Позиция бұрышы - Position angle

Орналасу бұрышы телескоптық окуляр арқылы қалай есептелетінінің иллюстрациясы; бастапқы жұлдыз ортада.

Жылы астрономия, позиция бұрышы (әдетте қысқартылған) PA) - бұл аспандағы бұрыштарды өлшеуге арналған шарт. The Халықаралық астрономиялық одақ оны өлшенетін бұрыш ретінде анықтайды солтүстік аспан полюсі (NCP), бағытына оң айналады оңға көтерілу. Стандартты (аударылмаған) кескіндерде бұл санауышсағат тілімен оське қатысты өлшеуді оңға қарай бағыттаңыз ауытқу.

Егер байқалған жағдайда визуалды екілік жұлдыздар, бұл екінші реттік жұлдыздың бастапқыға қатысты қатысты бұрыштық жылжуы ретінде анықталады солтүстік аспан полюсі.

Мысалда көрсетілгендей, егер PA 135 ° гипотетикалық екілік жұлдызды бақылайтын болса, бұл окулярдағы солтүстік аспан полюсінен біріншілікке (P) дейінгі окулярдағы қиял сызығы екіншісінен (S) өтелетіндігін білдіреді. NCP-PS бұрышы 135 ° болады.

Екілік орбитаның визуалды графиктерін салған кезде NCP сызығы дәстүрлі түрде төмен қарай, яғни төменгі жағынан солтүстікке қарай сызылады және PA сағат тіліне қарсы өлшенеді. Сондай-ақ, бағыты дұрыс қозғалыс мысалы, оның орналасу бұрышы арқылы берілуі мүмкін.

Орналасу бұрышының анықтамасы галактикалар сияқты кеңейтілген нысандарға да қолданылады, мұнда ол NCP сызығымен объектінің үлкен осі жасаған бұрышқа сілтеме жасайды.

Нотика

Позиция бұрышы тұжырымдамасы мұхиттардағы теңіз навигациясынан мұрагерлік болып табылады, мұнда оңтайлы компас курс дегеніміз - белгілі позициядан шыққан курс $с$ мақсатты позицияға дейін $т$ минималды күшпен. Желдер мен мұхит ағындарының әсерін ескере отырып, оңтайлы бағыт - бұл мұхит бетіндегі екі позиция арасындағы ең аз арақашықтық. Компас барысын есептеу кері мәселе туралы геодезия.

Бұл мақалада арақашықтықты барынша азайтудың абстракциясы ғана қарастырылады $с$ және $т$ радиусы бар сфера бетінде жүру $R$ . Қай бағытта $б$ Солтүстікке қатысты кеме мақсатты орынға жету үшін бағыттауы керек пе?

Әлемдік геоцентрлік координаттар жүйесі

Нүктенің орналасу бұрышы т нүктесінде с - бұл жасыл және кесілген үлкен шеңберлер қиылысатын бұрыш с. Бірлік бағыттары

сен E

,

сен N

және айналу осі

ω

көрсеткілермен белгіленеді.

Оңтайлы бағытты егжей-тегжейлі бағалау теңіз беті шар бетімен жуықтаған жағдайда мүмкін болады. Стандартты есептеу кемені геодезияға орналастырады ендік $φ с$ және геодезиялық бойлық $λ с$ , қайда $φ$ экватордың солтүстігінде және қайда болса оң деп саналады $λ$ егер шығысы оң болса Гринвич. Шардың центрінде орналасқан ғаламдық координаттар жүйесінде декарттық компоненттер орналасқан

{displaystyle {mathbf {s}} = Солға ({egin {массив} {c} cos varphi _ {s} cos lambda _ {s} cos varphi _ {s} sin lambda _ {s} sin varphi _ {s } соңы {массив}} ight)}

және мақсатты позиция болып табылады

{displaystyle {mathbf {t}} = Солға ({egin {массив} {c} cos varphi _ {t} cos lambda _ {t} cos varphi _ {t} sin lambda _ {t} sin varphi _ {t } соңы {массив}} ight).}

Солтүстік полюс орналасқан

{displaystyle {mathbf {N}} = Солға ({egin {массив} {c} 0 0 1end {массив}} ight).}

The минималды арақашықтық $г.$ - өтетін үлкен шеңбер бойындағы қашықтық $с$ және $т$ . Ол сфера центрі мен орналасқан жазықтықта есептеледі үлкен шеңбер,

{displaystyle d_ {s, t} = R heta _ {s, t}}

қайда $θ$ дегеніміз - сфераның центрінен қаралған екі нүктенің бұрыштық арақашықтығы радиан. Бұрыштың косинусы -мен есептеледі нүктелік өнім екі вектордың

{displaystyle mathbf {s} cdot mathbf {t} = R ^ {2} cos heta _ {s, t} = R ^ {2} (sin varphi _ {s} sin varphi _ {t} + cos varphi _ {s } cos varphi _ {t} cos (lambda _ {t} -lambda _ {s}))}

