Түрлер теориясының тарихы - History of type theory

The тип теориясы бастапқыда әртүрлі формальды парадокстардан аулақ болу үшін жасалған логика және жүйелерді қайта жазу. Кейінірек тип теориясы ресми жүйелер, олардың кейбіреулері балама бола алады аңғал жиынтық теориясы барлық математиканың негізі ретінде.

Содан бері ол ресми математикамен байланысты болды Mathematica Principia бүгінгі күнге дейін көмекшілер.

1900–1927

Расселдің типтер теориясының пайда болуы

Хатта Gottlob Frege (1902), Бертран Рассел өзінің парадоксты тапқандығын Фрегеде жариялады Begriffsschrift.[1] Фреж дереу жауап берді, мәселені мойындап, «деңгейлерді» техникалық талқылауда шешімін ұсынды. Фреге дәйексөз келтіру үшін:

Айтпақшы, маған «а предикат «предикатталған» дәл емес. Предикат ереже бойынша бірінші деңгей функциясы болып табылады, ал бұл функция объектіні аргумент ретінде талап етеді және өзін аргумент (субъект) ретінде көрсете алмайды. Сондықтан мен «тұжырымдама предикатталған» деп айтқым келеді. өзінің кеңеюі ».[2]

Ол мұның қалай жұмыс істейтінін көрсетуді жалғастырады, бірақ одан бас тартатын сияқты. Салдары ретінде белгілі болды Расселдің парадоксы Фреге де, Расселге де баспаханада болған шығармаларды тез арада түзетуге тура келді. Рассел өзіне қосқан В қосымшасында Математика негіздері (1903) біреу өзінің типтік «болжамды» теориясын табады. Бұл мәселе Расселді бес жылға жуық азаптады.[3]

Willard Quine[4] типтер теориясының пайда болуының тарихи синопсисі мен типтердің «рамификацияланған» теориясын ұсынады: типтер теориясынан бас тартуды қарастырғаннан кейін (1905), Рассел өз кезегінде үш теорияны ұсынды:

  1. зигзаг теориясы
  2. көлемді шектеу теориясы,
  3. класссыз теория (1905-1906), содан кейін,
  4. типтер теориясын қайта қарау (1908 жж.)

Квин Расселдің «айқын айнымалы» ұғымын енгізуі келесі нәтижеге ие болғанын байқады:

'барлығы' мен 'кез-келген' арасындағы айырмашылық: 'барлығы' әмбебап кванттаудың шектелген ('айқын') айнымалысымен өрнектеледі, ол түрге қатысты, ал 'кез-келген' еркін ('нақты') айнымалымен өрнектеледі түріне қарамастан кез-келген анықталмаған нәрсеге схемалық түрде сілтеме жасайды.

Квин бұл «байланысты айнымалы» түсінігін «типтер теориясының белгілі бір қырынан бөлек мағынасыз".[5]

1908 ж. «Өрістелген» типтер теориясы

Quine түсіндіреді кеңейтілген келесідей теория: «Функцияның типі оның аргументтерінің түрлеріне де, ондағы (немесе өрнектегі) көрінетін айнымалылардың түрлеріне де байланысты болатындықтан, осылай аталған, өйткені дәлелдер ».[5] Стивен Клейн оның 1952 ж Метаматематикаға кіріспе сипаттайды кеңейтілген типтер теориясы:

Бастапқы объектілер немесе жеке адамдар (яғни логикалық талдауға жатпайтын берілгендер) бір түрге тағайындалады (айталық) 0 түрі), даралардың қасиеттері 1 тип, даралардың қасиеттерінің қасиеттері 2 типжәне т.б.; және осы логикалық типтердің біріне жатпайтын ешқандай қасиеттер қабылданбайды (мысалы, бұл «болжамды» және «керемет» қасиеттерді ... логиканың бозаруынан тыс қояды). Неғұрлым егжей-тегжейлі шот басқа объектілер үшін қатынастар мен кластар ретінде қабылданған түрлерді сипаттайтын болады. Содан кейін алып тасталсын сенімді тип ішіндегі анықтамалар, жоғарыдағы типтер 0 қосымша әрі қарай бұйрықтарға бөлінеді. Осылайша, 1 тип үшін қандай-да бір жиынтықты көрсетпей анықталған қасиеттер жатады тапсырыс 0, және берілген ретті қасиеттердің жиынтығын пайдаланып анықталған қасиеттер келесі жоғарғы реттіге жатады. ... Бірақ бұйрықтарға бөлу біз жоғарыда түсініксіз анықтамалардан тұратын таныс талдауды жасау мүмкін емес етеді. Осы жағдайдан құтылу үшін Рассел өзінің жағдайын жасады редукция аксиомасы, ең төменгі деңгейден жоғары бұйрыққа жататын кез-келген қасиетке, 0-реттің тең дәрежелі қасиеті (яғни дәл сол объектілер иеленеді) бар деп бекітеді. Егер тек анықталатын қасиеттер бар деп есептелсе, онда аксиома әр берілген типтегі импредикативті анықтаманың барабар предикативті анықтамасы бар (Kleene 1952: 44–45).

