Джеймс теоремасы - Википедия - Jamess theorem

Жылы математика, атап айтқанда функционалдық талдау, Джеймс теоремасы, үшін Роберт С. Джеймс, а Банах кеңістігі B болып табылады рефлексивті егер және әрқайсысы болса ғана үздіксіз сызықтық функционалды қосулы B оған жетеді супремум жабық бірлік доп жылы B.

Теореманың күшті нұсқасында а әлсіз жабық ішкі жиын C Банах кеңістігінің B болып табылады әлсіз ықшам егер тек әр үздіксіз сызықтық функционалды болса ғана B максимумға жетеді C.

Теоремадағы толықтығы туралы гипотезаны алып тастауға болмайды (Джеймс 1971 ).

Мәлімдемелер

Кеңістік X қарастырылған нақты немесе күрделі Банах кеңістігі болуы мүмкін. Оның топологиялық дуальды белгісімен белгіленеді X ' . ℝ-Банах кеңістігінің топологиялық қосарлануы X кез келген шектеу арқылы скаляр белгіленеді X ' ℝ . (Егер бұл қызықтыратын болса ғана X бұл ғарыш машинасы, өйткені егер X бұл ℝ-кеңістік X ' ℝ = X ' .)

Джеймс ықшамдылық критерийі  - Рұқсат етіңіз X Банах кеңістігі болыңыз және A әлсіз жабылған бос емес жиынтығы X . Келесі шарттар баламалы: * A әлсіз ықшам. * әрқайсысы үшін f ∈ X ' , элемент бар а туралы A осындай f ( а ) = sup {| F ( х ) | ; X ∈ A }. * Кез келген үшін f ∈ X ' ℝ , элемент бар а туралы A осындай f ( а ) = sup {| F ( х ) | ; X ∈ A }. * Кез келген үшін f ∈ X ' ℝ , элемент бар а туралы A осындай f ( а ) = суп { f ( х ); X ∈ A }.

Банах кеңістігі рефлексивті болады, егер оның жабық бірлігі шар әлсіз ықшам болса ғана, осыдан шығады, өйткені үзіліссіз сызықтық форманың модулі осы шардағы жоғарғы шекара болып табылады:

Джеймс теоремасы  - Банах кеңістігі X барлығына арналған болса ғана рефлексивті болып табылады f ∈ X ' , элемент бар а туралы X as ретінде а And ≤ 1 және f ( а ) = ║ f ║.

Тарих

Тарихи тұрғыдан бұл сөйлемдер кері тәртіпте дәлелденді. 1957 жылы Джеймс Банах кеңістігінің және 1964 ж. Жалпы Банах кеңістігінің рефлексивтілік критерийін дәлелдеді. Рефлексивтілік бірлік сферасының әлсіз ықшамдылығына эквивалентті болғандықтан, Виктор Л.Кли мұны бірлік сферасының ықшамдылық критерийі ретінде 1962 жылы қайта құрды және бұл критерий кез-келген әлсіз ықшам шамаларды сипаттайды деп болжайды. Мұны 1964 жылы RC Джеймс шынымен дәлелдеді.

Сондай-ақ қараңыз

Пайдаланылған әдебиеттер

  • Джеймс, Роберт С. (1957), «Рефлексивтілік және сызықтық функционалдар супремумы», Энн. математика, 66 (1): 159–169, дои:10.2307/1970122, JSTOR  1970122, МЫРЗА  0090019
  • Джеймс, Роберт С. (1964), «Әлсіз жинақтар», Транс. Amer. Математика. Soc., Американдық математикалық қоғам, 113 (1): 129–140, дои:10.2307/1994094, JSTOR  1994094, МЫРЗА  0165344.
  • Джеймс, Роберт С. (1971), «Қалыпты кеңістіктегі суп-теоремаға қарсы мысал», Израиль Дж., 9 (4): 511–512, дои:10.1007 / BF02771466.
  • Джеймс, Роберт С. (1972), «Рефлексивтілік және сызықтық функционалдық суп», Израиль Дж., 13 (3–4): 289–300, дои:10.1007 / BF02762803, МЫРЗА  0338742.
  • Меггинсон, Роберт Э. (1998), Банах ғарыш теориясына кіріспе, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 183, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98431-3