Джексон интеграл - Jackson integral

Жылы q-аналогы теория, Джексон интеграл серия теориясында арнайы функциялар амалын кері өрнектейтін q-саралау.

Джексон интегралын енгізді Фрэнк Хилтон Джексон. Сандық бағалау әдістерін қараңыз Экстон (1983) harvtxt қатесі: мақсат жоқ: CITEREFExton1983 (Көмектесіңдер).

Анықтама

Келіңіздер f(х) нақты айнымалының функциясы болуы керек х. Джексон интегралы f келесі қатардың кеңеюімен анықталады:

${displaystyle int f (x), {m {d}} _ {q} x = (1-q), xsum _ {k = 0} ^ {infty} q ^ {k} f (q ^ {k} x) ).}$

Жалпы, егер ж(х) тағы бір функция және Д._qж оны білдіреді q- туынды, біз ресми түрде жаза аламыз

${displaystyle int f (x), D_ {q} g, {m {d}} _ {q} x = (1-q), xsum _ {k = 0} ^ {infty} q ^ {k} f ( q ^ {k} x), D_ {q} g (q ^ {k} x) = (1-q), xsum _ {k = 0} ^ {infty} q ^ {k} f (q ^ {k) } x) {frac {g (q ^ {k} x) -g (q ^ {k + 1} x)} {(1-q) q ^ {k} x}},}$ немесе

${displaystyle int f (x), {m {d}} _ {q} g (x) = sum _ {k = 0} ^ {infty} f (q ^ {k} x) cdot (g (q ^ {) k} x) -g (q ^ {k + 1} x)),}$

беру q- аналогы Риман-Стильтес интегралды.

Джексон интегралы q-антидериватив ретінде

Қарапайым сияқты антидеривативті а үздіксіз функция арқылы ұсынылуы мүмкін Риман интеграл, Джексон интегралының қайталанбас беретінін көрсетуге болады q- функциялардың белгілі бір класы шеңберіндегі антидивативті (қараңыз) ^[1]).

Теорема

Айталық ${displaystyle 0$ Егер ${displaystyle | f (x) x ^ {альфа} |}$ аралықта шектелген ${displaystyle [0, A)}$ кейбіреулер үшін ${displaystyle 0leq альфа <1,}$ сонда Джексон интегралы функцияға жақындайды ${displaystyle F (x)}$ қосулы ${displaystyle [0, A)}$ бұл а q-антивативті ${displaystyle f (x).}$ Оның үстіне, ${displaystyle F (x)}$ үзіліссіз ${displaystyle x = 0}$ бірге ${displaystyle F (0) = 0}$ және -ның антидеривативі болып табылады ${displaystyle f (x)}$ функциялардың осы класында.^[2]

Ескертулер

Пайдаланылған әдебиеттер

• Виктор Как, Покман Чеонг, Кванттық есептеулер, Universitext, Springer-Verlag, 2002 ж. ISBN  0-387-95341-8
• Джексон F H (1904), «Γ (n) және x функцияларын жалпылау_n", Proc. R. Soc. 74 64–72.
• Джексон F H (1910), «q-анықталған интегралдар туралы», Q. J. Pure Appl. Математика. 41 193–203.
• Экстон, H. (1983), q-гипергеометриялық функциялар және қолдану, Нью-Йорк: Halstead Press, Chichester: Эллис Хорвуд, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538

Бұл математикалық талдау - қатысты мақала а бұта. Сіз Уикипедияға көмектесе аласыз оны кеңейту.