Моноидтың презентациясы - Presentation of a monoid

Бұл мақала мүмкін түсініксіз немесе түсініксіз оқырмандарға. Бізге көмектесіңізші мақаланы нақтылаңыз. Бұл туралы талқылау болуы мүмкін талқылау беті. (Наурыз 2011) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Бұл мақала математика маманы назар аударуды қажет етеді. Қосыңыз себебі немесе а әңгіме мәселені мақаламен түсіндіру үшін осы шаблонға параметр. Математика WikiProject сарапшыны тартуға көмектесе алады. (Ақпан 2009)

Жылы алгебра, а моноидтың презентациясы (немесе а жартылай топтың презентациясы) а сипаттамасы болып табылады моноидты (немесе а жартылай топ ) жиынтық тұрғысынан Σ генераторлар мен қатынастардың жиынтығы ақысыз моноид Σ^∗ (немесе тегін жартылай топ Σ⁺) жасаған Σ. Моноид содан кейін ретінде ұсынылады мөлшер осы қатынастар бойынша еркін моноидтың (немесе еркін жартылай топтың). Бұл а топтық презентация жылы топтық теория.

Математикалық құрылым ретінде моноидты презентация а-ға ұқсас жолды қайта жазу жүйесі (сонымен қатар жартылай Thue жүйесі деп аталады). Әр моноидты жартылай Thue жүйесі ұсынуы мүмкін (мүмкін шексіз алфавит арқылы).^[1]

A презентация а деп шатастыруға болмайды өкілдік.

Құрылыс

Қатынастар (ақырлы) түрінде беріледі екілік қатынас R қосулы Σ^∗. Моноидты қалыптастыру үшін бұл қатынастар кеңейтіледі моноидты сәйкестіктер келесідей:

Біріншіден, біреу симметриялы жабуды алады R ∪ R⁻¹ туралы R. Содан кейін бұл симметриялық қатынасқа дейін кеңейтіледі E ⊂ Σ^∗ × Σ^∗ анықтау арқылы х ~_E ж егер және егер болса х = тігіс және ж = svt кейбір ішектер үшін сен, v, с, т ∈ Σ^∗ бірге (сен,v) ∈ R ∪ R⁻¹. Соңында, рефлексивті және өтпелі тұйықталу керек E, бұл моноидты сәйкестік.

Типтік жағдайда қатынас R жай теңдеулер жиынтығы ретінде берілген, сондықтан ${displaystyle R = {u_ {1} = v_ {1}, ldots, u_ {n} = v_ {n}}}$. Мәселен, мысалы,

${displaystyle langle p, q, vert; pq = 1angle}$

үшін теңдестірілген презентация болып табылады бициклді моноид, және

${displaystyle langle a, b, vert; aba = baa, bba = babangle}$

болып табылады плактикалық моноид 2 дәрежесі (оның шексіз тәртібі бар). Осы плактикалық моноидтың элементтері келесі түрде жазылуы мүмкін ${displaystyle a ^ {i} b ^ {j} (ba) ^ {k}}$ бүтін сандар үшін мен, j, к, қатынастар көрсеткендей ба екеуімен де жүреді а және б.

Кері моноидтар мен жартылай топтар

Кері моноидтар мен жартылай топтардың презентацияларын жұптың көмегімен ұқсас түрде анықтауға болады

${displaystyle (X; T)}$

қайда

${displaystyle (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*}}$

болып табылады инволюциясы бар ақысыз моноид қосулы ${displaystyle X}$, және

${displaystyle Tsubseteq (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*} imes (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*}}$

Бұл екілік сөздер арасындағы байланыс. Біз белгілейміз ${displaystyle T ^ {mathrm {e}}}$ (сәйкесінше ${displaystyle T ^ {mathrm {c}}}$) эквиваленттік қатынас (сәйкесінше, үйлесімділік ) жасаған Т.

Бұл объект нысанын кері моноидты анықтау үшін қолданамыз

${displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} langle X | Tangle.}$

Келіңіздер ${displaystyle ho _ {X}}$ болуы Вагнердің үйлесімділігі қосулы ${displaystyle X}$, біз кері моноидты анықтаймыз

${displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} langle X | Tangle}$

ұсынылды арқылы ${displaystyle (X; T)}$ сияқты

${displaystyle mathrm {Inv} ^ {1} langle X | Tangle = (Xcup X ^ {- 1}) ^ {*} / (Tcup ho _ {X}) ^ {mathrm {c}}.}$

Алдыңғы талқылауда, егер біз барлық жерде ауыстыратын болсақ ${displaystyle ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {*}}$ бірге ${displaystyle ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {+}}$ біз аламыз презентация (кері жартылай топ үшін) ${displaystyle (X; T)}$ және кері жартылай топ ${displaystyle mathrm {Inv} langle X | Tangle}$ ұсынылды арқылы ${displaystyle (X; T)}$.

Тривиальды, бірақ маңызды мысал - бұл бос кері моноид (немесе тегін кері жартылай топ) қосулы ${displaystyle X}$, бұл әдетте белгіленеді ${displaystyle mathrm {FIM} (X)}$ (сәйкесінше ${displaystyle mathrm {FIS} (X)}$) арқылы анықталады

${displaystyle mathrm {FIM} (X) = mathrm {Inv} ^ {1} langle X | varnothing angle = ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {*} / ho _ {X},}$

немесе

${displaystyle mathrm {FIS} (X) = mathrm {Inv} langle X | varnothing angle = ({Xcup X ^ {- 1}}) ^ {+} / ho _ {X}.}$

Ескертулер

Пайдаланылған әдебиеттер

• Джон М. Хауи, Семигруппа теориясының негіздері (1995), Кларендон Пресс, Оксфорд ISBN  0-19-851194-9
• М.Килп, У.Кнауер, А.В. Михалев, Моноидтар, актілер және санаттарға гүл шоқтарына арналған қосымшалары бар графиктер, Де Грюйтер экспозициясы математика т. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN  3-11-015248-7.
• Роналд В. Кітап және Фридрих Отто, Жолдарды қайта жазу жүйелері, Springer, 1993, ISBN  0-387-97965-4, 7-тарау, «Алгебралық қасиеттер»