Редукция аксиомасы және «матрица» ұғымы

Бірақ кеңейтілген теорияның ережелері «ауыр» екенін дәлелдейтін болғандықтан (Квиннің сөзін келтіргенде), Рассел өзінің 1908 ж. Математикалық логика типтер теориясына негізделген[6] сондай-ақ оның ұсынысы болар еді редукция аксиомасы. 1910 жылға қарай Уайтхед пен Рассел олардың Mathematica Principia а деген ұғыммен осы аксиоманы одан әрі ұлғайтады матрица - функцияны толығымен кеңейту сипаттамасы. Оның матрицасынан функцияны «қорыту» процесі және керісінше шығаруға болады, яғни екі процесс қайтымды - (i) матрицадан функцияға дейін жалпылау (көрінетін айнымалыларды қолдану арқылы) және (ii) кері процесс мәндерді курстар бойынша типті азайту, айқын айнымалыға аргументтерді ауыстыру. Бұл әдіс арқылы импредикативтілікті болдырмауға болады.[7]

Ақиқат кестелері

1921 жылы, Эмиль Пост айқын және нақты айнымалылар ұғымын алмастыратын «шындық функциялары» теориясын және олардың шындық кестелерін дамытар еді. 1921 жылдан бастап оның «Кіріспе сөзінен»: «Толық теория [Уайтхед пен Расселдің (1910, 1912, 1913)] өз ұсыныстарын нақты және айқын айнымалыларды энциклификациялауды талап етеді. ұсыныстық функциялар әртүрлі типтегі және нәтижесінде типтердің күрделі теориясын қажет ететін бұл субтория тек нақты айнымалыларды пайдаланады, ал бұл нақты айнымалылар авторлардың қарапайым ұсыныстар деп таңдаған бір түрін білдіреді ».[8]

Шамамен бір уақытта Людвиг Витгенштейн ұқсас идеяларды 1922 жылғы еңбегінде дамытты Tractatus Logico-Philosophicus:

3.331 Осы бақылаудан біз Расселдің типтер теориясына қосымша көзқарас аламыз. Расселдің қателігі оның символдық ережелерін құру кезінде оның белгілерінің мағыналары туралы айтуы керек екендігінде көрінеді.

3.332 Ешқандай ұсыныс өзі туралы ештеңе айта алмайды, өйткені пропозициялық белгіні өз ішінде қамту мүмкін емес (бұл «типтер теориясының» барлығы).

3.333 Функция өзінің аргументі бола алмайды, өйткені функционалдық белгі өзінде өзінің дәлелінің прототипін қамтиды және ол өзіне ие бола алмайды ...

Витгенштейн ақиқат-кесте әдісін де ұсынды. 4.3-тен 5.101-ге дейін Витгенштейн шектеусіз қабылдайды Шеффер соққысы оның негізгі логикалық бірлігі ретінде, содан кейін екі айнымалының барлық 16 функциясын тізімдейді (5.101).

Матрица-ақиқат-кесте ұғымы 1940-1950 ж.ж.-ның соңында Тарскийдің жұмысында пайда болды, мысалы. оның 1946 индекстері «Матрица, қараңыз: Ақиқат кестесі»[9]

Расселдің күмәні

Рассел өзінің 1920 ж Математикалық философияға кіріспе бүкіл тарауды «Шексіздік аксиомасына және логикалық типтерге» арнайды, онда ол өзінің алаңдаушылықтарын айтады: «Енді типтер теориясы біздің пәннің аяқталған және белгілі бір бөлігіне мүлдем жатпайды: бұл теорияның көп бөлігі әлі күнге дейін тұтас, шатастырылған, және қажет емес кейбіреулері типтер туралы доктрина ілім қабылдауы керек нақты формадан гөрі күмәнді; және шексіздік аксиомасына байланысты кейбір осындай доктринаның қажеттілігін байқау оңай ».[10]

