Лакунарлық функция - Lacunary function

Жылы талдау, а лакунарлы функция, сондай-ақ а лакунарлық сериялар, болып табылады аналитикалық функция болуы мүмкін емес аналитикалық түрде жалғасты кез келген жерде конвергенция радиусы оның шеңберінде ол а қуат сериясы. Сөз лакунарлы алынған лакуна (пл. lacunae), бос орынды немесе бос орынды білдіреді.

Лакунарлы функциялардың алғашқы белгілі мысалдары Тейлор сериясы олардың кеңеюінің нөлдік емес коэффициенттері арасындағы үлкен саңылаулармен немесе лакуналармен. Соңғы тергеулер де назар аударды Фурье сериясы нөлдік емес коэффициенттер арасындағы ұқсас алшақтықтармен. Терминнің заманауи қолданысында сәл түсініксіздік бар лакунарлық сериялар, бұл Тейлор сериясына немесе Фурье сериясына қатысты болуы мүмкін.

Қарапайым мысал

Келіңіздер ${displaystyle ain mathbb {Z} қақпа сол жақта [2, епті ight)}$. Қарапайым дәрежелік қатармен анықталған келесі функцияны қарастырыңыз:

${displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ {infty} z ^ {a ^ {n}} = z + z ^ {a} + z ^ {a ^ {2}} + z ^ {a ^ {3}} + z ^ {a ^ {4}} + cdots,}$

Қуаттылық сериясы кез келген ашық доменде біркелкі жинақталадыз| <1. Мұны салыстыру арқылы дәлелдеуге болады f бірге геометриялық қатарлар, ол | болған кезде абсолютті конвергентті боладыз| <1. Сонымен f Ашық дискідегі аналитикалық болып табылады. Дегенмен, f бірлік шеңберінің әр нүктесінде сингулярлыққа ие және оны ашық дискіден тыс аналитикалық түрде жалғастыру мүмкін емес, бұл келесі дәлелден көрінеді.

Әрине f сингулярлыққа ие з = 1, өйткені

${displaystyle f (1) = 1 + 1 + 1 + cdots,}$

әр түрлі серия. Бірақ егер з нақты емес болуы мүмкін, проблемалар туындайды, өйткені

${displaystyle fleft (z ^ {a} ight) = f (z) -zqquad ұшуы (z ^ {a ^ {2}} ight) = f (z ^ {a}) - z ^ {a} qquad ұшуы (z ^ {a ^ {3}} ight) = ұшып кетті (z ^ {a ^ {2}} ight) -z ^ {a ^ {2}} qquad cdots qquad ұшу (z ^ {a ^ {n + 1}} ight) = ұшып кетті (z ^ {a ^ {n}} ight) -z ^ {a ^ {n}}}$

біз мұны көре аламыз f бір нүктесінде даралыққа ие з қашан з^а = 1, сонымен қатар қашан з^а2 = 1. Жоғарыдағы теңдеулер ұсынған индукция бойынша, f әрқайсысында ерекше болуы керек аⁿ-шы бірліктің тамыры барлық натурал сандар үшін n. Осындай барлық нүктелердің жиынтығы тығыз бірлік шеңберінде, демек бірлік шеңбердің әр нүктесі үздіксіз кеңеюі үшін ерекше болуы керек f.^[1]

Бастапқы нәтиже

Қарапайым мысалда келтірілген дәлел лакунарлы функцияларды анықтау үшін белгілі бір қатарларды құруға болатындығын көрсетеді. Соншалықты айқын емес нәрсе - күштерінің арасындағы алшақтықтар з баяу кеңейе алады, ал алынған серия лакунарлы функцияны анықтайды. Бұл ұғымды нақтырақ ету үшін қосымша белгілер қажет.

Біз жазамыз

${displaystyle f (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} a_ {k} z ^ {lambda _ {k}} = sum _ {n = 1} ^ {infty} b_ {n} z ^ { n},}$

қайда б_n = а_к қашан n = λ_к, және б_n = 0 әйтпесе. Коэффициенттер қайда созылады б_n екінші қатарда барлығы нөлге тең лакуналар коэффициенттерде. Оң натурал сандардың монотонды түрде өсетін реттілігі {λ_к} өкілеттіктерін анықтайды з қуат сериясында орналасқан f(з).

