Гамма функциясының ерекше мәндері - Particular values of the gamma function

The гамма функциясы маңызды болып табылады арнайы функция жылы математика. Оның белгілі бір мәндерін жабық түрінде білдіруге болады бүтін және жарты бүтін аргументтер, бірақ at мәндері үшін қарапайым өрнектер белгілі емес рационалды тұтастай алғанда ұпайлар. Басқа бөлшек аргументтерді тиімді шексіз туындылар, шексіз қатарлар және қайталану қатынастары арқылы жуықтауға болады.

Бүтін және жарты бүтін сандар

Оң бүтін аргументтер үшін гамма функциясы сәйкес келеді факторлық. Бұл,

${displaystyle Gamma (n) = (n-1) !,}$

және демек

${displaystyle {egin {aligned} Гамма (1) & = 1, Гамма (2) & = 1, Гамма (3) & = 2, Гамма (4) & = 6, Гамма (5) & = 24 , соңы {тураланған}}}$

және тағы басқа. Натурал емес сандар үшін гамма функциясы анықталмаған.

Оң жарты бүтін сандар үшін функция мәндері дәл берілген

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {n} {2}} ight) = {sqrt {pi}} {frac {(n-2) !!} {2 ^ {frac {n-1} {2}}}} ,,}$

немесе теріс емес бүтін мәндер үшін эквиваленттіn:

${displaystyle {egin {aligned} гамма солға ({frac {1} {2}} + n ight) & = {frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n}}}, {sqrt {pi}} = {frac {(2n)!} {4 ^ {n} n!}} { sqrt {pi}} гамма қалды ({frac {1} {2}} - n ight) & = {frac {(-2) ^ {n}} {(2n-1) !!}}, {sqrt {pi}} = {frac {(-4) ^ {n} n!} {( 2н)!}} {Sqrt {pi}} соңы {тураланған}}}$

қайда n!! дегенді білдіреді екі факторлы. Сондай-ақ,

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {2}} ight),}$	${displaystyle = {sqrt {pi}},}$	${displaystyle шамамен 1,772,453,850,905,516,0273 ,,}$	OEIS: A002161
${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {3} {2}} ight),}$	${displaystyle = {frac {1} {2}} {sqrt {pi}},}$	${displaystyle шамамен 0,886,226,925,452,758,0137 ,,}$	OEIS: A019704
${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {5} {2}} ight),}$	${displaystyle = {frac {3} {4}} {sqrt {pi}},}$	${displaystyle шамамен 1,329,340,388,179,137,0205 ,,}$	OEIS: A245884
${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {7} {2}} ight),}$	${displaystyle = {frac {15} {8}} {sqrt {pi}},}$	${displaystyle шамамен 3.323,350,970,447,842,5512 ,,}$	OEIS: A245885

және көмегімен рефлексия формуласы,

${displaystyle Gamma сол жақта (- {frac {1} {2}} ight),}$	${displaystyle = -2 {sqrt {pi}},}$	${displaystyle шамамен -3,544,907,701,811,032,0546 ,,}$	OEIS: A019707
${displaystyle Gamma сол жақта (- {frac {3} {2}} ight),}$	${displaystyle = {frac {4} {3}} {sqrt {pi}},}$	${displaystyle шамамен 2.363,271,801,207,354,7031 ,,}$	OEIS: A245886
${displaystyle Gamma сол жақта (- {frac {5} {2}} ight),}$	${displaystyle = - {frac {8} {15}} {sqrt {pi}},}$	${displaystyle шамамен -0.945.308.720.482.941.8812 ,,}$	OEIS: A245887

