Логарифмдік орта - Logarithmic mean

Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді дерек көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Логарифмдік орта»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Сәуір 2009) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Логарифмдік ортаның мәндерін көрсететін үш өлшемді сюжет.

Жылы математика, логарифмдік орта Бұл функциясы теріс емес екі сандар бұл оларға тең айырмашылық бөлінген логарифм олардың мөлшер. Бұл есептеу мына жерде қолданылады инженерлік байланысты проблемалар жылу және жаппай тасымалдау.

Анықтама

Логарифмдік орташа мәні келесідей анықталады:

${displaystyle {egin {aligned} M_ {ext {lm}} (x, y) & = lim _ {(xi, eta) o (x, y)} {frac {eta -xi} {ln (eta) -ln (xi)}} [6pt] & = {egin {case} x & {ext {if}} x = y, {frac {yx} {ln (y) -ln (x)}} & {ext {әйтпесе ,}} соңы {жағдайлар}} соңы {тураланған}}}$

оң сандар үшін ${displaystyle x, y}$.

Теңсіздіктер

Екі санның логарифмдік орташа мәні -ден кіші орташа арифметикалық және жалпыланған орта көрсеткіші үштен бір, бірақ одан үлкен орташа геометриялық, егер сандар бірдей болмаса, бұл жағдайда барлық үш құрал сандарға тең болады.

${displaystyle {sqrt {xy}} leq M_ {ext {lm}} (x, y) leq left ({frac {x ^ {1/3} + y ^ {1/3}} {2}} ight) ^ {3} leq {frac {x + y} {2}} qquad {ext {барлығы үшін}} x> 0 {ext {және}} y> 0.}$^[1][2][3]

Шығу

Дифференциалдық есептеудің орташа мәндік теоремасы

Бастап орташа мән теоремасы, бар мән ${displaystyle xi}$ ішінде аралық арасында х және ж қай жерде туынды ${displaystyle f '}$ көлбеуіне тең сектант сызық:

${displaystyle xi-де (x, y) бар: f '(xi) = {frac {f (x) -f (y)} {x-y}}}$

Логарифмдік орта мәні ретінде алынады ${displaystyle xi}$ ауыстыру арқылы ${displaystyle ln}$ үшін ${displaystyle f}$ және соған сәйкес туынды:

${displaystyle {frac {1} {xi}} = {frac {ln (x) -ln (y)} {x-y}}}$

және үшін шешу ${displaystyle xi}$:

${displaystyle xi = {frac {x-y} {ln (x) -ln (y)}}}$

Интеграция

Логарифмдік орташа мәнді деп түсіндіруге болады аудан астында экспоненциалды қисық.

${displaystyle {egin {aligned} L (x, y) = {} & int _ {0} ^ {1} x ^ {1-t} y ^ {t} mathrm {d} t = {} int _ {0} ^ {1} сол жақта ({frac {y} {x}} ight) ^ {t} x mathrm {d} t = {} xint _ {0} ^ {1} қалды ({frac {y} {x}} ight) ^ {t} mathrm {d} t [3pt] = {} және сол жақта. {frac {x} {ln left ({frac {y} {x}} ight)}} left ({frac {y} { x}} ight) ^ {t} ight | _ {t = 0} ^ {1} = {} {frac {x} {ln left ({frac {y} {x}} ight)}} сол ({frac {y} {x}} - 1 түн) = {} {frac {yx} {ln қалды ({frac {y} {x}} ight)}} [3pt] = {} & {frac {yx} {ln солға (yight) -ln солға (xight)}} соңы {тураланған}}}$

Аймақты түсіндіру логарифмдік ортаның кейбір негізгі қасиеттерін оңай шығаруға мүмкіндік береді. Экспоненциалды функция болғандықтан монотонды, ұзындығы 1 аралығындағы интегралмен шектелген ${displaystyle x}$ және ${displaystyle y}$. The біртектілік интегралдық оператордың орташа операторына ауысады, яғни ${displaystyle L (cx, cy) = cL (x, y)}$.

Тағы екі пайдалы интегралды көрініс

$${displaystyle {1 үстінен L (x, y)} = int _ {0} ^ {1} {оператор аты {d}! t үстінен tx + (1-t) y}}$$

$${displaystyle {1 over L (x, y)} = int _ {0} ^ {infty} {operatorname {d}! t over (t + x), (t + y)}.}$$

Жалпылау

Дифференциалдық есептеудің орташа мәндік теоремасы

Орташа мәнді жалпылауға болады ${displaystyle n + 1}$ ескере отырып, айнымалылар бөлінген айырмашылықтар үшін орташа мән теоремасы үшін ${displaystyle n}$мың туынды логарифм.