Енді теоремасы Хадамард айтуға болады.^[2] Егер

${displaystyle liminf _ {k o infty} {frac {lambda _ {k}} {lambda _ {k-1}}}> 1 + delta,}$

қайда δ > 0 - ерікті оң константа, онда f(з) - өзінің конвергенция шеңберінен тыс жалғастыруға болмайтын лакунарлы функция. Басқаша айтқанда, реттілік {λ_к} 2 сияқты тез өсуі керек емес^к үшін f(злакунарлы функция болу үшін - ол тек кейбір геометриялық прогрессия сияқты тез өсуі керек (1 + δ)^к. Which болатын серия_к бұл тез өседі дейді Хадамард аралықтары. Қараңыз Островски-Хадамар аралықтары туралы теорема.

Лакунарлы тригонометриялық қатар

Математиктер лакунарлы тригонометриялық қатарлардың қасиеттерін де зерттеді

${displaystyle S ((lambda _ {k}) _ {k}, heta) = sum _ {k = 1} ^ {infty} a_ {k} cos (lambda _ {k} heta) qquad S ((lambda _ {) k}) _ {k}, heta, omega) = sum _ {k = 1} ^ {infty} a_ {k} cos (lambda _ {k} heta + omega),}$

ол үшін λ_к бір-бірінен алшақ орналасқан Мұнда коэффициенттер а_к нақты сандар. Бұл тұрғыда тригонометриялық қатардың жинақтылығына кепілдік беру үшін жеткілікті өлшемдерге назар аударылды барлық жерде дерлік (яғни бұрыштың кез-келген мәні үшін) θ және бұрмалану факторы ω).

• Колмогоров егер {λ_к} Hadamard саңылауларын, содан кейін серияны қамтиды S(λ_к, θ, ω) барлық уақытта дерлік жақындайды

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {infty} a_ {k} ^ {2}}$

жақындасу (алшақтау).

• Зигмунд сол шартта көрсетті S(λ_к, θ, ω) Анды білдіретін Фурье қатары емес интегралданатын функция квадраттарының осы қосындысы болғанда а_к әр түрлі серия.^[3]

Бірыңғай көрініс

Лакунарлық дәрежелер мен лакунарлы тригонометриялық қатарларды зерттеуге түрткі болатын негізгі сұрақ туралы жоғарыда келтірілген қарапайым мысалды қайта қарау арқылы білуге ​​болады. Бұл мысалда біз геометриялық қатарларды қолдандық

${displaystyle g (z) = sum _ {n = 1} ^ {infty} z ^ {n},}$

және Weierstrass M-тесті қарапайым мысал дискідегі аналитикалық функцияны анықтайтындығын көрсету.

Геометриялық қатардың өзі аналитикалық функцияны анықтайды жабық кез келген жағдайдан басқа бірлік диск з = 1, қайда ж(з) қарапайым полюсі бар.^[4] Содан бері з = e^мен бірлік шеңбердегі нүктелер үшін геометриялық қатар пайда болады

${displaystyle g (z) = sum _ {n = 1} ^ {infty} e ^ {in heta} = sum _ {n = 1} ^ {infty} left (cos n heta + isin n heta ight),}$

атап айтқанда з, |з| = 1. Осы тұрғыдан алғанда, лакунарлық қатарларды зерттейтін математиктер келесі сұрақты қояды: геометриялық қатарды қаншалықты бұрмалау керек - үлкен кесінділерді кесу және коэффициенттерді енгізу а_к ≠ 1 - нәтижесінде алынған математикалық нысан жағымды тегістіктен өзгермейді мероморфты функция қарабайыр формасын көрсететін нәрсеге ретсіз мінез?

Сондай-ақ қараңыз

• Аналитикалық жалғасы
• Шолем Мандельбройт
• Бенуа Мандельброт
• Mandelbrot орнатылды
• Фабри аралықтары туралы теорема
• Островски-Хадамар аралықтары туралы теорема

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Катуси Фукуяма және Шигеру Такахаси, Американдық математикалық қоғамның еңбектері, т. 127 №2 599–608 бб (1999), «Лакунария сериясының орталық шегі теоремасы».
• Шолем Мандельбройт және Эдвард Рой Сесил Майлз, Күріш институтының кітапшасы, т. 14 # 4 261–284 б. (1927), «Лакунарлық функциялар».
• Уиттакер және Уотсон, Қазіргі заманғы талдау курсы, төртінші басылым, Кембридж университетінің баспасы, 1927 ж.

Сыртқы сілтемелер

• Фукуяма және Такахаси, 1999 ж Қағаз (PDF) Лакунарлық серияның орталық шегі теоремасы, БАЖ-дан.
• Мандельбройт және Майлз, 1927 ж Қағаз (PDF) Лакунарлық функциялар, Райс университетінен.
• Лакунарлық функциялар туралы MathWorld мақаласы