Жалпы рационалды дәлел

Жартылай бүтін формуламен ұқсас,

${displaystyle {egin {aligned} гамма солға (n + {frac {1} {3}} ight) & = Гамма қалды ({frac {1} {3}} ight) {frac {(3n-2) !!!} {3 ^ {n}}} Гамма қалды (n + {frac {1} {4}} ight) & = Гамма қалды ({frac {1} {4}} ight) {frac {(4n-3) !!!!} {4 ^ {n}}} Гамма қалды (n + {frac {1} {p}} ight) & = Гамма қалды ({frac {1} {p}} ight) {frac {{ig (} pn- (p-1) {ig)}! ^ {(p)}} {p ^ {n}}} end {aligned}}}$

қайда n!^(б) дегенді білдіреді бмың көпфакторлы туралы n. Сандық,

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {3}} ight) шамамен 2.678.938.534.707.747.6337}$ OEIS: A073005

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {4}} ight) шамамен 3.625.609.908.221.908.3119}$ OEIS: A068466

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {5}} ight) шамамен 4,590,843,711,998,803,0532}$ OEIS: A175380

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {6}} ight) шамамен 5.566,316,001,780,235,2043}$ OEIS: A175379

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {7}} ight) шамамен 6.548.062.940.247.824.4377}$ OEIS: A220086

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {8}} ight) шамамен 7.533.941.598.797.611.9047}$ OEIS: A203142.

Бұл тұрақтылардың бар-жоғы белгісіз трансцендентальды жалпы, бірақ Γ (1/3) және Γ (1/4) трансценденталды екенін көрсетті Г.В.Чудновский. Γ (1/4) / ⁴√π трансцендентальды екендігі бұрыннан белгілі, және Юрий Нестеренко 1996 жылы дәлелдеді Γ (1/4), π, және e^π болып табылады алгебралық тұрғыдан тәуелсіз.

Нөмір Γ (1/4) байланысты Гаусстың тұрақтысы G арқылы

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {4}} ight) = {sqrt {2G {sqrt {2pi ^ {3}}}}},}$

және Грамейн бұл туралы болжам жасады

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {4}} ight) = {sqrt [{4}] {4pi ^ {3} e ^ {2gamma -mathrm {delta} +1}}}}$

қайда δ болып табылады Массер-Грамейн тұрақтысы OEIS: A086058, дегенмен, сандық жұмыс Мелькионд және басқалар. бұл болжамның жалған екенін көрсетеді.^[1]

Борвейн мен Цукер мұны тапты Γ (n/24) арқылы алгебралық түрде көрсетуге болады π, Қ(к(1)), Қ(к(2)), Қ(к(3)), және Қ(к(6)) қайда Қ(к(N)) Бұл бірінші эллиптикалық толық интеграл. Бұл рационалды аргументтердің гамма-функциясын жоғары дәлдікпен тиімді жақындатуға мүмкіндік береді квадраттық конвергентті орташа арифметикалық - орташа қайталанулар. Ұқсас қатынастар белгілі емес Γ (1/5) немесе басқа бөлгіштер.

Атап айтқанда, онда AGM () болып табылады орташа арифметикалық - орташа, Бізде бар^[2]

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {3}} ight) = {frac {2 ^ {frac {7} {9}} cdot pi ^ {frac {2} {3}}} {3 ^ {frac {1} {12}} cdot операторының аты {AGM} қалды (2 , {sqrt {2+ {sqrt {3}}}} ight) ^ {frac {1} {3}}}}}$

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {4}} ight) = {sqrt {frac {(2pi) ^ {frac {3} {2}}} {оператордың аты {AGM} қалды ({sqrt {2}}, 1 түнде)}}}}$

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {6}} ight) = {frac {2 ^ {frac {14} {9}} cdot 3 ^ {frac {1} {3}} cdot pi ^ {frac {5} {6}}} {operatorname {AGM} left (1 + {sqrt {3}}, {sqrt {8}} ight) ^ {frac {2} {3}}}}.}$

Басқа формулаларға мыналар жатады шексіз өнімдер

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {4}} ight) = (2pi) ^ {frac {3} {4}} prod _ {k = 1} ^ {infty} anh left ({frac {pi k} {2}} ight)}$

және

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {4}} ight) = A ^ {3} e ^ {- {frac {G} {pi}}} {sqrt {pi}} 2 ^ {frac {1} {6}} prod _ {k = 1} ^ {infty} солға (1- {фрак {1} {2к}} ight) ^ {k (-1) ^ {k}}}$

қайда A болып табылады Глайшер-Кинкелин тұрақтысы және G болып табылады Каталондық тұрақты.

