Мономиялық идеал - Википедия - Monomial ideal

Жылы абстрактілі алгебра, а мономдық идеал болып табылады идеалды жасаған мономиалды заттар көпөлшемді көпмүшелік сақина астам өріс.

A toric ideal мономиалдардың айырмашылықтарынан туындаған идеал (егер идеал а болған жағдайда негізгі идеал ). Аффине немесе проективті алгебралық әртүрлілік Ториктік идеалмен немесе біртекті ториктік идеалмен анықталған аффине немесе проективті болып табылады торик әртүрлілігі, мүмкін қалыпты емес.

Анықтамалары мен қасиеттері

Келіңіздер өріс болу және болуы көпмүшелік сақина аяқталды бірге n айнымалылар .

A мономиялық жылы өнім болып табылады үшін n-тупле теріс емес бүтін сандар.

Келесі үш шарт үшін тең идеалды :

  1. мономиалды құралдармен жасалады,
  2. Егер , содан кейін , деген шартпен нөл емес.
  3. болып табылады торус бекітілген, яғни берілген , содан кейін әрекет шеңберінде бекітіледі барлығына .

Біз мұны айтамыз Бұл мономдық идеал егер ол осы баламалы шарттардың кез келгенін қанағаттандырса.

Мономиялық идеал берілген , ішінде егер әрбір мономиялық идеалды термин болса ғана туралы бірінің еселігі .[1]

Дәлел:Айталық және сол ішінде . Содан кейін , кейбіреулер үшін .

Барлығына , біз әрқайсысын білдіре аламыз мономиалдардың қосындысы ретінде, сондықтан -ның еселіктерінің қосындысы түрінде жазуға болады . Демек, кем дегенде біреуіне арналған мономикалық мүшелердің еселіктерінің қосындысы болады .

Керісінше, рұқсат етіңіз және әрбір мономиялық терминнің ішіне кірсін біреуінің еселігі болу жылы . Содан кейін әрбір мономиялық термин әрбір мономиядан анықтауға болады . Демек формада болады кейбіреулер үшін , нәтижесінде .

Төменде мономиялық және көпмүшелік идеалдардың мысалы келтірілген.

Келіңіздер содан кейін көпмүше ішінде Мен, өйткені әрбір термин элементтің еселігі болып табылады Дж, яғни оларды қайта жазуға болады және екеуі де I. Алайда, егер , содан кейін бұл көпмүше жоқ Дж, өйткені оның шарттары элементтердің еселігі емес Дж.

Мономиялық идеалдар және жас диаграммалар

Мономиялық идеалды а деп түсіндіруге болады Жас диаграмма. Айталық , содан кейін минималды мономия генераторлары тұрғысынан түсіндіруге болады , қайда және . Минималды мономиялық генераторлар Янг диаграммасының ішкі бұрыштары ретінде қарастыруға болады. Минималды генераторлар баспалдақ сызбасын қайда салатынымызды анықтайтын еді.[2]Мономиялар кірмейді баспалдақтың ішінде жатыр, ал бұл мономальдар үшін векторлық кеңістіктің негізін құрайды сақина .

Келесі мысалды қарастырайық. Келіңіздер мономиялық идеал болу. Содан кейін тор нүктелерінің жиынтығы минималды мономиялық генераторларға сәйкес келеді жылы . Содан кейін суретте көрсетілгендей, қызғылт Янг диаграммасы құрамында жоқ мономиалдардан тұрады . Жас диаграмманың ішкі бұрыштарындағы нүктелер минималды мономалдылықтарды анықтауға мүмкіндік береді жылы жасыл қораптарда көрсетілгендей. Демек, .

Жас диаграмма және оның мономиялық идеалмен байланысы.

Жалпы, кез-келген тор нүктелерінің жиынтығына біз Янг диаграммасын байланыстыра аламыз, осылайша мономалды идеал баспалдақ диаграммасын құрайтын ішкі бұрыштарды анықтау арқылы құрылады; сол сияқты, мономалды идеалды ескере отырып, біз Жас диаграммасын және оларды Жас диаграмманың ішкі бұрыштары ретінде бейнелейді. Ішкі бұрыштардың координаттары минималды мономенттердің қуатын білдіреді . Осылайша, мономиялық идеалдарды бөлімдердің жас диаграммалары арқылы сипаттауға болады.

Оның үстіне -әрекет жиынтығында осындай сияқты векторлық кеңістік аяқталды сәйкес келетін тек мономиялық идеалдарға сәйкес келетін тұрақты нүктелері бар бөлімдер өлшемі nжас диаграммалармен анықталған n қораптар.

Мономиялық тапсырыс және Гробнер негіздері

A мономды тапсырыс құдыққа тапсырыс беру болып табылады мономиялар жиынтығында, егер мономиалды болып табылады .

Бойынша мономдық тәртіп, біз көпмүшеге келесі анықтамаларды айта аламыз .

Анықтама[1]

  1. Идеалды қарастырыңыз және тұрақты мономды тапсырыс. The жетекші мерзім нөлдік емес көпмүшелік , деп белгіленеді - максималды тәртіптің мономиялық мүшесі және жетекші мерзімі болып табылады .
  2. The жетекші терминдердің идеалы, деп белгіленеді , бұл идеалдағы әрбір элементтің жетекші терминдері тудыратын идеал, яғни .
  3. A Gröbner негізі идеал үшін - бұл генераторлардың ақырғы жиынтығы үшін оның жетекші терминдері барлық жетекші терминдердің идеалын тудырады , яғни, және .

Ескертіп қой тұтастай алғанда қолданылған тапсырысқа байланысты; мысалы, егер біз таңдасақ лексикографиялық тәртіп қосулы бағынышты х > ж, содан кейін , бірақ егер алсақ ж > х содан кейін .

Сонымен қатар, мономиалдар бар Gröbner негізі және бірнеше айнымалысы бар көпмүшеліктерді бөлу алгоритмін анықтау.

Мономалды идеал үшін бұған назар аударыңыз , генераторлардың ақырғы жиынтығы үшін Gröbner негізі болып табылады . Мұны көру үшін кез-келген көпмүшелікке назар аударыңыз ретінде көрсетілуі мүмкін үшін . Содан кейін жетекші мерзім бұл біреу үшін еселік . Нәтижесінде, арқылы жасалады сияқты.

Сондай-ақ қараңыз

Сілтемелер

Әдебиеттер тізімі

  • Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005), Комбинаторлық коммутативті алгебра, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 227, Нью Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-22356-8
  • Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Реферат Алгебра (үшінші ред.), Нью Йорк: Джон Вили және ұлдары, ISBN  978-0-471-43334-7

Әрі қарай оқу