840-7 Synge JL, Schild A. (1949). Тензор есебі ISBN 978-0-486-63612-2 Дж.Р. Тайлдсли (1975), Тензорды талдауға кіріспе: инженерлер мен қолданбалы ғалымдар үшін , Лонгман, ISBN 0-582-44355-5 Кэй Кей (1988), Тензор есебі , Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), ISBN 0-07-033484-6 Т. Франкель (2012), Физика геометриясы (3-ші басылым), Кембридж университетінің баспасы, ISBN 978-1107-602601
![{ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} & = X ^ {c} partial _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} partial _ { a} X ^ {c} + g_ {ca} ішінара _ {b} X ^ {c} & = X ^ {c} ішінара _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} { bigl (} ішінара _ {a} X ^ {c} pm Гамма _ {да} ^ {с} X ^ {d} { bigr)} + g_ {ca} { bigl (} ішінара _ {b } X ^ {c} pm Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} & = { bigl (} X ^ {c} partial _ {c} g_ {) ab} -g_ {cb} Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} -g_ {ca} Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + { bigl [} g_ {cb} { bigl (} partial _ {a} X ^ {c} + Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + g_ {ca} { bigl (} ішінара _ {b} X ^ {c} + Гамма _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} { bigr]} & = X ^ {c} nabla _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = 0 + g_ { cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = nabla _ {a} X_ {b} + nabla _ {b} X_ {a} end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b47e81ee4f393d2e39f9e701dce31a59557fa69)
