Керемет карта - Perfect map

Жылы математика, әсіресе топология, а тамаша карта ерекше түрі болып табылады үздіксіз функция арасында топологиялық кеңістіктер. Керемет карталар қарағанда әлсіз гомеоморфизмдер, бірақ кейбір топологиялық қасиеттерді сақтауға жеткілікті күшті жергілікті ықшамдылық үнемі карталармен сақтала бермейді.

Ресми анықтама

Келіңіздер ${displaystyle X}$ және ${displaystyle Y}$ болуы топологиялық кеңістіктер және рұқсат етіңіз ${displaystyle p}$ карта болу ${displaystyle X}$ дейін ${displaystyle Y}$ Бұл үздіксіз, жабық, сурьективті және әрқайсысы талшық ${displaystyle p ^ {- 1} (y)}$ болып табылады ықшам қатысты ${displaystyle X}$ әрқайсысы үшін ${displaystyle y}$ жылы ${displaystyle Y}$. Содан кейін ${displaystyle p}$ тамаша карта ретінде белгілі.

Мысалдар мен қасиеттер

1. Егер ${displaystyle pcolon X o Y}$ тамаша карта және ${displaystyle Y}$ болып табылады ықшам, содан кейін ${displaystyle X}$ ықшам.

2. Егер ${displaystyle pcolon X o Y}$ бұл тамаша карта және ${displaystyle X}$ болып табылады тұрақты, содан кейін ${displaystyle Y}$ тұрақты болып табылады. (Егер ${displaystyle p}$ тек үздіксіз, тіпті егер ${displaystyle X}$ тұрақты, ${displaystyle Y}$ үнемі болмауы керек. Бұған мысал бола алады ${displaystyle X}$ тұрақты кеңістік болып табылады және ${displaystyle Y}$ анықталмаған топологиядағы шексіз жиынтық.)

3. Егер ${displaystyle pcolon X o Y}$ бұл тамаша карта және егер ${displaystyle X}$ болып табылады жергілікті ықшам, содан кейін ${displaystyle Y}$ жергілікті ықшам.

4. Егер ${displaystyle pcolon X o Y}$ бұл тамаша карта және егер ${displaystyle X}$ екінші болып саналады, содан кейін ${displaystyle Y}$ болып табылады екінші есептелетін.

5. Әрқайсысы инъекциялық тамаша карта - бұл гомеоморфизм. Бұл биективті тұйық картаның үздіксіз кері сипатына ие болуынан туындайды.

6. Егер ${displaystyle pcolon X o Y}$ бұл тамаша карта және егер ${displaystyle Y}$ болып табылады байланысты, содан кейін ${displaystyle X}$ қосылудың қажеті жоқ. Мысалы, ықшам ажыратылған кеңістіктен синглтон кеңістігіне дейінгі тұрақты карта - бұл керемет карта.

7. Мінсіз карта ашық болмауы керек. Шынында да, картаны қарастырыңыз ${displaystyle pcolon [1,2] кубок [3,4] o [1,3]}$ берілген ${displaystyle p (x) = x}$ егер ${displaystyle xin [1,2]}$ және ${displaystyle p (x) = x-1}$ егер ${displaystyle xin [3,4]}$.Бұл карта жабық, үздіксіз ( лемманы қою ), ал сурьективті және сондықтан тамаша карта болып табылады (басқа шарт тривиальды қанағаттандырылады). Алайда, б кескіні үшін ашық емес [1, 2] астында б болып табылады [1, 2] қатысты ашық емес [1, 3] (ауқымы б). Бұл карта а екенін ескеріңіз квоталық карта және квитенттік жұмыс екі аралықты бір-біріне жабыстырады.

8. сияқты қасиеттерді қалай сақтау керектігіне назар аударыңыз жергілікті байланыс, екінші есептілік, жергілікті ықшамдылық т.б. ... карта тек үздіксіз ғана емес, сонымен қатар ашық болуы керек. Мінсіз карта ашық болмауы керек (алдыңғы мысалды қараңыз), бірақ бұл қасиеттер әлі күнге дейін мінсіз карталарда сақталады.

9. Кез-келген гомеоморфизм - керемет карта. Бұл а биективті ашық карта жабық және гомеоморфизм инъективті болғандықтан, диапазонның әрбір элементінің кері шегі доменде ақырлы болуы керек (шын мәнінде, кері дәл бір элементтен тұруы керек).

10. Әрбір керемет карта - бұл квоталық карта. Бұл тұйықталған, үздіксіз сурьективті картаның әрқашан квоталық карта болатындығынан туындайды.

11. Келіңіздер G үнемі әрекет ететін ықшам топологиялық топ болу X. Содан кейін квота картасы X дейін X/G тамаша карта.

Сондай-ақ қараңыз

• Ашық және жабық карталар - Ашық (респ. Жабық) ішкі жиындарды ашық (респ. Жабық) ішкі жиындарға жіберетін функция
• Кеңістік
• Дұрыс карта

Әдебиеттер тізімі

• Мункрес, Джеймс (1999). Топология (2-ші басылым). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.