Multibrot жиынтығы - Multibrot set

Медиа ойнату

Multibrot жиынтығының бейнесін ойнату үшін нұқыңыз г. 0-ден 8-ге дейін өзгереді

Математикада а мультиброт жиынтығы ішіндегі мәндер жиынтығы күрделі жазықтық оның абсолюттік мәні жалпы мүшенің қайталанулары кезінде кейбір шекті мәндерден төмен болып қалады бір айнымалы көпмүшелік отбасы рекурсиялар.^[1][2][3] Атауы а портманто бірнеше және Mandelbrot орнатылды. Дәл солай қолдануға болады Джулия жиналды, осылай аталады мульти Джулия.

${displaystyle zmapsto z ^ {d} + c.,}$

қайда г. ≥ 2. Көрсеткіш г. одан әрі теріс және бөлшек мәндерге жалпылауға болады.^[4]

Мысалдар^[5][6]

Іс

${displaystyle d = 2,}$

классикалық Mandelbrot орнатылды аты шыққан.

-Дің басқа мәндеріне арналған жиынтықтар г. сонымен қатар фракталдық бейнелерді көрсетеді^[7] олар күрделі жазықтықта салынған кезде.

Әр түрлі күштердің мысалдарының әрқайсысы г. Төменде бірдей масштабта кескінделген. Мәні c жиынтыққа жататындар қара. Мәні c рекурсия кезінде шексіз мәні бар және осылайша жиынтыққа жатпайтын әр түрлі түстермен кескінделеді, олар контур ретінде көрсетіледі, бұл мән Escape Time алгоритмінде белгіленген шамадан асып түскен рекурсиялар санына байланысты.

Оң күштер

Мысал г. = 2 бұл бастапқы Mandelbrot жиынтығы. Мысалдары г. > 2 деп аталады мультиброт жиынтықтары. Бұл жиынтықтар шығу тегі кіреді және фрактальды периметрі бар (г. - 1) -қатысты айналу симметриясы.

з ↦ з2 + c

з ↦ з3 + c

з ↦ з4 + c

з ↦ з5 + c

з ↦ з6 + c

з ↦ з96 + c

з ↦ з96 + c егжей-тегжейлі x40

Теріс күштер

Қашан г. жиынтықтың айналасы теріс, бірақ шығу тегі кірмейді. Топтама мен шығу тегі арасындағы контурларда, жұлдыз тәрізді аймақта қызықты күрделі мінез-құлық бар (1 − г.) -қатысты айналу симметриясы. Жиынтықтардың шеңберлік периметрі бар сияқты, бірақ бұл тек Escape Time алгоритмімен рұқсат етілген бекітілген максималды радиустың артефактісі және барлық бағыттарда шексіздікке дейін созылатын жиынтықтардың шегі емес.

з ↦ з−2 + c

з ↦ з−3 + c

з ↦ з−4 + c

з ↦ з−5 + c

з ↦ з−6 + c

Бөлшек күштер

Көрсеткіш бойымен көрсету

Альтернативті әдіс - экспонентті тік ось бойымен көрсету. Бұл нақты немесе ойдан шығарылған мәнді бекітуді, ал қалған мәнді көлденең ось бойынша көрсетуді қажет етеді. Алынған жиынтық тігінен тар бағаннан бастап шексіздікке дейін көтеріледі. Үлкейту күрделене түсетіндігін көрсетеді. Алғашқы көрнекті төмпешік немесе жіңішке дәстүрлі Мандельброттың көлденең қимасында орналасқан 2-нің дәрежесінде көрінеді. Мұндағы үшінші кескін нақты және елестететін осьтер арасында 45 градус бұрышта бекітілген жазықтықта көрсетілген.^[8]

Көлденең ось бойынша нақты мәнмен және тік ось бойынша көрсеткішпен, мультипрот, нөлге бекітілген ойдан шығарылған мәнмен көрсетілген

Көлденең осінде ойдан шығарылған мәнмен және тік ось бойынша көрсеткішпен, нақты мәні нөлге бекітілген мультитрот

Нақты және елестететін осьтер арасында 45 градусқа бұрыштық жазықтық бойымен тік ось бойынша көрсеткішпен көрсетілген мультитрот.

