Хирзебрух беті - Hirzebruch surface

Математикада а Хирзебрух беті Бұл басқарылатын беті үстінен проекциялық сызық. Олар зерттелді Фридрих Хирзебрух  (1951 ).

Анықтама

Хирзебрух беті ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ болып табылады ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$-бума, а деп аталады Проективті байлам, аяқталды ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ байланысты шоқ

${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n).}$

Мұндағы белгі: ${ displaystyle { mathcal {O}} (n)}$ болып табылады n- тензорының қуаты Серре бұралмалы шоқ ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$, төңкерілетін шоқ немесе сызық байламы байланысты Картье бөлгіші бір нүкте. Беті ${ displaystyle Sigma _ {0}}$ изоморфты болып табылады P¹ × P¹, және ${ displaystyle Sigma _ {1}}$ изоморфты болып табылады P² бір сәтте жарылып кету минималды емес.

GIT квотасы

Хирзебрух бетін салудың бір әдісі - а GIT квотасы^{[1]21 бет}

${ displaystyle Sigma _ {n} = ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) times ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) / ( mathbb {C} ^ {*} times mathbb {C} ^ {*})}$

қайда ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*} times mathbb {C} ^ {*}}$ арқылы беріледі

${ displaystyle ( lambda, mu) cdot (l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}) = ( lambda l_ {0}, lambda l_ {1}, mu t_ {0}, lambda ^ {- n} mu t_ {1})}$

Бұл әрекетті -дің әрекеті деп түсіндіруге болады ${ displaystyle lambda}$ алғашқы екі фактордың әсерінен туындайды ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ қосулы ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2} - {0 }}$ анықтау ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$, ал екінші әрекет - түзу жиынтықтың түзілуінің тіркесімі ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ және оларды проективизациялау. Тікелей сома үшін ${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)}$ мұны сан алуандығымен беруге болады^{[1]24 бет}

${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n) = ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) times mathbb {C} ^ { 2} / mathbb {C} ^ {*}}$

қайда ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ арқылы беріледі

${ displaystyle lambda cdot (l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}) = ( lambda l_ {0}, lambda l_ {1}, lambda ^ {a} t_ {0}, lambda ^ {0} t_ {1} = t_ {1})}$

Содан кейін, проекциялау ${ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n))}$ басқасы береді ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$-әрекет^{[1]22 бет} эквиваленттік сыныпты жіберу ${ displaystyle [l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}] in { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)}$ дейін

${ displaystyle mu cdot [l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}] = [l_ {0}, l_ {1}, mu t_ {0}, mu t_ {1}]}$

Осы екі әрекетті біріктіре отырып, бастапқы баға ұсынылады.

Өтпелі карталар

Мұны салудың бір жолы ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$-бума ауысу функцияларын қолдану арқылы жүзеге асырылады. Аффинді векторлық байламдар диаграммалар үстінде міндетті емес болғандықтан ${ displaystyle U_ {0}, U_ {1}}$ туралы ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ арқылы анықталады ${ displaystyle x_ {i} neq 0}$ байламның жергілікті моделі бар

${ displaystyle U_ {i} times mathbb {P} ^ {1}}$

Содан кейін, өтпелі карталардан туындаған өтпелі карталар ${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)}$ картасын беріңіз

${ displaystyle U_ {0} times mathbb {P} ^ {1} | _ {U_ {1}} to U_ {1} times mathbb {P} ^ {1} | _ {U_ {0} }}$

жіберіліп жатыр

${ displaystyle (X_ {0}, [y_ {0}: y_ {1}]) mapsto (X_ {1}, [y_ {0}: x_ {0} ^ {n} y_ {0}])}$

қайда ${ displaystyle X_ {i}}$ - аффиндік координат функциясы ${ displaystyle U_ {i}}$.^[2]

Қасиеттері

2-ден астам проективті ранг¹

Проективті байламға назар аударыңыз

${ displaystyle { mathcal {O}} (a) oplus { mathcal {O}} (b)}$

проективті шоғырлар сызық байламымен тензордан кейін инвариантты болғандықтан, Хирзебрух бетіне тең.^[3] Атап айтқанда, бұл Хирзебрух бетімен байланысты ${ displaystyle Sigma _ {b-a}}$ өйткені бұл байламды сызық байламы арқылы тензорлауға болады ${ displaystyle { mathcal {O}} (- a)}$.