Келесі екі ұсыныс Γ (3/4) И.Мезо берген^[3]

${displaystyle {sqrt {frac {pi {sqrt {e ^ {pi}}}} {2}}} {frac {1} {Gamma ^ {2} сол жақта ({frac {3} {4}} ight)}} = isum _ {k = -infty} ^ {infty} e ^ {pi (k-2k ^ {2})} vartheta _ {1} солға ({frac {ipi} {2}} (2k-) 1), e ^ {- pi} ight),}$

және

${displaystyle {sqrt {frac {pi} {2}}} {frac {1} {Gamma ^ {2} сол жақта ({frac {3} {4}} ight)}} = sum _ {k = -infty} ^ {infty} {frac {vartheta _ {4} (ikpi, e ^ {- pi})} {e ^ {2pi k ^ {2}}}}, }$

қайда ϑ₁ және ϑ₄ екеуі Якоби тета функциялары.

Өнімдер

Өнімнің кейбір сәйкестендірулеріне мыналар кіреді:

${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {2} Гамма қалды ({frac {r} {3}} ight) = {frac {2pi} {sqrt {3}}} шамамен 3.627.598.728.468.435.7012}$ OEIS: A186706

${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {3} Гамма қалды ({frac {r} {4}} ight) = {sqrt {2pi ^ {3}}} шамамен 7.874.804.972.861.209.8721}$ OEIS: A220610

${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {4} Гамма қалды ({frac {r} {5}} ight) = {frac {4pi ^ {2}} {sqrt {5}}} шамамен 17.655,285,081,493,524,2483}$

${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {5} Гамма қалды ({frac {r} {6}} ight) = 4 {sqrt {frac {pi ^ {5}} {3}}} шамамен 40.399,319,122,003,790,0785}$

${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {6} Гамма қалды ({frac {r} {7}} ight) = {frac {8pi ^ {3}} {sqrt {7}}} шамамен 93,754,168,203,582,503,7970}$

${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {7} Гамма қалды ({frac {r} {8}} ight) = 4 {sqrt {pi ^ {7}}} шамамен 219,828,778,016,957,263,6207}$

Жалпы алғанда:

${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {n} гамма қалды ({frac {r} {n + 1}} ight) = {sqrt {frac {(2pi) ^ {n}} {n + 1}}}}$

Осы өнімдерден басқа мәндерді шығаруға болады, мысалы, үшін бұрынғы теңдеулерден ${displaystyle prod _ {r = 1} ^ {3} Гамма қалды ({frac {r} {4}} ight)}$, ${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {1} {4}} ight)}$ және ${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {2} {4}} ight)}$, шығаруға болады:

${displaystyle Gamma сол жақта ({frac {3} {4}} ight) = сол жақ ({frac {pi} {2}} ight) ^ {frac {1} {4}} {оператордың аты {AGM} қалды ({sqrt {2}}, 1 ight)} ^ {frac {1} {2}}}$

Басқа рационалды қатынастарға жатады

${displaystyle {frac {гамма сол жақта ({frac {1} {5}} түн) Гамма солға ({frac {4} {15}} ight)} {Гамма сол жақта ({frac {1} {3}} түн) Гамма сол жақта ({frac {2} {15}} ight)}} = {frac {{sqrt {2}}, {sqrt [{20}] {3}}} {{sqrt [{6}] {5}}, {sqrt [{4}] {5- {frac {7} {sqrt {5}}} + {sqrt {6- {frac {6} {sqrt {5}}}}}}}}}}}$

