Invex функциясы - Invex function

Жылы векторлық есептеу, an invex функциясы Бұл дифференциалданатын функция ${ displaystyle f}$ бастап ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ дейін ${ displaystyle mathbb {R}}$ ол үшін векторлық функциясы бар ${ displaystyle eta}$ осындай

${ displaystyle f (x) -f (u) geq eta (x, u) cdot nabla f (u), ,}$

барлығына х және сен.

Invex функцияларын Hanson жалпылама ретінде енгізген дөңес функциялар.^[1] Бен-Израиль мен Монд функциялардың әрқайсысы болған жағдайда қисық емес екендігінің қарапайым дәлелі болды стационарлық нүкте Бұл жаһандық минимум, бірінші рет Крейвен мен Гловер айтқан теорема.^[2][3]

Хансон сонымен қатар егер $ an $ мақсаты мен шектеулері болса оңтайландыру мәселесі бірдей функцияға қатысты дөңес болып табылады ${ displaystyle eta (x, u)}$, содан кейін Каруш-Кун-Такер шарттары ғаламдық минимум үшін жеткілікті.

I типті invex функциялары

Кіріс функцияларын аздап жалпылау деп аталады I типті invex функциялары функциялардың ең жалпы класы болып табылады Каруш-Кун-Такер шарттары әлемдік минимум үшін қажет және жеткілікті.^[4] Пішіннің математикалық бағдарламасын қарастырайық

${ displaystyle { begin {array} {rl} min & f (x) { text {s.t.}} & g (x) leq 0 end {array}}}$

қайда ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ және ${ displaystyle g: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {m}}$дифференциалданатын функциялар болып табылады. Келіңіздер ${ displaystyle F = {x in mathbb {R} ^ {n} ; | ; g (x) leq 0 }}$осы бағдарламаның мүмкін аймағын белгілеңіз. Функция ${ displaystyle f}$ Бұл I тип мақсаттық функция және функциясы ${ displaystyle g}$ Бұл I типті шектеу функциясы кезінде ${ displaystyle x_ {0}}$құрметпен ${ displaystyle eta}$ егер векторлық функция бар болса ${ displaystyle eta}$ бойынша анықталған ${ displaystyle F}$ осындай

${ displaystyle f (x) -f (x_ {0}) geq eta (x) cdot nabla {f (x_ {0})}}$

және

${ displaystyle -g (x_ {0}) geq eta (x) cdot nabla {g (x_ {0})}}$

барлығына ${ displaystyle x in {F}}$.^[5] Ілкексіздіктен айырмашылығы, І типтегі қисықсыздық нүктеге қатысты анықталады ${ displaystyle x_ {0}}$.

Теорема (Теорема 2.1 дюйм)^[4]): Егер ${ displaystyle f}$ және ${ displaystyle g}$ нүктеде I типті дөңес болып табылады ${ displaystyle x ^ {*}}$құрметпен ${ displaystyle eta}$, және Каруш-Кун-Такер шарттары риза ${ displaystyle x ^ {*}}$, содан кейін ${ displaystyle x ^ {*}}$жаһандық минимизатор болып табылады ${ displaystyle f}$ аяқталды ${ displaystyle F}$.

Сондай-ақ қараңыз

• Дөңес функция
• Псевдоконвекс функциясы
• Quasiconvex функциясы

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

S. K. Mishra және G. Giorgi, Икемсіздік және оңтайландыру, Дөңес емес оңтайландыру және оның қолданбалары, т. 88, Спрингер-Верлаг, Берлин, 2008 ж.

S. K. Mishra, S.-Y. Ванг және К.К.Лай, жалпыланған дөңес және векторлық оңтайландыру, Springer, Нью-Йорк, 2009 ж.