Егер кеме тура солтүстік полюске бағытталса, онда жүру қашықтығы

{displaystyle d_ {s, N} = R heta _ {s, N} = R (pi / 2-varphi _ {s})}

Егер кеме басталса $т$ және тікелей солтүстік полюске жүзеді, жүру қашықтығы

{displaystyle d_ {t, N} = R heta _ {t, n} = R (pi / 2-varphi _ {t})}

Қысқаша шығу

The косинус формуласы туралы сфералық тригонометрия ^[1] үшін өнімділік бұрыш $б$ арқылы үлкен шеңберлер арасында $с$ сол жағынан солтүстікке қарай $т$ басқа жақтан

{displaystyle cos heta _ {t, N} = cos heta _ {s, t} cos heta _ {s, N} + sin heta _ {s, t} sin heta _ {s, N} cos p.}

{displaystyle sin varphi _ {t} = cos heta _ {s, t} sin varphi _ {s} + sin heta _ {s, t} cos varphi _ {s} cos p.}

The синус формуласы өнімділік

{displaystyle {frac {sin p} {sin heta _ {t, N}}} = {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})} {sin heta _ {s, t}}}. }

Мұны шешу $күнә θ с, т$ және алдыңғы формулаға кірістіру позиция бұрышының тангенсі үшін өрнек береді,

{displaystyle sin varphi _ {t} = cos heta _ {s, t} sin varphi _ {s} + {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})} {sin p}} cos varphi _ {t} cos varphi _ {s} cos p;}

{displaystyle an p = {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s}) cos varphi _ {t} cos varphi _ {s}} {sin varphi _ {t} -cos heta _ {s, t } sin varphi _ {s}}}.}

Ұзақ туынды

Себебі қысқаша шығару 0 мен аралығында бұрыш береді $π$ белгісін көрсетпейтін (батыстан немесе солтүстіктен шығысқа қарай?), синус пен косинусты бөлек беретін айқынырақ туынды қажет. $б$ пайдалану сияқты кері жанаманың дұрыс тармағы толық диапазонда бұрыш жасауға мүмкіндік береді $-π\leqp\leqπ$ .

Есептеу арасындағы үлкен шеңберді салудан басталады $с$ және $т$ . Ол сфера орталығы бар жазықтықта жатыр, $с$ және $т$ және айналмалы түрде салынған $с$ бұрышы бойынша $θ с, т$ осьтің айналасында $ω$ . Ось үлкен шеңбер жазықтығына перпендикуляр және нормаланған вектормен есептелген кросс өнім екі позиция:

{displaystyle mathbf {omega} = {frac {1} {R ^ {2} sin heta _ {s, t}}} mathbf {s} imes mathbf {t} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} сол жақта ({egin {массив} {c} cos varphi _ {s} sin lambda _ {s} sin varphi _ {t} -sin varphi _ {s} cos varphi _ {t} sin lambda _ {t } sin varphi _ {s} cos lambda _ {t} cos varphi _ {t} -cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} cos lambda _ {s} cos varphi _ {s} cos varphi _ { t} sin (lambda _ {t} -lambda _ {s}) end {array}} ight).}

Центрінің ортасында центрі бар оң жаққа қисайған координаталар жүйесі берілген келесі үш ось: ось $с$ , ось

{displaystyle mathbf {s} _ {perp} = omega imes {frac {1} {R}} mathbf {s} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} сол жақта ({egin {массив) {c} cos varphi _ {t} cos lambda _ {t} (sin ^ {2} varphi _ {s} + cos ^ {2} varphi _ {s} sin ^ {2} lambda _ {s}) - cos lambda _ {s} (sin varphi _ {s} cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} + cos ^ {2} varphi _ {s} sin lambda _ {s} cos varphi _ {t} sin lambda _ {t}) cos varphi _ {t} sin lambda _ {t} (sin ^ {2} varphi _ {s} + cos ^ {2} varphi _ {s} cos ^ {2} lambda _ {s}) -sin lambda _ {s} (sin varphi _ {s} cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} + cos ^ {2} varphi _ {s} cos lambda _ {s} cos varphi _ {t} cos lambda _ {t}) cos varphi _ {s} [cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} -sin varphi _ {s} cos varphi _ {t} cos (lambda _ {t} -lambda _ { s})] end {array}} ight)}

және ось $ω$ . Үлкен шеңбер бойымен орналасу

{displaystyle mathbf {s} (heta) = cos heta mathbf {s} + sin heta mathbf {s} _ {perp}, quad 0leq heta leq 2pi.}

Компас бағыты екі векторды енгізу арқылы беріледі $с$ және $с ⊥$ және вектордың градиентін есептеу $θ$ кезінде $θ = 0$ .