${displaystyle {frac {гамма сол жақта ({frac {1} {20}} ight) сол жақтағы гамма ({frac {9} {20}}) ight)} {Гамма сол жақта ({frac {3} {20}} ight) гамма сол жақта ({frac {7} {20}} ight)}} = {frac {{sqrt [{4}] {5}} қалды (1+ {sqrt {5}} кеш)} {2}}}$^[4]

${displaystyle {frac {гамма сол жақта ({frac {1} {5}} ight) ^ {2}} {Гамма сол жақта ({frac {1} {10}} ight) сол жақта гамма ({frac {3} {10}}) ight)}} = {frac {sqrt {1+ {sqrt {5}}}} {2 ^ {frac {7} {10}} {sqrt [{4}] {5}}}}}$

үшін көптеген қатынастар Γ (n/г.) мұндағы бөлгіш 24 немесе 60-қа бөлінеді.^[5]

Алгебралық мәндері бар гамма квотенттері бөлгіш пен бөлгіш үшін аргументтердің қосындысы бірдей (1-модуль) болатын мағынада «дайын» ​​болуы керек.

Неғұрлым күрделі мысал:

${displaystyle {frac {гамма сол жақта ({frac {11} {42}} ight) гамма сол жақта ({frac {2} {7}} ight)} {Гамма сол жақта ({frac {1} {21}} ight) гамма сол жақта ({frac {1} {2}} ight)}} = {frac {8sin қалды ({frac {pi} {7}} ight) {sqrt {sin left ({frac {pi} {21}} ight) күнә қалды ({frac {4pi} {21}} ight) күнә қалды ({frac {5pi} {21}} ight)}}} {2 ^ {frac {1} {42}} 3 ^ {frac {9} {28}} 7 ^ {frac {1} {3}}}}}$^[6]

Ойдан шығарылған және күрделі дәлелдер

Гамма функциясы ойдан шығарылған бірлік мен = √−1 береді OEIS: A212877, OEIS: A212878:

${displaystyle Gamma (i) = (- 1 + i)! шамамен -0.1549-0.4980i.}$

Ол сонымен қатар Барнс G-функция:

${displaystyle Gamma (i) = {frac {G (1 + i)} {G (i)}} = e ^ {- log G (i) + log G (1 + i)}.}$

Бір қызығы, ${displaystyle Gamma (i)}$ төмендегі интегралды бағалауда көрінеді:^[7]

${displaystyle int _ {0} ^ {pi / 2} {cot (x)}, dx = 1- {frac {pi} {2}} + {frac {i} {2}} log log ({frac {pi) } {sinh (pi) Gamma (i) ^ {2}}} ight).}$

Мұнда ${displaystyle {cdot}}$ дегенді білдіреді бөлшек бөлігі.

Себебі Эйлердің рефлексия формуласы және бұл ${displaystyle Gamma ({ar {z}}) = {ar {Gamma}} (z)}$, бізде гамма функциясының квадрат модулі үшін өрнек бар:

${displaystyle сол | Гамма (икаппа) ight | ^ {2} = {frac {pi} {kappa sinh (pi kappa)}}}$

Жоғарыда аталған интеграл фазаның фазасына қатысты ${displaystyle Gamma (i)}$.