Рассел редукция аксиомасынан бас тартады: Екінші басылымында Mathematica Principia (1927) ол Витгенштейннің дәлелін мойындайды.[11] Кіріспесінің басында ол «нақты және айқын айнымалыларды ажыратудың қажеті жоқ екеніне ... күмән келтіруге болмайды ...» деп мәлімдейді.[12] Енді ол матрицалық ұғымды толығымен қабылдап, «А функциясы матрицада тек оның мәні арқылы пайда бола алады«(бірақ ескертулерде демурлар:» Бұл редукция аксиомасының орнын алады (жеткілікті түрде емес) «[13]). Сонымен қатар, ол жаңа (қысқартылған, жалпыланған) «матрица» ұғымын енгізеді, яғни «логикалық матрица ... тұрақтылардан тұрмайды». б|q логикалық матрица болып табылады ».[14] Осылайша Рассел редукция аксиомасынан іс жүзінде бас тартты,[15] бірақ өзінің соңғы абзацтарында ол «біздің қазіргі қарабайыр ұсыныстардан» «Дедекиндиан қатынастары мен реттелген қатынастарды» шығара алмайтындығын айтады және егер төмендеу аксиомасын ауыстыратын жаңа аксиома болса, «оны табу керек».[16]

Қарапайым типтер теориясы

1920 жылдары, Леон Чвистек[17] және Фрэнк П. Рэмси[18] егер біреу бас тартуға дайын болса, байқады тұйық шеңбер принципі, «типтердің рамификацияланған теориясындағы» деңгейлер иерархиясы құлдырауы мүмкін.

Алынған шектеулі логика қарапайым типтер теориясы деп аталады[19] немесе, мүмкін, көбінесе қарапайым тип теориясы.[20] Қарапайым типтегі теорияның егжей-тегжейлі тұжырымдары 1920 жылдардың аяғы мен 1930 жылдардың басында Р.Карнап, Ф.Рэмси, В.В.О. Квин және А.Тарский. 1940 жылы Алонзо шіркеуі (қайта) оны тұжырымдады жай терілген лямбда калкулясы.[21] және Годель 1944 жылы тексерген. Осы оқиғаларға шолу Коллинзде (2012) табылған.[22]

1940 жылдар - қазіргі уақытқа дейін

Gödel 1944

Курт Годель оның 1944 ж Расселдің математикалық логикасы ескертпеде «қарапайым типтер теориясына» келесі анықтама берді:

Қарапайым типтер теориясы дегенде мен ойлау объектілері (немесе басқа түсіндіруде символдық өрнектер) типтерге бөлінеді деген доктринаны айтамын, атап айтқанда: даралар, даралардың қасиеттері, индивидтер арасындағы қатынастар, осындай қатынастардың қасиеттері, және т.б. (кеңейтуге арналған осындай иерархиямен) және формадағы сөйлемдер: « а меншігі бар φ ", " б қатынасты көтереді R дейін c «және т.б. мағынасыз, егер a, b, c, R, φ бір-біріне сәйкес келетін типтерге жатпайды. Аралас типтер (мысалы, индивидтерді қамтитын кластар және элементтер ретінде кластар), сондықтан трансфинитті типтер де (мысалы, ақырлы типтердің барлық сыныптарының класы) алынып тасталады. Қарапайым типтер теориясы гносеологиялық парадокстардан аулақ болу үшін жеткілікті екендігі бұларды мұқият талдау арқылы көрінеді. (Cf. Рэмси 1926 және Тарский 1935 ж, б. 399) ».[23]

Ол (1) қарапайым типтер теориясын және (2) аксиоматикалық жиындар теориясын тұжырымдады, «қазіргі заманғы математиканың шығарылуына жол беріңіз және сонымен бірге барлық белгілі парадокстардан аулақ болыңыз» (Gödel 1944: 126); сонымен қатар, қарапайым типтер теориясы »- біріншісінің жүйесі Принципия [Mathematica Principia] тиісті интерпретацияда. . . . [M] кез-келген белгілер өте айқын көрінеді, дегенмен, алғашқы түсініктер одан әрі түсіндіруді қажет етеді »(Gödel 1944: 126).