Біз аламыз

${displaystyle L_ {ext {MV}} (x_ {0} ,, нүктелер ,, x_ {n}) = {sqrt [{- n}] {(- 1) ^ {(n + 1)} nln солға (солға) [x_ {0} ,, нүктелер ,, x_ {n} ight] ight)}}}$

қайда ${displaystyle ln сол жақта (сол жақта [x_ {0} ,, нүктелер ,, x_ {n} ight] ight)}$ а деп белгілейді бөлінген айырмашылық логарифм.

Үшін ${displaystyle n = 2}$ бұл әкеледі

${displaystyle L_ {ext {MV}} (x, y, z) = {sqrt {frac {(xy) left (y-zight) left (z-xight)} {2left (left (y-zight) ln left ( xight) + left (z-xight) ln left (yight) + left (x-yight) ln left (zight) ight)}}}}$.

Ажырамас

Интегралды интерпретацияны көп айнымалыларға жалпылауға болады, бірақ ол басқа нәтижеге әкеледі. Берілген қарапайым ${extstyle S}$ бірге ${extstyle S = {сол жақта (альфа _ {0} ,, нүктелер ,, альфа _ {n} ight): сол жақта (альфа _ {0} + нүктелер + альфа _ {n} = 1 түн) жер қалды (альфа _ {0 } geq 0ight) жер нүктелері солға (альфа _ {n} geq 0ight)}}$ және тиісті шара ${extstyle mathrm {d} альфа}$ ол симплексті 1 көлемге бөледі, біз оны аламыз

${displaystyle L_ {ext {I}} сол жақта (x_ {0} ,, нүктелер ,, x_ {n} ight) = int _ {S} x_ {0} ^ {альфа _ {0}} cdot, cdots, cdot x_ {n} ^ {альфа _ {n}} mathrm {д} альфа}$

Мұны экспоненциалды функцияның бөлінген айырмашылықтарын қолдану арқылы жеңілдетуге болады

${displaystyle L_ {ext {I}} left (x_ {0} ,, нүктелер ,, x_ {n} ight) = n! exp left [ln left (x_ {0} ight) ,, nots ,, ln left (x_ {n} түн)$.

Мысал ${extstyle n = 2}$

${displaystyle L_ {ext {I}} (x, y, z) = - 2 {frac {xleft (ln left (yight) -ln left (zight) ight) + yleft (ln left (zight) -ln left (xight) ) ight) + zleft (ln left (xight) -ln left (yight) ight)} {left (ln left (xight) -ln left (yight) ight) left (ln left (yight) -ln left (zight) ight ) сол жақ (ln сол жақ (zight) -ln сол (xight) ight)}}}$.

Басқа құралдармен байланыс

• Орташа арифметикалық: ${displaystyle {frac {Lleft (x ^ {2}, y ^ {2} ight)} {L (x, y)}} = {frac {x + y} {2}}}$

• Орташа геометриялық: ${displaystyle {sqrt {frac {Lleft (x, yight)} {Lleft ({frac {1} {x}}, {frac {1} {y}} ight)}}} = {sqrt {xy}}}$

• Орташа гармоникалық: ${displaystyle {frac {Lleft ({frac {1} {x}}, {frac {1} {y}} ight)} {Lleft ({frac {1} {x ^ {2}}}, {frac {1 } {y ^ {2}}} ight)}} = {frac {2} {{frac {1} {x}} + {frac {1} {y}}}}}$

Сондай-ақ қараңыз

• Логарифмдерге қатысты басқа орташа мән - бұл орташа геометриялық.
• Логарифмдік орта - бұл ерекше жағдай Столарский мағынасы.
• Логарифмдік орташа температура айырмашылығы
• Журналдың семинары

Әдебиеттер тізімі

Дәйексөздер

Библиография

• Мұнай кенішінің сөздігі: 'логарифмдік орта' термині
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметикалық-логарифмдік-геометриялық-орташа теңсіздік». MathWorld.
• Столарский, Кеннет Б.: Логарифмдік ортаны жалпылау, Математика журналы, т. 48, No2, 1975 ж., 87–92 бб