Басқа күрделі аргументтермен гамма-функция қайтарылады

${displaystyle Gamma (1 + i) = iGamma (i) шамамен 0.498-0.155i}$

${displaystyle Gamma (1-i) = - iGamma (-i) шамамен 0.498 + 0.155i}$

${displaystyle Gamma ({frac {1} {2}} + {frac {1} {2}} i) шамамен 0,818,163,9995-0.763,313,8287, i}$

${displaystyle Gamma ({frac {1} {2}} - {frac {1} {2}} i) шамамен 0,818,163,9995 + 0,763,313,8287, i}$

${displaystyle Gamma (5 + 3i) шамамен 0,016,041,8827-9,433,293,2898, i}$

${displaystyle Gamma (5-3i) шамамен 0,016,041,8827 + 9,433,293,2898, мен.}$

Басқа тұрақтылар

Гамма функциясы a жергілікті минимум оң нақты осьте

${displaystyle x_ {min} = 1.461,632,144,968,362,341,262ldots,}$ OEIS: A030169

мәнімен

${displaystyle гамма сол жақта (x_ {мин}) ight) = 0,885,603,194,410,888ldots,}$ OEIS: A030171.

Интеграциялау өзара гамма-функция оң нақты ось бойымен де береді Франсен – Робинсон тұрақты.

Теріс нақты осьте бірінші жергілікті максимумдар мен минимумдар (нөлдер дигамма функциясы ) мыналар:

Жергілікті экстремасы Γ (х)

х	Γ (х)	OEIS
−0.5040830082644554092582693045	−3.5446436111550050891219639933	OEIS: A175472
−1.5734984731623904587782860437	−2.3024072583396801358235820396	OEIS: A175473
−2.6107208684441446500015377157	−0.8881363584012419200955280294	OEIS: A175474
−3.6352933664369010978391815669	−0.2451275398343662504382300889	OEIS: A256681
−4.6532377617431424417145981511	−0.0527796395873194007604835708	OEIS: A256682
−5.6671624415568855358494741745	−0.0093245944826148505217119238	OEIS: A256683
−6.6784182130734267428298558886	−0.0013973966089497673013074887	OEIS: A256684
−7.6877883250316260374400988918	−0.0001818784449094041881014174	OEIS: A256685
−8.6957641638164012664887761608	−0.0000209252904465266687536973	OEIS: A256686
−9.7026725400018637360844267649	−0.0000021574161045228505405031	OEIS: A256687

Сондай-ақ қараңыз

• Chowla – Selberg формуласы

Әдебиеттер тізімі

• Gramain, F. (1981). «Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond». Өнертабыс. Математика. 63 (3): 495–506. Бибкод:1981InMat..63..495G. дои:10.1007 / BF01389066.
• Борвейн, Дж. М .; Цукер, И. Дж. (1992). «Бірінші түрдегі толық эллиптикалық интегралдарды қолдану арқылы кіші рационалды фракциялар үшін гамма функциясын жылдам бағалау». IMA сандық талдау журналы. 12 (4): 519–526. дои:10.1093 / imanum / 12.4.519. МЫРЗА  1186733.
• X. Гурдон және П. Себах. Гамма функциясына кіріспе
• С.Финч. Эйлер гамма функциясының тұрақтылары^{[өлі сілтеме ]}
• Вайсштейн, Эрик В. «Гамма функциясы». MathWorld.
• Видунас, Раймундас (2005). «Гамма-функцияның мәндеріне арналған өрнектер». Математика журналы Кюсю. 59 (2): 267–283. arXiv:math.CA/0403510. дои:10.2206 / kushushm.59.267.
• Видунас, Раймундас (2005). «Гамма-функцияның мәндеріне арналған өрнектер». Математика. 59 (2): 267–283. arXiv:математика / 0403510. дои:10.2206 / kushushm.59.267. МЫРЗА  2188592.
• Адамчик, В.С. (2005). «Бірнеше гамма функциясы және оны серияларды есептеуге қолдану» (PDF). Ramanujan журналы. 9 (3): 271–288. arXiv:математика / 0308074. дои:10.1007 / s11139-005-1868-3. МЫРЗА  2173489.
• Герцог В .; Имамоглу, Ө. (2006). «Бірнеше гамма функцияларының ерекше мәндері» (PDF). Journal of Théorie des Nombres de Bordeaux. 18 (1): 113–123. дои:10.5802 / jtnb.536. МЫРЗА  2245878.