Карри-Ховард корреспонденциясы, 1934–1969 жж

The Карри-Ховард корреспонденциясы - бағдарлама ретінде дәлелдеуді және формула формуласын түсіндіру. 1934 жылы басталған идея Хаскелл Карри және 1969 жылы аяқталды Уильям Элвин Ховард. Ол көптеген типтік теориялардың «есептеу компонентін» логикадағы туындылармен байланыстырды.

Ховард терілген лямбда есептеуінің интуитивті сипатқа сәйкес келетіндігін көрсетті табиғи шегерім (яғни, табиғи шегерім Алынып тасталған орта заңы ). Түрлер мен логика арасындағы байланыс бар логикалар үшін жаңа типтегі теорияларды және бар типтік теориялар үшін жаңа логикаларды табуға бағытталған көптеген кейінгі зерттеулерге алып келеді.

де Брюйннің АВТОМАТЫ, 1967–2003 жж

Николас Говерт де Брюйн тип теориясын құрды Автоматика дәлелдеулердің дұрыстығын тексеретін Автоматика жүйесінің математикалық негізі ретінде. Жүйе тип теориясы дамыған сайын ерекшеліктерді дамытып отырды.

Мартин-Лёфтың интуитивтік тип теориясы, 1971–1984 жж

Мартин-Лёф сәйкес келетін тип теориясын тапты предикаттық логика енгізу арқылы тәуелді түрлері ретінде белгілі болды интуитивтік тип теориясы немесе Мартин-Лёф типінің теориясы.

Мартин-Лёф теориясы натурал сандар сияқты шексіз мәліметтер құрылымын бейнелеу үшін индуктивті типтерді қолданады.

Барендрегттің лямбда кубы, 1991 ж

The лямбда кубы жаңа тип теориясы емес, бар типтік теорияларды санаттау болды. Текшенің сегіз бұрышына бірнеше қолданыстағы теориялар кірді жай терілген лямбда калкулясы ең төменгі бұрышта және құрылыстардың есебі жоғарыда.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Расселдің (1902) Фрегке хат түсіндірмесі бар, Heijenoort ван: 1967: 124-125.
  2. ^ Фреж (1902) Расселге хат түсіндірмесі бар, Heijenoort ван 1967: 126–128.
  3. ^ cf. Квиннің Расселге дейінгі түсіндірмесі (1908) Математикалық логика типтер теориясына негізделген van Heijenoort-та ​​1967: 150
  4. ^ cf. түсініктеме W. V. O. Quine Расселге дейін (1908) Математикалық логика типтер теориясына негізделген van Hiejenoort 1967 жылы: 150-153
  5. ^ а б Квиннің Расселге дейінгі түсіндірмесі (1908) Математикалық логика типтер теориясына негізделген ван Heijenoort-та ​​1967: 151
  6. ^ Рассел (1908) Математикалық логика типтер теориясына негізделген van Heijenoort 1967 жылы: 153-182
  7. ^ cf. атап айтқанда б. 51 II тарауда Логикалық типтер теориясы және * 12 Түрлер иерархиясы және қысқарту аксиомасы 162–167 беттер. Уайтхед пен Рассел (1910–1913, 1927 ж. 2-ші басылым) Mathematica Principia
  8. ^ Пост (1921) Элементарлы ұсыныстардың жалпы теориясымен таныстыру van Heijenoort 1967 жылы: 264-283
  9. ^ Тарски 1946, Логикаға және дедуктивті ғылымдардың әдіснамасына кіріспе, Довер республикасы 1995 ж
  10. ^ Рассел 1920: 135
  11. ^ cf. «Кіріспе» 2-басылымға, Расселл 1927: xiv және Қосымша C
  12. ^ cf. «Кіріспе» 2-ші басылымға, Расселл 1927 ж.: Мен
  13. ^ cf. «Кіріспе» 2-ші басылымға, Рассел 1927 ж.: Xxix
  14. ^ «|» Тік жолағы - Шефер соққысы; cf. «Кіріспе» 2-ші басылымға, Рассел 1927 ж.: Ххси
  15. ^ «Функциялар тек олардың мәндері арқылы және редукция аксиомасынан бас тарту арқылы пайда болады деген болжаммен кластар теориясы бірден жеңілдетіліп, екінші бағытта күрделене түседі»; cf. «Кіріспе» 2-ші басылымға, Рассел 1927: хххх
  16. ^ Бұл «Кіріспеден» 2-басылымға дейінгі дәйексөздер, Расселл 1927: xliv – xlv.
  17. ^ Л.Чвистек, Антономье логикиформальней, Преглад Филозофичный 24 (1921) 164–171
  18. ^ Ф. П. Рэмси, математиканың негіздері, Лондон математикалық қоғамының еңбектері, 2 серия 25 (1926) 338–384.
  19. ^ Годель 1944, 126 және 136–138 беттер, 17 ескертпе: «Расселдің математикалық логикасы» пайда болды Курт Годель: Жинақталған шығармалар: II том 1938–1974 жж. Басылымдары, Оксфорд университетінің баспасы, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN  978-0-19-514721-6(v.2.pbk).
  20. ^ Бұл теория «қарапайым» дегенді білдірмейді, демек, теория солай шектелген: әр түрлі бұйрықтардың түрлерін араластыруға болмайды: «Аралас типтер (мысалы, индивидтерді қамтитын кластар және элементтер ретінде кластар), сондықтан трансфинитті типтер де (мысалы, ақырлы типтердің барлық сыныптарының класы)». Gödel 1944, 127 беттер, 17 ескертпе: «Расселдің математикалық логикасы» пайда болды Курт Годель: Жинақталған шығармалар: II том 1938–1974 жж. Басылымдары, Оксфорд университетінің баспасы, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN  978-0-19-514721-6(v.2.pbk).
  21. ^ A. Church, типтердің қарапайым теориясының тұжырымы, Symbolic Logic 5 журналы (1940) 56–68.
  22. ^ Дж. Коллинз, типтер теориясының тарихы: «Principia Mathematica» екінші басылымынан кейінгі даму. LAP Lambert Academic Publishing (2012). ISBN  978-3-8473-2963-3, esp. хс. 4-6.
  23. ^ Gödel 1944: 126 сілтеме 17: «Расселдің математикалық логикасы» пайда болды Курт Годель: Жинақталған шығармалар: II том 1938–1974 жж. Басылымдары, Оксфорд университетінің баспасы, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN  978-0-19-514721-6(v.2.pbk).