Хирзебрух беттерінің изоморфизмдері

Атап айтқанда, жоғарыда келтірілген бақылау арасында изоморфизм бар ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ және ${ displaystyle Sigma _ {- n}}$ изоморфизм векторлық шоғыры болғандықтан

${ displaystyle { mathcal {O}} (n) otimes ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) cong { mathcal {O}} (n) oplus { mathcal {O}}}$

Байланысты симметриялық алгебраны талдау

Еске салайық, проективті шоқтарды қолдану арқылы жасауға болады Салыстырмалы Proj алгебралардың градасынан түзілген

${ displaystyle bigoplus _ {i = 0} ^ { infty} operatorname {Sym} ^ {i} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n))}$

Алғашқы бірнеше симметриялық модульдер ерекше, өйткені симметриялы емес анти-симметрия бар ${ displaystyle operatorname {Alt} ^ {2}}$-модуль ${ displaystyle { mathcal {O}} otimes { mathcal {O}} (- n)}$. Бұл кестелер кестеде келтірілген

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Sym} ^ {0} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} оператор атауы {Sym} ^ {1} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (-n) операторының аты {Sym} ^ {2} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- 2n) end {aligned}}}$

Үшін ${ displaystyle i> 2}$ симметриялы шеттер арқылы беріледі

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Sym} ^ {k} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = bigoplus _ {i = 0} ^ {k} { mathcal {O}} ^ { otimes (ni)} otimes { mathcal {O}} (- in) & cong { mathcal {O}} oplus { mathcal { O}} (- n) oplus cdots oplus { mathcal {O}} (- kn) end {aligned}}}$

Қасиеттері

Hirzebruch беттері n > 0 арнайы бар рационалды қисық C оларда: беті - проективті байлам O(−n) және қисық C болып табылады нөлдік бөлім. Бұл қисық бар өзіндік қиылысу нөмірі −n, және теріс өзіндік қиылысу санымен жалғыз төмендетілмейтін қисық. Өздігінен қиылысатын нөлдік нөмірге ие болатын тек қана азайтылмайтын қисықтар - Хирзебрух бетінің талшықтары (талшықтардың орамы ретінде қарастырылады) P¹). The Пикард тобы қисық арқылы жасалады C және талшықтардың бірі, ал бұл генераторлар қиылысады матрица

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & -n end {bmatrix}},}$

сондықтан белгісіз форма екі өлшемді бірмодульді болып табылады және ол тәуелділігіне қарай жұп немесе тақ болады n жұп немесе тақ.

Хирзебрух беті Σ_n (n > 1) арнайы қисықтың нүктесінде жарылған C изоморфты болып табылады_n+1 арнайы қисықта емес нүктеде жарылған.

Сондай-ақ қараңыз

• Проективті байлам

Әдебиеттер тізімі

• Барт, Қасқыр П .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Ықшам кешенді беттер, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., 4, Springer-Verlag, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3, МЫРЗА  2030225
• Бовилл, Арно (1996), Кешенді алгебралық беттер, Лондон математикалық қоғамының студенттерге арналған мәтіндері, 34 (2-ші басылым), Кембридж университетінің баспасы, ISBN  978-0-521-49510-3, МЫРЗА1406314
• Хирзебрух, Фридрих (1951), «Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden kompleksen Mannigfaltigkeiten», Mathematische Annalen, 124: 77–86, дои:10.1007 / BF01343552, hdl:21.11116 / 0000-0004-3A56-B, ISSN  0025-5831, МЫРЗА  0045384, S2CID  122844063

Сыртқы сілтемелер

• Манифольд Атлас
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://mathoverflow.net/q/122952