Біртектес Безут теоремасы - Multi-homogeneous Bézout theorem

Жылы алгебра және алгебралық геометрия, біртектес Безут теоремасы -ның көптеген біртекті полиномдарына жалпылау болып табылады Безут теоремасы, жиынының оқшауланған жалпы нөлдерінің санын есептейді біртекті көпмүшелер. Бұл жалпылауға байланысты Игорь Шафаревич.^[1]

Мотивация

Берілген көпмүшелік теңдеу немесе а көпмүшелік теңдеулер жүйесі көбінесе шешімдерді есептемей-ақ шешімдердің санын есептеу немесе оларды байланыстыру пайдалы болады.

Бірыңғай теңдеу жағдайында бұл есеп шешіледі алгебраның негізгі теоремасы, деп санайды күрделі шешімдер дәрежесі көпмүшенің, теңдікпен, егер шешімдері олармен есептелсе еселіктер.

Жүйесі болған жағдайда $n$ көпмүшелік теңдеулер $n$ белгісіз, мәселе шешіледі Безут теоремасы, егер бұл күрделі шешімдер саны шектеулі болса, олардың саны ерітінділердің дәрежелерінің көбейтіндісімен шектеледі деп бекітеді. Сонымен қатар, егер шешімдер саны болса шексіздікте ақырлы болады, онда дәрежелердің көбейтіндісі еселіктермен есептелген және шексіздік деңгейіндегі шешімдерді қосқандағы шешімдер санына тең болады.

Алайда, шексіздіктегі шешімдер саны шексіз болатыны жиі кездеседі. Бұл жағдайда көпмүшелік дәрежелерінің көбейтіндісі түбірлер санынан әлдеқайда көп болуы мүмкін, ал жақсырақ шекаралары пайдалы.

Біртектес Безут теоремасы белгісіздерді бірнеше ішкі жиынға бөлуге болатындай жақсы түбір береді, сондықтан әрбір ішкі жиындағы әр көпмүшенің дәрежесі көпмүшенің жалпы дәрежесінен төмен болады. Мысалы, рұқсат етіңіз ${ displaystyle p_ {1}, ldots, p_ {2n}}$ бір дәрежелі екінші дәрежелі көпмүшелер болыңыз $n$ анықталмаған ${ displaystyle x_ {1}, ldots x_ {n},}$ сонымен қатар бір дәрежелі ${ displaystyle y_ {1}, ldots y_ {n}.}$ (бұл - көпмүшелер айқын емес. Бұл жағдайда Безут теоремасы шешімдердің санын шектейді

{ displaystyle 2 ^ {2n},}

ал біртектес Безут теоремасы байланысты (қолдану арқылы) береді Стирлингтің жуықтауы )

{ displaystyle { binom {2n} {n}} = { frac {(2n)!} {(n!) ^ {2}}} sim { frac {2 ^ {2n}} { sqrt { pi n}}}.}

Мәлімдеме

A көптекті көпмүшелік Бұл көпмүшелік Бұл біртекті бірнеше айнымалылар жиынтығына қатысты.

Дәлірек қарастырайық $к$ натурал сандар ${ displaystyle n_ {1}, ldots, n_ {k}}$ , және, үшін $мен = 1, ..., к$ , ${ displaystyle n_ {i} +1}$ анықталмайды ${ displaystyle x_ {i, 0}, x_ {i, 1}, ldots, x_ {i, n}.}$ Барлық осы анықталмағандағы көпмүше біртекті болып табылады көп дәрежелі ${ displaystyle d_ {1}, ldots, d_ {k},}$ егер ол дәреже біртекті болса ${ displaystyle d_ {i}}$ жылы ${ displaystyle x_ {i, 0}, x_ {i, 1}, ldots, x_ {i, n}.}$

A көп проективті әртүрлілік Бұл проективті кіші түр өнімнің проективті кеңістіктер

