Жылы математика, Минковский-Штайнер формуласы қатысты формула болып табылады бетінің ауданы және көлем туралы ықшам ішкі жиындар туралы Евклид кеңістігі. Дәлірек айтқанда, ол беткі қабатты тиісті мағынада жабық көлемнің «туындысы» ретінде анықтайды.
Минковский-Штайнер формуласы бірге қолданылады Брунн-Минковский теоремасы, дәлелдеу үшін изопериметриялық теңсіздік. Оған байланысты Герман Минковский және Якоб Штайнер.
Минковский-Штайнер формуласының тұжырымы
Келіңіздер
және рұқсат етіңіз
ықшам жинақ. Келіңіздер
белгілеу Лебег шарасы (көлем)
. Шағын анықтаңыз
бойынша Минковский-Штайнер формуласы
![{ displaystyle lambda ( жартылай A): = liminf _ { delta -дан 0} { frac { mu left (A + { overline {B _ { delta}}} right) - mu ( A)} { delta}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9c059476863101adf13e1c4d1573364d8e1cfa)
қайда
![{ displaystyle { overline {B _ { delta}}}: = left {x = (x_ {1}, dots, x_ {n}) in mathbb {R} ^ {n} left | | x |: = { sqrt {x_ {1} ^ {2} + нүктелер + x_ {n} ^ {2}}} leq delta right. right }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a686090f6ff563b84a441b07e2934abb2cb2b2)
дегенді білдіреді жабық доп туралы радиусы
, және
![{ displaystyle A + { overline {B _ { delta}}}: = left {a + b in mathbb {R} ^ {n} left | a in A, b in { overline { B _ { delta}}} right. Right }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6874741ef167e63fd456a6bb563c0ade5bbd27)
болып табылады Минковский сомасы туралы
және
, сондай-ақ
![{ displaystyle A + { overline {B _ { delta}}} = left {x in mathbb {R} ^ {n} { mathrel {|}} { mathopen {|}} xa { mathclose {|}} leq delta { mbox {үшін}} a in A right }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac67f06aa4f6b32163cabc20965c38607b2ae7f2)
Беттік өлшем
«Жеткілікті түрде тұрақты» жиынтықтар үшін
, саны
шынымен сәйкес келеді
-өлшемдік өлшем шекара
туралы
. Бұл мәселені толық емдеу үшін Федерерді (1969) қараңыз.
Дөңес жиынтықтар
Кезде жиынтығы
Бұл дөңес жиынтық, лим-инф жоғарыда шындық бар шектеу және біреу мұны көрсете алады
![{ displaystyle mu left (A + { overline {B _ { delta}}} right) = mu (A) + lambda ( ішінара A) delta + sum _ {i = 2} ^ { n-1} lambda _ {i} (A) delta ^ {i} + omega _ {n} delta ^ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60992e1039ed0f947861c1ff7bb358290aa3c5df)
қайда
кейбіреулері үздіксіз функциялар туралы
(қараңыз квермасинтегралдар ) және
өлшемін (көлемін) білдіреді бірлік доп жылы
:
![{ displaystyle omega _ {n} = { frac {2 pi ^ {n / 2}} {n Gamma (n / 2)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d158853c918225e81a5c9f6ef963fb33b3a27780)
қайда
дегенді білдіреді Гамма функциясы.
Мысалы: доптың көлемі мен беткі ауданы
Қабылдау
бетінің ауданы үшін келесі белгілі формуланы береді сфера радиустың
,
:
![{ displaystyle lambda (S_ {R}) = lim _ { delta -дан 0} { frac { mu left ({ overline {B_ {R}}} + { overline {B _ { delta) }}} оң) - му сол ({ сызықша {B_ {R}}} оң)} { delta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7cfb35d5ce544865eeb89210d16785842df483a)
![{ displaystyle = lim _ { delta to 0} { frac {[(R + delta) ^ {n} -R ^ {n}] omega _ {n}} { delta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2dab443dccfcaa5e285f5476539fe9f5c54406)
![{ displaystyle = nR ^ {n-1} omega _ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4020d9d97e6181671312dfa4e5718f3d1dc9d6)
қайда
жоғарыдағыдай.
Әдебиеттер тізімі