Гурвиц теоремасы (кешенді талдау) - Википедия - Hurwitzs theorem (complex analysis)

Жылы математика және, атап айтқанда кешенді талдау, Гурвиц теоремасы теоремасы болып табылады нөлдер а жүйелі туралы голоморфты, ықшам жергілікті біркелкі конвергентті функциялар олардың тиісті шектерімен. Теорема атымен аталған Адольф Хурвиц.

Мәлімдеме

Рұқсат етіңізfк} байланысқан голоморфты функциялар тізбегі болуы керек ашық жиынтық G біркелкі жинақталады ықшам ішкі жиындар G голоморфты функцияға f бұл үнемі нөлге тең емес G. Егер f реті нөлге ие м кезінде з0 содан кейін әр кішкентай үшін ρ > 0 және жеткілікті үлкен к ∈ N (байланыстыρ), fк дәл бар м | арқылы анықталған дискідегі нөлдерз − з0| < ρ, оның ішінде көптік. Сонымен қатар, бұл нөлдер мәндері жуықтайды з0 сияқтык → ∞.[1]

Ескертулер

Теорема нәтиже ерікті дискілерде болатынына кепілдік бермейді. Шынында да, егер біреу дискіні таңдайтын болса f оның нөлдері бар шекара, теорема орындалмайды. Айқын мысал - қарастыру бірлік диск Д. және анықталған реттілік

ол біркелкі жақындайды f(з) = з - 1. функция f(з) құрамында нөл жоқ Д.; дегенмен, әрқайсысы fn дискіде нақты бір мәнге сәйкес келетін бір нөлге ие - (1 /n).

Қолданбалар

Гурвиц теоремасы-ны дәлелдеуде қолданылады Риманның картаға түсіру теоремасы,[2] сонымен қатар келесі екеуі бар қорытындылар шұғыл нәтиже ретінде:

  • Келіңіздер G қосылған, ашық жиынтық болуы және {fn} голоморфты функциялар тізбегі, олардың жиынтық жиынтықтарында біркелкі жинақталады G голоморфты функцияға f. Егер әрқайсысы болса fn барлық жерде нөлдік емес G, содан кейін f бірдей нөлге тең, немесе нөлге тең емес.
  • Егер {fn} - тізбегі унивалентті функциялар қосылған ашық жиынтықта G ықшам ішкі жиынтықтарына біркелкі жинақталады G голоморфты функцияға f, содан кейін де f бір мәнді немесе тұрақты болып табылады.[2]

Дәлел

Келіңіздер f реті нөлге тең күрделі жазықтықтың ашық ішкі бөлігінде аналитикалық функция болу м кезінде з0, және {fn} - ықшам ішкі жиындарда біркелкі жинақталатын функциялар тізбегі f. Кейбірін түзетіңіз ρ > 0 осылай f(з) ≠ 0 in 0 <|з − з0| ≤ ρ. | Таңдаңыз, сонда |f(з)| > δ үшін з шеңбер бойынша |з − з0| = ρ. Бастап fк(з) біз таңдаған дискіге біркелкі жинақталады, біз таба аламыз N осылай |fк(з)| ≥ δ/ 2 әрқайсысы үшін к ≥ N және әрқайсысы з квотаның болуын қамтамасыз ете отырып, шеңберде fк′(з)/fк(з) бәріне жақсы анықталған з шеңбер бойынша |з − з0| = ρ. Авторы Морера теоремасы бізде біркелкі конвергенция бар:

Нөлдерінің санын білдіретін fк(з) арқылы дискіде Nк, біз қолдануға болады аргумент принципі табу

Жоғарыда аталған қадамда интегралдың біркелкі конвергенциясы арқасында интеграл мен шекті ауыстыра алдық. Біз мұны көрсеттік Nк → м сияқты к → ∞. Бастап Nк бүтін мән бағаланады, Nк тең болуы керек м жеткілікті үлкен үшінк.[3]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Ахлфорс 1966 ж, б. 176, Ахлфорс 1978 ж, б. 178
  2. ^ а б Гамелин, Теодор (2001). Кешенді талдау. Спрингер. ISBN  978-0387950693.
  3. ^ Ахлфорс 1966 ж, б. 176, Ахлфорс 1978 ж, б. 178
  • Ахлфорс, Ларс В. (1966), Кешенді талдау. Бір күрделі айнымалының аналитикалық функциялар теориясына кіріспе, Халықаралық таза және қолданбалы математика сериясы (2-ші басылым), McGraw-Hill
  • Ахлфорс, Ларс В. (1978), Кешенді талдау. Бір күрделі айнымалының аналитикалық функциялар теориясына кіріспе, Халықаралық таза және қолданбалы математика сериясы (3-ші басылым), McGraw-Hill, ISBN  0070006571
  • Джон Б.Конвей. Бір кешенді айнымалы функциялары I. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1978 ж.
  • E. C. Титчмарш, Функциялар теориясы, екінші басылым (Oxford University Press, 1939; қайта басылған 1985), б. 119.
  • Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Гурвиц теоремасы», Математика энциклопедиясы, EMS Press