Кескіндер ұсынылуда

Жоғарыда аталған барлық кескіндер жиыннан тыс нүктелерді қарапайым түрде анықтайтын Escape Time алгоритмі арқылы беріледі. Фрактальды деталь әлдеқайда үлкен Ляпуновтың экспоненті,^[9] төмендегі мысалда көрсетілгендей. Ляпунов көрсеткіші - берілген тізбектің қателік өсу жылдамдығы. Алдымен қайталану ретін есептеңіз N итерация, содан кейін дәрежені есептеңіз

${displaystyle lambda = lim _ {N o infty} {frac {1} {N}} ln | mathbf {z} |}$

егер көрсеткіш теріс болса, реттілік тұрақты болады. Суреттегі ақ пикселдер - параметрлер c ол үшін экспонент позитивті, тұрақсыз. Түстерде орбиталар тартылатын циклдардың кезеңдері көрсетілген. Қою-көк түске боялған барлық нүктелер (сыртында) бекітілген нүктемен, ортасындағы барлық нүктелер (ашық көк) 2-ші циклмен және т.с.с. тартылады.

Қайталауға арналған мультиброттық жиынтықтың үлкейтілген бірінші квадранты з ↦ з⁻² + c Escape Time алгоритмімен көрсетілген.

Қайталауға арналған мультиброттық жиынтықтың үлкейтілген бірінші квадранты з ↦ з⁻² + c Escape Time алгоритмін қолданудың орнына тұрақтылық критерийі ретінде дәйектіліктің Ляпунов көрсеткішін қолдану арқылы көрсетілген. Жиілікті орбита циклдарының кезеңіне сәйкес бояу үшін кезеңділікті тексеру қолданылды.

Псевдокод

УАҚЫТ АЛГОРИТМІНЕН ҚАШЫҢЫЗ =======================әрқайсысы үшін экрандағы пиксель істеу    x = x0 = x пикселінің координатасы y = y0 = y пиксельдің қайталануының координатасы: = 0 max_iteration: = 1000 уақыт (x * x + y * y ≤ (2 * 2) және қайталау істеу        / * Төмендегі кестеден Z ^ d үшін кодты енгізу (-лер) * / қайталау: = қайталау + 1 егер қайталау = максимум_қайталау содан кейін        түс: = қара басқа        түс: = қайталану сызбасы (x0, y0, түс)

Кешенді мән з координаттары бар (х,ж) күрделі жазықтықта және осы кестеде көрсетілген кодтар бойынша итерация циклінің ішіндегі әртүрлі қуатқа дейін көтеріледі. Кестеде көрсетілмеген өкілеттіктерді көрсетілген кодтарды біріктіру арқылы алуға болады.

d = x ^ 4 + 2 * x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4if d = 0, содан кейін ESCAPExtmp = (x ^ 2-y ^ 2) / d + ay = -2 * x * y / d + bx = xtmp 

d = x ^ 2 + y ^ 2if d = 0, содан кейін ESCAPEx = x / d + ay = -y / d + b 

xtmp = x ^ 2-y ^ 2 + ay = 2 * x * y + bx = xtmp 

xtmp = x ^ 3-3 * x * y ^ 2 + ay = 3 * x ^ 2 * y-y ^ 3 + bx = xtmp 

xtmp = x ^ 5-10 * x ^ 3 * y ^ 2 + 5 * x * y ^ 4 + ay = 5 * x ^ 4 * y-10 * x ^ 2 * y ^ 3 + y ^ 5 + bx = xtmp

xtmp = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * cos (n * atan2 (y, x)) + ay = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * sin ( n * atan2 (y, x)) + bx = xtmp

Әдебиеттер тізімі