Дереккөздер

  • Бертран Рассел (1903), Математика негіздері: т. 1, Кембридж Университет Прессінде, Кембридж, Ұлыбритания.
  • Бертран Рассел (1920), Математикалық философияға кіріспе (екінші басылым), Dover Publishing Inc., Нью-Йорк, NY, ISBN  0-486-27724-0 (атап айтқанда XIII және XVII тараулары).
  • Альфред Тарски (1946), Логикаға және дедуктивті ғылымдардың әдіснамасына кіріспе, 1995 жылы Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, Нью-Йоркте қайта басылды ISBN  0-486-28462-X
  • Жан ван Хайенурт (1967, 3-баспа 1976), Фрегеден Годельге дейін: Математикалық логикадағы дереккөз кітап, 1879–1931 жж, Гарвард университетінің баспасы, Кембридж, магистр, ISBN  0-674-32449-8 (пбк)
    • Бертран Рассел (1902), Фрегке хат ван Хайдженорттың түсініктемесімен, 124-125 беттер. Онда Рассел Фреге шығармашылығында «парадокс» тапқаны туралы хабарлайды.
    • Готлоб Фриг (1902), Расселге хат ван Хайенурттің түсіндірмесімен, 126–128 беттер.
    • Бертран Рассел (1908), Математикалық логика типтер теориясына негізделген, түсініктемесімен Willard Quine, 150–182 беттер.
    • Эмиль Пост (1921), Элементарлы ұсыныстардың жалпы теориясымен таныстыру, ван Хайенурттің түсініктемесімен, 264–283 беттер.
  • Альфред Норт Уайтхед пен Бертран Рассел (1910–1913, 1927 ж. Екінші басылым 1962 ж. Қайта басылды), Mathematica Principia * 56 дейін, University Press-те Кембридж, Лондон, Ұлыбритания, ISBN немесе АҚШ картасының каталог нөмірі жоқ.
  • Людвиг Витгенштейн (қайта басылған 2009), Негізгі шығармалары: таңдалған философиялық жазбалар, HarperCollins, Нью-Йорк. ISBN  978-0-06-155024-9. Витгенштейндікі (ағылшын тілінде 1921), Tractatus Logico-Philosophicus, 1–82 беттер.

Әрі қарай оқу

  • В.Фермер, «Қарапайым тип теориясының жеті қасиеті», Қолданбалы логика журналы, Т. 6, No 3. (қыркүйек 2008 ж.), 267–286 бб.