Конформальды алгебра - Lie conformal algebra

A Конформальды алгебра белгілі бір мағынада а-ны жалпылау болып табылады Алгебра бұл «жалған алгебра», бірақ басқаша жалған тензор санат. Жалған конформды алгебралар өте тығыз байланысты алгебралар және алгебра мен интегралданатын жүйелердің басқа салаларында көптеген қосымшаларға ие.

Ли алгебраларына анықтама және қатынас

Lie алгебрасы - векторлық кеңістік деп анықталған қиғаш симметриялы айқын емес қанағаттандыратын көбейту Якоби сәйкестігі. Жалпы, алгебра - бұл объект, ${ displaystyle L}$ санатында векторлық кеңістіктер (оқыңыз: ${ displaystyle mathbb {C}}$ -модульдер) а морфизм

{ displaystyle [ cdot, cdot]: L otimes L rightarrow L}

бұл қиғаш симметриялы және Якоби сәйкестігін қанағаттандырады. Lie конформды алгебрасы - бұл объект ${ displaystyle R}$ санатында ${ displaystyle mathbb {C} [ жарым-жартылай]}$ -морфизмі бар модульдер

{ displaystyle [ cdot _ { lambda} cdot]: R otimes R rightarrow mathbb {C} [ lambda] otimes R}

линбадалық кронштейн деп аталады, ол икемділіктің, қисықтық симметрияның және якобидің сәйкестігінің өзгертілген нұсқаларын қанағаттандырады:

{ displaystyle [ partional a _ { lambda} b] = - lambda [a _ { lambda} b], [a _ { lambda} partional b] = ( lambda + partial) [a _ { lambda} б],}

{ displaystyle [a _ { lambda} b] = - [b _ {- lambda - qismli} a], ,}

{ displaystyle [a _ { lambda} [b _ { mu} c]] - [b _ { mu} [a _ { lambda} c]] = [[a _ { lambda} b] _ { lambda + mu} c]. ,}

Лямбданың, му мен парциалдардың барлығын кронштейндерден алып тастағанда, Lie алгебрасының анықтамасы бар екенін көруге болады.

Lie конформды алгебраларының мысалдары

Lie конформды алгебрасының қарапайым және өте маңызды мысалы - Вирасоро конформаль алгебрасы. Аяқталды ${ displaystyle mathbb {C} [ жарым-жартылай]}$ оны бір элемент жасайды ${ displaystyle L}$ берілген лямбда кронштейнімен

{ displaystyle [L _ { lambda} L] = (2 lambda + ішінара) L. ,}

Шын мәнінде, Вакимото бір генератордағы Якобидің сәйкестігін қанағаттандыратын лямбда кронштейні бар кез-келген Ли конформальды алгебрасы Вирасоро конформальды алгебрасы екенін көрсетті.

Жіктелуі

Көрсетілгендей, кез-келген түпкілікті түрде туындайтын (а ${ displaystyle mathbb {C} [ жарым-жартылай]}$ қарапайым Lie конформды алгебрасы Вирасоро конформаль алгебрасына, ағымдағы конформаль алгебрасына немесе екеуінің жартылай тікелей көбейтіндісіне изоморфты.

Шексіз субальгебралардың жартылай жіктелімдері де бар ${ displaystyle { mathfrak {gc}} _ {n}}$ және ${ displaystyle { mathfrak {cend}} _ {n}}$ .

Жалпылау

Интегралды жүйелерде қолдану және вариация есептеулеріне қатысты

Әдебиеттер тізімі

Виктор Как, «Жаңадан бастаушыларға арналған шыңдар алгебралары». Университеттік дәрістер сериясы, 10. Американдық математикалық қоғам, 1998. viii + 141 бб. ISBN 978-0-8218-0643-2