Krivine – Stengle Positivstellensatz - Krivine–Stengle Positivstellensatz

Жылы нақты алгебралық геометрия, Кривайн-Стенгл Позитивстелленцат (Немісше «позитивті-локус-»теорема «) сипаттайды көпмүшелер а позитивті болып табылады жартылай алгебралық жиынтық, ол көпмүшелердің теңсіздіктер жүйесімен анықталады нақты коэффициенттер, немесе тұтастай алғанда кез келген коэффициенттер нақты жабық өріс.

Оны нақты аналогы ретінде қарастыруға болады Гильберттің Nullstellensatz (бұл полиномдық идеалдардың күрделі нөлдеріне қатысты), және дәл осы ұқсастық оның атында пайда болды. Мұны француз математигі дәлелдеді Жан-Луи Кривайн [фр; де ] содан кейін канадалық қайта ашты Гилберт Стенгл [Уикидеректер ].

Мәлімдеме

Келіңіздер R болуы а нақты жабық өріс, және F = { f₁, f₂, ..., f_м } және G = { ж₁, ж₂, ..., ж_р } полиномдардың ақырлы жиындары аяқталды R жылы n айнымалылар. Келіңіздер W жартылай алгебралық жиынтық

${ displaystyle W = {x in R ^ {n} mid forall f in F, , f (x) geq 0; , forall g in G, , g (x) =) 0 },}$

және байланысты алдын-ала жазылуды анықтаңыз W жиынтық ретінде

${ displaystyle P (F, G) = left { sum _ { alpha in {0,1 } ^ {m}} sigma _ { alpha} f_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots f_ {m} ^ { alpha _ {m}} + sum _ { ell = 1} ^ {r} varphi _ { ell} g _ { ell}: sigma _ { alpha} in Sigma ^ {2} [X_ {1}, ldots, X_ {n}]; varphi _ { ell} in R [X_ {1}, ldots, X_ {n} ] оң }}$

қайда Σ²[X₁,…,X_n] жиынтығы квадраттардың қосындысы. Басқа сөздермен айтқанда, P(F, G) = C + Мен, қайда C болып табылатын конус болып табылады F (яғни субмиринг туралы R[X₁,…,X_n] жасаған F және ерікті квадраттар) және Мен болып табылады идеалды жасаған G.

Келіңіздер б ∈ R[X₁,…,X_n] көпмүше болуы керек. Krivine – Stengle Positivstellensatz дейді

(i) ${ displaystyle forall x in W ; p (x) geq 0}$ егер және егер болса ${ displaystyle бар P (F, G)} q_ {1}, q_ {2}$ және ${ displaystyle s in mathbb {Z}}$ осындай ${ displaystyle q_ {1} p = p ^ {2s} + q_ {2}}$.

(ii) ${ displaystyle forall x in W ; p (x)> 0}$ егер және егер болса ${ displaystyle бар P (F, G)} q_ {1}, q_ {2}$ осындай ${ displaystyle q_ {1} p = 1 + q_ {2}}$.

The әлсіз Позитивстелленцат келесі нұсқасы болып табылады Позитивстелленцат. Келіңіздер R нақты жабық өріс болыңыз және F, G, және H ақырғы ішкі жиындар R[X₁,…,X_n]. Келіңіздер C арқылы жасалған конус болуы керек F, және Мен идеал G. Содан кейін

${ displaystyle {x in R ^ {n} mid forall f in F , f (x) geq 0 land forall g in G , g (x) = 0 land forall h in H , h (x) neq 0 } = emptyset}$

егер және егер болса

${ displaystyle $ f in C, g in I, n in mathbb {N} ; f + g + left ( prod H right) ^ {2n} = 0.}$

(Айырмашылығы Nullstellensatz, «әлсіз» форма іс жүзінде ерекше жағдай ретінде «күшті» форманы қамтиды, сондықтан терминология қате сөз.)

Нұсқалар

Krivine-Stengle Positivstellensatz қосымша болжамдар бойынша келесі нақтылауға ие. Schmüdgen's Positivstellensatz Putinar's Positivstellensatz-ге қарағанда әлсіз болжамға ие екенін ескеру керек, бірақ қорытынды да әлсіз.

Schmüdgen's Positivstellensatz

Айталық ${ displaystyle R = mathbb {R}}$. Егер жартылай алгебралық жиынтық болса ${ displaystyle W = {x in mathbb {R} ^ {n} mid forall f in F, , f (x) geq 0 }}$ болып табылады ықшам, содан кейін әрбір көпмүше ${ displaystyle p in mathbb {R} [X_ {1}, dots, X_ {n}]}$ бұл қатаң позитивті ${ displaystyle W}$ функциясының анықтайтын функцияларында көпмүшелік түрінде жазуға болады ${ displaystyle W}$ квадраттардың қосындыларымен, яғни. ${ displaystyle p in P (F, emptyset)}$. Мұнда P деп айтылады қатаң позитивті ${ displaystyle W}$ егер ${ displaystyle p (x)> 0}$ барлығына ${ displaystyle x in W}$. ^[1] Schmüdgen's Positivstellensatz арналған екенін ескеріңіз ${ displaystyle R = mathbb {R}}$ және ерікті нақты жабық өрістер үшін ұсталмайды.^[2]

Putinar's Positivstellensatz

Байланысты квадраттық модульді анықтаңыз W жиынтық ретінде

${ displaystyle Q (F, G) = left { sigma _ {0} + sum _ {j = 1} ^ {m} sigma _ {j} f_ {j} + sum _ { ell = 1} ^ {r} varphi _ { ell} g _ { ell}: sigma _ {j} in Sigma ^ {2} [X_ {1}, ldots, X_ {n}]; varphi _ { ell} in mathbb {R} [X_ {1}, ldots, X_ {n}] right }}$

Бар деп есептеңіз L > 0, сондықтан көпмүше ${ displaystyle L- sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} in Q (F, G).}$ Егер ${ displaystyle forall x in W ; p (x)> 0}$, содан кейін б ∈ Q(F,G).^[3]

Сондай-ақ қараңыз

• Позитивті көпмүшелік басқа позитивстелленсат теоремалары үшін.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Кривайн, Дж. Л. (1964). «Anneaux préordonnés». Journal d'Analyse Mathématique. 12: 307–326. дои:10.1007 / bf02807438.
• Stengle, G. (1974). «Семальгебралық геометриядағы Нуллстелленцат және Позитивстелленсат». Mathematische Annalen. 207 (2): 87–97. дои:10.1007 / BF01362149.
• Бочнак, Дж .; Кост, М .; Рой, М.-Ф. (1999). Нақты алгебралық геометрия. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Бүктеу. 36. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-64663-1.
• Джейакумар, V .; Лассер, Дж.Б .; Ли, Г. (2014-07-18). «Шағын емес жартылай алгебралық жиындар бойынша полиномдық оңтайландыру туралы». Оңтайландыру теориясы мен қолданбалы журнал. 163 (3): 707–718. CiteSeerX  10.1.1.771.2203. дои:10.1007 / s10957-014-0545-3. ISSN  0022-3239.