{ displaystyle mathbb {P} _ {n_ {1}} times cdots times mathbb {P} _ {n_ {k}},}

қайда ${ displaystyle mathbb {P} _ {n}}$ өлшемнің проективті кеңістігін белгілеңіз $n$ . Мульти-проективті әртүрлілік «біртекті емес» көпмүшеліктер идеалының ортақ нейтривалды нөлдерінің жиыны ретінде анықталуы мүмкін, мұндағы «нейтривиалды» дегеніміз ${ displaystyle x_ {i, 0}, x_ {i, 1}, ldots, x_ {i, n}}$ бір уақытта 0-ге тең емес, әрқайсысы үшін $мен$ .

Безут теоремасы деп бекітеді $n$ дәреженің біртекті полиномдары ${ displaystyle d_ {1}, ldots, d_ {n}}$ жылы $n + 1$ анықталмаған не анықтайды алгебралық жиынтық оң өлшем, немесе тұратын нөлдік алгебралық жиынтық ${ displaystyle d_ {1} cdots d_ {n}}$ олардың еселіктерімен есептелген ұпайлар.

Безут теоремасын қорыту үшін жаңа анықталмағандарды енгізу ыңғайлы ${ displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {k},}$ және көп дәрежені көрсету ${ displaystyle d_ {1}, ldots, d_ {k}}$ сызықтық форма бойынша ${ displaystyle mathbf {d} = d_ {1} t_ {1} + cdots + d_ {k} t_ {k}.}$ Келесіде, «көп дәреже» дәрежелер ретіне емес, осы сызықтық түрге сілтеме жасайды.

Параметр ${ displaystyle n = n_ {1} + cdots + n_ {k},}$ The біртектес Безут теоремасы келесі.

Жоғарыдағы белгімен $n$ көп дәрежелі көп гомогенді көпмүшелер ${ displaystyle mathbf {d} _ {1}, ldots, mathbf {d} _ {n}}$ позитивті өлшемдердің көп проективті алгебралық жиынын немесе нөлдік алгебралық жиынтығын анықтаңыз $B$ еселіктермен есептелген ұпайлар, қайда $B$ коэффициенті болып табылады

{ displaystyle t_ {1} ^ {n_ {1}} cdots t_ {k} ^ {n_ {k}}}

сызықтық формалардың көбейтіндісінде

{ displaystyle mathbf {d} _ {1} cdots mathbf {d} _ {n}.}

Біртекті емес жағдай

Ерітінділер санына байланысты біртекті Bézout полиномдар (көп) - болуы мүмкін біртекті емес теңдеулер жүйесі үшін қолданылуы мүмкін.біртектес жалпы дәрежені арттырмай. Алайда, егер бұл жағдайда «шексіздікте» шешімдер болса, шекара айқын болмауы мүмкін.

Зерттелген проблема туралы түсінік болмаса, «жақсы» көп гомогенизация үшін айнымалыларды топтастыру қиын болуы мүмкін. Бақытымызға орай, мұндай топтасу тікелей модельденген проблемадан туындайтын көптеген мәселелер бар. Мысалы, in механика, теңдеулер жалпы ұзындықтар мен масса бойынша біртектес немесе біртектес болады.

Әдебиеттер тізімі

^ I. R. Shafarevich, Негізгі алгебралық геометрия, Springer Study Edition, Springer-Verlag, Берлин, 1977, Орыс тілінен аударған К.А. Хирш; Grundlehren der matemischen Wissenschaften қайта өңделген баспа, т. 213, 1974 ж.

Бұл байланысты алгебралық геометрия мақала бұта. Сіз Уикипедияға көмектесе аласыз оны кеңейту.

[1] I. R. Shafarevich, Негізгі алгебралық геометрия, Springer Study Edition, Springer-Verlag, Берлин, 1977, Орыс тілінен аударған К.А. Хирш; Grundlehren der matemischen Wissenschaften қайта өңделген баспа, т. 213, 1974 ж.

[1]