Гильберт-Сэмюэль функциясы - Hilbert–Samuel function

Жылы ауыстырмалы алгебра The Гильберт-Сэмюэль функциясы, атындағы Дэвид Хилберт және Пьер Самуэль,^[1] Нөлдік емес шығарылған модуль ${ displaystyle M}$ ауыстыру үстінде Ноетриялық жергілікті сақина ${ displaystyle A}$ және а бастапқы идеал ${ displaystyle I}$ туралы ${ displaystyle A}$ бұл карта ${ displaystyle chi _ {M} ^ {I}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ барлығы үшін ${ displaystyle n in mathbb {N}}$,

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n) = ell (M / I ^ {n} M)}$

қайда ${ displaystyle ell}$ дегенді білдіреді ұзындығы аяқталды ${ displaystyle A}$. Бұл байланысты Гильберт функциясы туралы байланысты модуль ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} (M)}$ жеке куәлігі бойынша

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n) = sum _ {i = 0} ^ {n} H ( operatorname {gr} _ {I} (M), i).}$

Үлкен мөлшерде ${ displaystyle n}$, ол дәрежеге тең көпмүшелік функциямен сәйкес келеді ${ displaystyle dim ( operatorname {gr} _ {I} (M))}$, жиі деп аталады Гильберт-Сэмюэль көпмүшесі (немесе Гильберт көпмүшесі ).^[2]

Мысалдар

Үшін сақина туралы ресми қуат сериялары екі айнымалыда ${ displaystyle k [[x, y]]}$ өзіне және идеалға модуль ретінде қабылданды ${ displaystyle I}$ мономиалдармен жасалады х² және ж³ Бізде бар

${ displaystyle chi (1) = 6, quad chi (2) = 18, quad chi (3) = 36, quad chi (4) = 60, { text {және жалпы түрде}} chi (n) = 3n (n + 1) { text {for}} n geq 0.}$^[2]

Дәреженің шегі

Гильберт функциясынан айырмашылығы, Гильберт-Сэмюэль функциясы нақты дәйектілікке тәуелді емес. Алайда, бұл әлі күнге дейін қоспа болуға айтарлықтай жақын, нәтижесінде Artin-Rees lemma. Біз белгілейміз ${ displaystyle P_ {I, M}}$ Гильберт-Сэмюэль көпмүшесі; яғни, бұл үлкен сандар үшін Гильберт-Сэмюэль функциясымен сәйкес келеді.

Дәлел: берілген дәйектілікті тензорлау ${ displaystyle R / I ^ {n}}$ және ядроны есептеу арқылы біз дәл дәйектілікті аламыз:

${ displaystyle 0 to (I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M' to M '/ I ^ {n} M' to M / I ^ {n} M to M '' / I ^ {n} M '' - 0,}$

бұл бізге:

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n-1) = chi _ {M '} ^ {I} (n-1) + chi _ {M' '} ^ {I} (n -1) - ell ((I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M')}$.

Артин-Рис оң жақтағы үшінші мерзімді бағалай алады. Шынында да, лемма бойынша n және кейбір к,

${ displaystyle I ^ {n} M cap M '= I ^ {n-k} ((I ^ {k} M) cap M') I ^ {n-k} M '.} жиынтығы$

Осылайша,

${ displaystyle ell ((I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M') leq chi _ {M '} ^ {I} (n-1) - chi _ { М '} ^ {I} (nk-1)}$.

Бұл қалаған дәрежеге байланысты болады.

Көптік

Егер ${ displaystyle A}$ Крулл өлшеміндегі жергілікті сақина ${ displaystyle d}$, бірге ${ displaystyle m}$-бастапқы идеал ${ displaystyle I}$, оның Гильберт полиномы форманың жетекші мүшесіне ие ${ displaystyle { frac {e} {d!}} cdot n ^ {d}}$ бүтін сан үшін ${ displaystyle e}$. Бұл бүтін сан ${ displaystyle e}$ деп аталады көптік идеал ${ displaystyle I}$. Қашан ${ displaystyle I = m}$ максималды идеалы болып табылады ${ displaystyle A}$, біреуі де айтады ${ displaystyle e}$ бұл жергілікті сақинаның көптігі ${ displaystyle A}$.

Нүктенің еселігі ${ displaystyle x}$ схеманың ${ displaystyle X}$ сәйкес жергілікті сақинаның еселігі ретінде анықталады ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$.

Сондай-ақ қараңыз

• j-еселік

Әдебиеттер тізімі