{displaystyle {frac {жарым-жартылай} {ішінара}} mathbf {s} _ {mid heta = 0} = mathbf {s} _ {perp}.}

Бұрыш $б$ осы бағытты нүктеге сфераға тангенциалды жазықтықта екі ортогональды бағыт бойынша бөлу арқылы беріледі $с$ . Екі бағыт -тың ішінара туындылары берілген $с$ құрметпен $φ$ және қатысты $λ$ , бірлік ұзындығына нормаланған:

{displaystyle mathbf {u} _ {N} = сол жақ ({egin {массив} {c} -sin varphi _ {s} cos lambda _ {s} - sin varphi _ {s} sin lambda _ {s} cos varphi _ {s} end {array}} ight);}

{displaystyle mathbf {u} _ {E} = сол жақ ({egin {массив} {c} -sin lambda _ {s} cos lambda _ {s} 0end {массив}} ight);}

{displaystyle mathbf {u} _ {N} cdot mathbf {s} = mathbf {u} _ {E} cdot mathbf {u} _ {N} = 0}

$сен N$ солтүстікке және $сен E$ позиция бойынша шығысқа бағытталған $с$ . Позиция бұрышы $б$ жобалар $с ⊥$ осы екі бағытқа,

{displaystyle mathbf {s} _ {perp} = cos p, mathbf {u} _ {N} + sin p, mathbf {u} _ {E}}

,

Мұндағы оң белгі оң позиция бұрыштары солтүстікке қарай шығысқа қарай анықталған дегенді білдіреді. Косинус пен синус мәндері $б$ осы теңдеуді екі векторға екі жаққа көбейту арқылы есептеледі,

{displaystyle cos p = mathbf {s} _ {perp} cdot mathbf {u} _ {N} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} [cos varphi _ {s} sin varphi _ { t} -sin varphi _ {s} cos varphi _ {t} cos (lambda _ {t} -lambda _ {s})];}

{displaystyle sin p = mathbf {s} _ {perp} cdot mathbf {u} _ {E} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} [cos varphi _ {t} sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})].}

-Ның оралған өрнегін кірістірудің орнына $с ⊥$ , бағалау мынаны қолдануы мүмкін үш еселенген өнім айналмалы ауысымда инвариантты болып табылады дәлелдердің:

{displaystyle cos p = (mathbf {omega} imes {frac {1} {R}} mathbf {s}) cdot mathbf {u} _ {N} = omega cdot ({frac {1} {R}} mathbf {s } imes mathbf {u} _ {N}).}

Егер atan2 мәнін есептеу үшін қолданылады, екі өрнекті де бөлу арқылы азайтуға болады $cos φ т$ және көбейту $күнә θ с, т$ , өйткені бұл мәндер әрқашан оң болады және бұл амал белгілерді өзгертпейді; содан кейін тиімді

{displaystyle an p = {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})} {cos varphi _ {s} an varphi _ {t} -sin varphi _ {s} cos (lambda _ {t}) -lambda _ {s})}}.}

Сондай-ақ қараңыз

Әрі қарай оқу

Бирни, Д.Скотт; Гонсалес, Гильермо; Oesper, David (2007). Бақылау астрономиясы. Кембридж университетінің баспасы. б. 75. ISBN 978-0-521-85370-5.

Әдебиеттер тізімі

^ Абрамовиц, Милтон; Стегун, Айрин Анн, eds. (1983) [маусым 1964]. «4.3.149 тарау». Формулалары, графиктері және математикалық кестелері бар математикалық функциялар туралы анықтама. Қолданбалы математика сериясы. 55 (Тоғызыншы түзету енгізілген оныншы түпнұсқа басып шығарудың қосымша түзетулерімен қайта басу (1972 ж. Желтоқсан); бірінші ред.) Вашингтон ДС; Нью-Йорк: Америка Құрама Штаттарының Сауда министрлігі, Ұлттық стандарттар бюросы; Dover жарияланымдары. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МЫРЗА 0167642. LCCN 65-12253.

Сыртқы сілтемелер

Дибон Смиттің 150 визуалды екілік жұлдыздарының орбиталары (қол жеткізілді 26.02.26)

[AS-1] Абрамовиц, Милтон; Стегун, Айрин Анн, eds. (1983) [маусым 1964]. «4.3.149 тарау». Формулалары, графиктері және математикалық кестелері бар математикалық функциялар туралы анықтама. Қолданбалы математика сериясы. 55 (Тоғызыншы түзету енгізілген оныншы түпнұсқа басып шығарудың қосымша түзетулерімен қайта басу (1972 ж. Желтоқсан); бірінші ред.) Вашингтон ДС; Нью-Йорк: Америка Құрама Штаттарының Сауда министрлігі, Ұлттық стандарттар бюросы; Dover жарияланымдары. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МЫРЗА 0167642. LCCN 65-12253.

[1]