Ашық карта теоремасы (кешенді талдау) - Open mapping theorem (complex analysis)

Жылы кешенді талдау, ашық картографиялық теорема егер болса U Бұл домен туралы күрделі жазықтық C және f : UC тұрақты емес голоморфтық функция, содан кейін f болып табылады ашық картаны (яғни ол ашық ішкі жиындарды жібереді U ішкі жиындарын ашу Cжәне бізде бар доменнің инварианттылығы.).

Ашық картографиялық теорема голоморфия мен нақты-дифференциалдық арасындағы күрт айырмашылықты көрсетеді. Үстінде нақты сызық, мысалы, дифференциалданатын функция f(х) = х2 кескіні сияқты ашық карта емес ашық аралық (−1, 1) - жартылай ашық аралық [0, 1).

Мысалы, теорема тұрақты емес дегенді білдіреді голоморфтық функция ашық дискіні салыстыра алмайды үстінде күрделі жазықтыққа салынған кез-келген сызықтың бөлігі. Холоморфты функциялардың суреттері нөлдік өлшемде (тұрақты болса) немесе екіде болуы мүмкін (егер тұрақты емес болса), бірақ ешқашан 1 өлшемде болмайды.

Дәлел

Қара нүктелер нөлдерді білдіреді ж(з). Қара аннули полюстерді білдіреді. Ашық жиынтықтың шекарасы U үзік сызықпен беріледі. Барлық полюстер ашық жиынтықтың сыртынан екенін ескеріңіз. Кішірек қызыл диск B, орталығы з0.

Болжам f : UC тұрақты емес голоморфты функция болып табылады және U Бұл домен күрделі жазықтықтың Біз мұны әрқайсысын көрсетуіміз керек нүкте жылы f(U) болып табылады ішкі нүкте туралы f(U), яғни әрбір нүкте f(U) көрші (ашық диск) бар, ол да бар f(U).

Ерікті қарастырайық w0 жылы f(U). Сонда бір нүкте бар з0 жылы U осындай w0 = f(з0). Бастап U ашық, біз таба аламыз г. Жабық диск сияқты> 0 B айналасында з0 радиусымен г. толығымен қамтылған U. Функцияны қарастырыңыз ж(з) = f(з)−w0. Ескертіп қой з0 Бұл тамыр функциясы.

Біз мұны білеміз ж(з) тұрақты және голоморфты емес. Тамыры ж оқшауланған сәйкестілік теоремасы, және кескін дискісінің радиусын одан әрі азайту арқылы г., біз бұған сенімді бола аламыз ж(з) тек бір түбірі бар B (дегенмен бұл жалғыз түбірдің еселігі 1-ден үлкен болуы мүмкін).

Шекарасы B шеңбер болып табылады, демек а ықшам жинақ, ол бойынша |ж(з) оң болып табылады үздіксіз функция, сондықтан шекті мән теоремасы оң минимумның болуына кепілдік береді e, Бұл, e минимум болып табыладыж(з) үшін з шекарасында B және e > 0.

Белгілеу Д. айналасындағы ашық диск w0 бірге радиусы e. Авторы Руше теоремасы, функциясы ж(з) = f(з)−w0 тамырларының бірдей санына ие болады (еселікпен есептеледі) B сияқты сағ(з):=f(з)−w1 кез келген үшін w1 жылы Д.. Бұл себебі сағ(з) = ж(з) + (w0 - w1) және үшін з шекарасында B, |ж(з)| ≥ e > |w0 - w1|. Осылайша, әрқайсысы үшін w1 жылы Д., кем дегенде біреуі бар з1 жылы B осындай f(з1) = w1. Бұл дегеніміз, диск Д. ішінде орналасқан f(B).

Доптың бейнесі B, f(B) кескіннің ішкі жиыны болып табылады U, f(U). Осылайша w0 ішкі нүктесі болып табылады f(U). Бастап w0 жылы болды f(U) біз мұны білеміз f(U) ашық. Бастап U ерікті болды, функциясы f ашық.

Қолданбалар

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Рудин, Вальтер (1966), Нақты және кешенді талдау, McGraw-Hill, ISBN  0-07-054234-1